کد: 1747
بازدید: 2

در ادامه مبحث استخراج معادلات المان ها در روش اجزاء محدود، در این بخش ما قصد داریم درباره رویکرد عددی صحبت کنیم. همانگونه که در مقاله قبل ذکر شد این رویکرد در حل مسائل بسیار پیچیده تر به ما کمک می کند. در این رویکرد لازم است ابتدا معادلات حاکم بر سیستم را بشناسیم. به استثناء مسائل ساده، معمولا حل این معادلات به سادگی امکان پذیر نیست از این رو به این حالت از معادلات Strong Form گفته می شود. با توجه به این موضوع، با استفاده از یک سری اصول ریاضی این معادلات را به شکل انتگرالی در می آوریم تا به Weak Form معادلات دست پیدا کنیم که کار با آنها راحت تر است. این نگرش کلی استخراج معادلات اجزاء محدود است که در این مقاله به توضیح آن پرداخته می شود.

یافتن معادله حاکم بر سیستم (معادله دیفرانسیل سیستم)

برای درک بهتر از رویکرد عددی در استخراج معادلات اجزاء محدود روی مثالی که در شکل 1 نشان داده شده است کار می کنیم. مانند قبل با میله ای که از سه بخش با سطح مقطع متغیر تشکیل شده مواجه ایم. در این مثال نیروی گسترده b(x) در طول میله اعمال شده که واحد آن، نیرو بر طول است. همچنین یک نیروی متمرکز F نیز به سر تیر اعمال شده و در حال کشش کل تیر است.

 

میله تحت بارگذاری با سطح مقطع متغیر
شکل 1: میله تحت بارگذاری با سطح مقطع متغیر

 

همان طور که در شکل 2 نشان داده شده است همیشه برای استخراج معادلات دیفرانسیل یک سیستم نیاز به بررسی یک برش از آن به طول dx می باشد. همانگونه که در شکل 3 مشخص است، این برش از نقطه x شروع شده و در نقطه x+dx پایان می پذیرد.

 

در نظر گرفتن یک برش یا قاچ از میله
شکل 2: در نظر گرفتن یک برش یا قاچ از میله

 
 

برش dx از هندسه مسئله
شکل3: برش dx از هندسه مسئله

 

به عنوان اولین قدم نیروهای حاکم بر این برش را بررسی کرده و معادلات تعادل را برای آن می نویسیم. همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است نیروی گسترده اعمال شده روی این بخش از میله را میانگین نیروی گسترده و برابر Eq01 در نظر می گیریم. از طرفی هم نیروهای متمرکز p(x) و p(x+dx) به دو طرف المان وارد می شود.

 

تعادل نیرویی المان
شکل 4: تعادل نیرویی المان

 

معادلات تعادل برای این المان به شکل زیر نوشته می شود:

Eq02

دقت کنید ترم p(x+dx) -p(x) در این روابط، دیفرانسیل p است. همچنین از ترم Eq03 به دلیل کوچک بودن نسبت به x صرف نظر شده است. لازم به ذکر است که p نیروی داخلی بوجود آمده در میله است که وابسته به x بوده و در حال حاضر روند تغییرات آن را نمی دانیم.

از طرفی المان دارای دو سطح مقطع متفاوت در سمت چپ و راست خود می باشد. طبق تعریف تنش و رابطه نهایی بدست آمده در بالا داریم:

Eq04

از طرفی از رابطه هوک می دانیم:

Eq05

مطابق تعاریفی که از قبل داریم کرنش برابر با اختلاف جابجایی ها تقسیم بر طول اولیه المان که در اینجا dx است می باشد. بنابراین

Eq06

از رابطه بالا مشخص می شود که که کرنش برابر با مشتق جابجایی هاست.

با جایگذاری سه رابطه آخر نهایتا به معادله زیر خواهیم رسید:

Eq07

پیدا کردن شرایط مرزی سیستم

در این رابطه مقدار b(x) معلوم است. معادلات A(X) و E(x) نیز مشخص هستند. لذا تنها مجهول در معادله دیفرانسل بالا میزان جابجایی هاست که اگر بتوانیم آن را بدست بیاوریم سایر پارامترها به راحتی قابل استخراج خواهد بود. البته برای حل اینچنین معادلات دیفرانسیلی لازم است شرایط مرزی نیز لحاظ شود. اگر مانند شکل 5 شرایط ابتدای میله را در نظر بگیرید واضح است که جابجایی ابتدای میله صفر است. از طرفی در انتهای میله نیروی متمرکز F وارد می شود.

 

شرایط مرزی مسئله
شکل 5: شرایط مرزی مسئله

 

از معادلات تعادل انتهای میله واضح است F=p (l) خواهد بود. بنابراین رابطه زیر با استفاده از قانون هوک و تعریف کرنش که در بخش قبل توضیح داده شد در نقطه انتهایی میله به راحتی قابل استخراج است.

Eq08

همانگونه که در ابتدای بحث نیز گفته شد به معادله دیفرانسیل بدست آمده معادله حاکم بر سیستم (Governing Equation) گفته می شود. علاوه بر این گفتیم برای حل معادلات دیفرانسیل بایستی به شرایط مرزی مسئله نیز توجه نماییم. شرط مرزی که مستقیما به جابجایی u مربوط باشد شرط مرزی ضروری (Essential Boundary Condition) نامیده می شود. اما چنانچه در معادله شرط مرزی مشتقات جابجایی وجود داشته باشد، به آن شرط مرزی طبیعی (Natural Boundary Condition) گفته می شود. البته این تعاریف موضوع بحث ما نیست اما به جهت یاداوری از درس معادلات دیفرانسیل ذکر این نکته لازم بود. با این توضیح معادله حاکم بر این سیستم و شرایط مرزی به شرح زیر خواهد بود:

Eq09

همانطور که در بالا توضیح داده شد تنها مجهول این معادلات، جابجایی u است به نحوی که اولا در معادله حاکم بر سیستم صدق کند و ثانیا شرایط مرزی را ارضا کند.

روش دقیق و روش تخمینی (عددی) برای حل معادله حاکم بر سیستم

در صورتی که با مسئله ای ساده سر و کار داشته باشیم می توانیم دقیقا جابجایی u را بدست آوریم. به این روش حل، حل تحلیلی یا دقیق (Exact Solution) گفته می شود. اما در اکثر مسائل به دلیل پیچیدگی آن ها، ارائه حل دقیق امکان پذیر نیست و یا با معادلات بسیار پیچیده سروکار خواهیم داشت. بنابراین به سراغ روش های حل تقریبی (Approximate Solution) می رویم که به آن حل عددی هم گفته می شود.

لازم به توضیح است که در روش حل دقیق ما به معادله اصلی می رسیم اما در حل تقریبی از یک سری توابع ساده تر ϕi(x) که در اکثر مواقع همان چند جمله ایها هستند استفاده کرده، با یک سری ضرایب ci آنها را وزن دهی می نماییم و در نهایت همه آنها را کنار هم قرار می دهیم. با این کار سعی می کنیم به تابعی برسیم که تا حد زیادی بتواند معادله حاکم را ارضا کند. از طرفی باید در نظر داشت که شرایط مرزی نیز باید در این معادله صادق باشد. با توجه به این توضیح تابع u(x) به این شکل خواهد بود:

Eq10

مفهوم باقیمانده (Residual Function)

اکنون برای درک بهتر اینکه چگونه از این شکل معادلات که طبق تعریف، Strong Form هستند به شکل Weak Form معادلات برسیم قصد داریم با یک مفهوم جدید آشنا شویم. می دانیم وقتی از حل دقیق استفاده می کنیم، معادله حاکم بر سیستم دقیقا ارضا می شود یعنی معادله دیفرانسیلی که در بالا بدست آوردیم برابر صفر خواهد شد. بیایید از این موضوع صرف نظر کنیم و به جای آنکه سمت راست تساوی را برابر صفر قرار بدهیم، آن را با مقداری به نام R جایگزین کنیم. اصطلاحا به این مقدار Residual Function گفته می شود.

با توجه به توضیحات فوق اگر بتوانیم حل دقیق u را بیابیم، برای همه نقاط میله R=0 خواهد شد. اما طبیعتا در حل تقریبی به مقدار دقیق صفر برای R نمی رسیم و احتمالا برای این پارامتر نوساناتی در حوالی صفر داریم. آنچه گفته شد را به طور خلاصه در شکل 6 میبینید. در رویکرد عددی تلاش ما بر این است که با بدست آوردن بهترین تابع u تا حد امکان R را به سمت 0 میل دهیم یا به عبارتی آن را کمینه کنیم.

 

مفهوم Residual Function
شکل 6: مفهوم Residual Function

 

محاسبه ضرایب معادله تخمین u(x)

همانگونه که در بالا نیز گفتیم در اینجا u(x) (تابع پیشنهادی ما) به صورت مجموع یک سری چند جمله ای ϕi(x) با ضرایب ci می باشد. با توجه به اینکه هدف ما این است که سطح زیر نمودار Residual Function یا R کمینه شود، قاعدتا باید ضرایب ci را به گونه ای بدست آوریم که این اتفاق بیافتد.

طبیعتا بررسی نقطه به نقطه تابع R برای کمینه سازی آن عملی نیست. اما می توان به طور کلی پارامتر سطح زیر نمودار R را در نظر گرفته و آن را کمینه کرد. با این کار عملا تمام مقادیر R را به طور همزمان برای هدفی که داریم خواهیم دید. بدین منظور از مفهوم انتگرال استفاده کنیم. همانگونه که می دانید قابلیت انتگرال این است که امکان محاسبه کردن سطح زیر نمودار را به ما می دهد. پس به جای آنکه مستقیما خود تابع R را در نظر بگیریم، روی انتگرال آن کار می کنیم. هرچه امکان کوچک کردن سطح زیر نمودار را داشته باشیم به معادله ایده آل تری از R و پیرو آن u دست خواهیم یافت.

پس روند حل مسئله به این ترتیب خواهد بود که ابتدا یک تابع u(x) شامل تعدادی تابع ساده تر پیشنهاد می دهیم. از آنجا که در این حالت تابع u از توابعی با مشخصات ساده تر تشکیل خواهد شد بررسی آن ساده تر خواهد بود، لذا به این حالت از معادلات Weak Form می گویند. اگر این تابع را در معادله دیفرانسیل جایگذاری کنیم، خواهیم دید تابع باقیمانده (Residual Function) تابعی از x و ضرایب c خواهد شد (R(x,c)).

به منظور کمینه سازی سطح زیر نمودار R نمی توانیم مستقیما از آن انتگرال بگیریم. چرا که اگر این تابع در برخی نقاط مثبت و برخی نقاط منفی باشد با انتگرال گیری مستقیم این دو بخش یکدیگر را خنثی می کنند و حتما در کمینه سازی سطح زیر نمودار دچار خطا خواهیم شد. برای حل این مشکل از روشی به نام Weighted Residual Method که یک روش عددی (Numerical Method) است استفاده می شود. در این روش برای کم کردن سطح زیر یک نمودار تابع، آن را در ضریبی با یک شرایط خاص که wi(x) نام دارد ضرب می کنند و سپس انتگرال گیری را روی آن انجام می دهند. بسته به اینکه این ضریب چگونه و با چه شرایطی در نظر گرفته شود، روش های مختلفی با رویکرد عددی برای استخراج آن ارائه شده است که نام آنها را در زیر مشاهده می کنید.

Eq11

روش Galerkin برای محاسبه ضرایب تابع تخمین

از میان روش های ذکر شده در بالا، روش Galerkin در روش اجزای محدود استفاده می شود. در این روش توابع وزن wi(x) برابر توابع تقریب ϕi(x) در نظر گرفته می شود. با توجه به این صحبت ها و به منظور مرور مطالب داریم:

Eq12

که اگر انتگرال در روش Galerkin برابر صفر شود، مقدار سطح زیر نمودار R کمینه خواهد شد. بنابراین اگر ضرایب ci را طوری بدست آوریم که رابطه Galerkin برقرار باشد، سطح زیر نمودار نیز کمینه خواهد شد. از آنجا که برای هر ضریب ci یک تابع ϕi(x) وجود دارد، پس به همین تعداد نیز می توان wi(x) ارائه داد. این یعنی می توان به تعداد ضرایب معادله Galerkin را ایجاد کرد و در واقع به تعداد مجهولات، معادله تشکیل داد.

بدین ترتیب با حل این دستگاه معادلات ضرایب مجهول ci به دست خواهند آمد و در نهایت با توجه به اینکه توابع ϕi(x) از قبل مشخص بوده اند، بنابراین تابع u(x) پیدا می شود. در واقع یک تخمین قابل قبول از u(x) خواهیم داشت که سطح زیر نمودار Residual Function در قبال آن کمینه خواهد بود.

ارتباط Weak Form و انرژی پتانسیل کمینه در مسائل الاستیک

طبق تجربه در مسائل الاستیک، انتگرالی که از روش Galerkin بدست آمده بود با مفهوم کمینه کردن انرژی پتانسیل معادل می باشد. در مثال فوق این به این مفهوم است که اگر انرژی پتانسیل در طول میله را بر اساس ضرایب ci موجود در معادله محاسبه کرده و مقدار آن را کمینه کنیم معادله حاصل برابر با معادله Galerkin خواهد بود. دانستن این موضوع با توجه به اینکه معادلات انرژی پتانسیل برای ما شناخته شده است کار را بسیار راحت می کند. همان طور که می دانیم انرژی پتانسیل برابر است با تفاضل انرژی کرنشی و کار خارجی اعمال شده به هندسه مسئله.

حال به شکل زیر دقت کنید. در حل مسئله ابتدا Strong Form که همان معادله حاکم بر سیستم و شرایط مرزی مسئله بود استخراج می شود. سپس برای حل آن Weak Form معادلات با رویکرد عددی تشکیل می شود. در روش اجزای محدود حالت ساده معادلات با روش Galerkin قابل حل است، اما در مسائل الاستیک معادلات Galerkin معادل با انرژی پتانسیل کیمنه بوده، لذا می توان به جای تشکیل Weak Form از مسئله، مستقیما از انرژی پتانسیل سیستم را محاسبه و کمینه نمود.

 

جمع بندی مراحل رویکرد عددی در روش اجزاء محدود
شکل 7: جمع بندی مراحل رویکرد عددی در روش اجزاء محدود

 

در مقاله بعدی معادلات المان محدود را با استفاده از تئوری انرژی پتانسیل کمینه برای یک مسئله الاستیک محاسبه خواهیم کرد.

 

نسخه ویدئویی این مقاله را در بالا مشاهده نمایید.

رویکرد عددی برای استخراج معادلات المان ها در مسائل الاستیک خطی + نسخه ویدئویی
0 از 0 رای