شناسه: 1719
بازدید: 325

در مقاله های قبل به این بحث پرداختیم که برای حل مسائل پیچیده ابتدا هندسه مسئله را گسسته می کنیم تا با تقسیم مسئله به قطعات کوچکتر بتوانیم پاسخ مسئله را تخمین بزنیم. در این راستا دو رویکرد مستقیم و عددی را معرفی کردیم. دیدیم که برای حل یک مسئله در رویکرد دوم نیازمند بدست آوردن معادله حاکم بر سیستم با در نظر داشتن شرایط مرزی هستیم. در مسائل ساده این معادله می تواند به راحتی حل شود، اما در مسائل پیچیده ناگزیر به حل معادلات به روش های عددی هستیم. به همین دلیل هم این رویکرد را عددی نام گذاری کرده اند.

از آنجا که حل دقیق معادله دیفرانسیل حاکم بر سیستم سخت است، آن را با نام Strong Form شناختیم. توضیح دادیم به منظور حل عددی این حالت از معادله، آن را تبدیل به Weak Form می کنیم. بدین منظور معادله دیفرانسل را به جای مساوی قرار دادن با 0، برابر مقداری که به آن Residual گفتیم در نظر می گیریم و با استفاده از روش های عددی سعی بر کمینه کردن آن می کنیم.

روش های عددی مختلفی که به Weighted Residual Methods نام گذاری شده اند بدین منظور می توانند استفاده گردند. همانگونه که عنوان شد در این میان Galerkin’s Method در روش اجزاء محدود استفاده می شود. در نهایت نیز گفتیم بسط معادلات Galerkin که بصورت انتگرالی از ضرب Residual در Weight بود، مارا به طور خاص در مسائل الاستیک خطی به معادلات انرژی پتانسیل کمینه می رساند. به عبارت دیگر حالت Weak Form در مسائل الاستیک خطی با معادلات انرژی پتانسیل کمینه معادل است. به زبان ساده این بدان معنی است که اگر ما به جای طی کردن تمام این فرآیند، معادله انرژی پتانسیل جسم را بدست آورده و آن را کمینه کنیم عملا به معادله Weak Form که در واقع تخمینی از Strong Form است خواهیم رسید.

توضیح اینکه تابع تخمین u(x) می تواند یک تابع کلی در بازه 0 تا L باشد که ضرایب ci در آن مجهول است. با محاسبه انرژی پتانسیل بر اساس این تابع و کمینه کردن آن می توانیم این ضرایب را بیابیم. اما در روش اجزاء محدود یاد گرفتیم برای تحلیل مسائل پیچیده می توانیم آن ها را به قسمت های ریزتر تقسیم بندی، گسسته سازی و یا مش بندی کنیم. با توجه به رویکردی که از محاسبه تابع تخمین گفتیم می توانیم در هریک از این المان ها، یک تابع مجزا (و شاید مشابه) پیشنهاد دهیم. سپس با توجه به این توابع، انرژی پتانسیل را برای کل سیستم بدست آورده و در نهایت ان را کمینه کنیم.

به عبارت دیگر رویکرد المان محدود بدین گونه است که به جای آنکه کل مسئله را یک جا و با یک تابع (مثلا u(x)) بصورت تقریبی حل کنیم، مسئله را گسسته کرده و برای هرکدام از المان ها یک u(x) پیشنهاد داده و انرژی پتانسیل را برای آن پیدا کرده و کمینه می کنیم.

انرژی پتانسیل کمینه

اکنون می خواهیم با نحوه محاسبه انرژی پتانسیل آشنا شویم. همان طور که در رابطه پایین نشان داده شده است انرژی پتانسیل برابر با اختلاف انرژی کرنشی و کار خارجی است.

Π(G)(G)-W(G)

طبق تعریف، انرژی کرنشی در واحد حجم برابر است با سطح زیر نمودار تنش-کرنش. بدین معنی که اگر از رابطه تنش کرنش روی حجم انتگرال بگیریم به انرژی کرنشی کل خواهیم رسید. کار یک نیروی خارجی هم طبق تعریف برابر ضرب داخلی نیرو در جابجایی آن است. قاعدتا کار کل نیروهای خارجی مجموع کار تمام نیروهای خارجی می باشد.

Eq01

انرژی کرنشی سیستم

اکنون برای به دست آوردن انرژی کرنشی روابط زیر را دنبال کنید.

Eq02

طبق تعریف در مسائل الاستیک خطی و در میله تحت کشش، قانون هوک رابطه بین تنش و کرنش را بصورت σ=Eε مشخص می کند. از طرفی برای یک میله با سطح مقطع A، رابطه dV=A.dX برقرار است. به این ترتیب رابطه انرژی کرنشی کل به شکل زیر می تواند نوشته شود:

Eq03

در این مرحله می توان از کرنش انتگرال گرفت و به رابطه زیر رسید:

Eq04

از قبل می دانیم که ε مشتق جابجایی هاست. به این ترتیب اگر معادله جابجایی u(x) میله را بیابیم، با یک بار مشتق گرفتن از آن به معادله کرنش می رسیم. با داشتن کرنش طبق رابطه بالا انرژی کرنشی کل را نیز می توانیم محاسبه نماییم. بنابراین با فرض داشتن میزان کار خارجی، انرژی پتانسیل کل به دست می آید. با توجه به این موضوع، کاری که ما در ادامه انجام می دهیم این است که u(x) را به صورت پارامتری در نظر بگیریم. سپس پارامترهای گفته شده در بالا را بر این اساس محاسبه کرده و در نهایت پارامترهای موجود در u(x) را طوری بدست آوریم که انرژی پتانسیل کل سیستم، کمینه شود. پس در مرحله اول و با توجه به رویکرد عددی که در مقاله قبل توضیح دادیم، بایستی معادلاتی برای u(x) پیشنهاد دهیم.

یافتن رابطه جابجایی روی المان ها به عنوان پیشنهادی برای تابع u(x)

برای درک بهتر، مراحل گفته شده را برای مثال زیر دنبال می کنیم. همانطور که در شکل 1 می بینید یک میله در حال کشش داریم که از سه بخش تشکیل شده و هر بخش سطح مقطع، مدول الاستیسیته و طول مخصوص به خود را دارد. همچنین سر هر بخش یک نیروی متمرکز کششی اعمال شده است.

 

میله تحت بارگذاری با سطح مقطع متفاوت
شکل 1: میله تحت بارگذاری با سطح مقطع متفاوت

 

مطابق شکل 2 می بینید مسئله را گسسته کرده و روی هر گره یک جابجایی در نظر می گیریم. همانگونه که مشاهده می شود، میله از 4 گره تشکیل شده است که 3 المان بین آن ها قرار گرفته اند. گره ها را با n و المان ها را e نشان داده ایم. همچنین u نمایانگر جابجایی مربوط به هر گره است.

 

گسسته سازی میله تحت کشش
شکل 2: گسسته سازی میله تحت کشش

 

از بحث گسسته سازی در شکل 3 از مقاله اول داشتیم که اگر ما هر یک ازین جابجایی ها را محاسبه کرده و فرض کنیم بین آنها یک رابطه خطی وجود دارد، با رسم خطوط بین گره ها نمودار یا پروفیل u(X) بدست می آید.

 

نمودار جابجایی نودها
شکل 3: نمودار جابجایی نودها

 

همانطور که در شکل 3 می بینید برای هر المان یک رابطه جابجایی داریم که در شکل با u(1)(X)، u(2)(X) و u(3)(X) نشان داده شده است. در واقع این توابع همان توابعی هستند که گفتیم در قدم اول رویکرد عددی پیشنهاد می دهیم.

دقت کنید در تمامی نامگذاری ها در این مقاله، شماره المان همواره به صورت توان و شماره گره ها به صورت اندیس نمایش داده می شود. به عنوان مثال u(e)(X) بیانگر معادله جابجایی در المان e و ui به معنی جابجایی گره i ام است. در روش اجزاء محدود، اکثر اوقات، معادله پیشنهادی جابجایی برای تمام المان های مشابه یکسان در نظر گرفته می شود. بنابراین برای استخراج این معادله، یک المان را مانند شکل 4 در نظر می گیریم.

 

جابجایی المان انتخابی
شکل 4: جابجایی المان انتخابی

 

اگر المان e با گره های ni و nj به ترتیب در سمت چپ و راست المان را در نظر بگیرید که هریک ازین گره ها قرار است جابجایی ui و uj را داشته باشند در نهایت به معادله u(x) می رسیم که مربوط به المان e است. از آنجا که قصد داریم معادله ای که بدست می آوریم را روی تمام المان ها اعمال کنیم، بنابراین بجای استفاده از مختصات کلی (Global) یک مختصات محلی (Local) روی المان تعریف می نماییم:

 

تعریف مختصات محلی
شکل 5: تعریف مختصات محلی

 

در این مختصات نقطه صفر را روی گره سمت چپ لحاظ می کنیم. l(e) طول المان بوده که برابر با تفاضل Xj و Xi می باشد. دقت کنید X (ایکس بزرگ) برای مختصات کلی و x (ایکس کوچک) برای مختصات محلی در نظر گرفته شده است. به این ترتیب المان e در بازه زیر تعریف می شود:

Xi≤X≤Xj or 0≤x≤l(e)

با توجه به خطی بودن رابطه بین دو گره i و j که در شکل ها مشهود است می توانیم معادله خط زیر را برای آن پیشنهاد دهیم.

u(e)(X) =c1+c2X

از طرفی شرایط مرزی زیر را برای این معادله داریم:

u(e)(Xi) =ui, u(e)(Xj) =uj

دقت کنید در اینجا ما عملا ui و uj را معلوم فرض کرده ایم گرچه مقدار آن را نمی دانیم و بعدا در روند حل مسئله به روش اجزاء محدود مقادیر آنها را خواهیم یافت. با جایگذاری شرایط مرزی در معادله اصلی به یک دستگاه معادلات دو مجهولی می رسیم که با حل آن مقادیر ci و cj قابل استخراج هستند.

Eq05

با جایگذاری این مقادیر، معادله اصلی به شکل استاندارد زیر در می آید:

Eq06

از آن جا که قصد داریم روی پارامتر های ui و uj کار کنیم، معادله بالا را بر حسب این پارامترها مرتب می کنیم:

Eq07

در این رابطه توابعی که به ui و uj ضرب شده اند را به ترتیب Si(e) و Sj(e) می نامیم. توجه داشته باشید تابع u(e)(X) از مجموع دو تابع چند جمله ای (Si(e), Sj(e)) ضرب در دو ضریب مجهول (ui و uj) ایجاد شده است. این همان رابطه u(x) است که در رویکرد عددی در مقاله قبل به عنوان روش عددی پیشنهاد شد. یعنی رابطه:

u(x) =Σ ciϕi(x)

اکنون معادلات Si(e) و Sj(e) را بر اساس مختصات محلی بازنویسی می نماییم.

Eq08

پس در نهایت داریم:

Eq09

به نمودار زیر که رفتار توابع بدست آمده را نشان می دهد توجه کنید. همانگونه که مشاهده می کنید در گره i مقدار Si(e) برابر یک و مقدار Sj(e) برابر صفر است. اما، برعکس، مقادیر این توابع در گره j به ترتیب صفر و یک خواهند بود. همچنین بین این دو مقدار، هر دو تابع به صورت خطی تغییر می کنند. در روش اجزاء محدود به این توابع اصطلاحاً Shape Function گفته می شود. با استفاده از این توابع می توان بین ui و uj درون یابی مقدار جابجایی را درون یابی نمود.

 

نمودار Shape Function ها
شکل 6: نمودار Shape Function ها

 

به هر حال از بالا داریم:

u(e)(x) = uiSi(e) + ujSj(e)

به این دلیل که در اینگونه مسائل، کار کردن با ماتریس ها نسبت به حالت اسکالر بسیار راحت تر خواهد بود، بنابراین معادله بالا را در فرم ماتریسی دنبال می کنیم. پس معادله بالا را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

Eq10

طبیعتا حاصل ضرب این دو ماتریس معادله u(e)(X) را به ما می دهد. با جایگذاری Si(e) و Sj(e) از مرحله قبل به شکل جدید این معادله می رسیم.

Eq11

ارتباط انرژی کرنشی کل و انرژی کرنشی المان ها

اکنون رابطه ای که می خواستیم برای جابجایی ها در المان e پیشنهاد بدهیم را داریم. پس به سراغ کرنش می رویم و بعد از محاسبه کرنش با به دست آوردن انرژی کرنشی بخشی از معادله انرژی پتانسیل را محاسبه کنیم.

از قبل فهمیدیم انرژی کرنشی کل در یک میله از رابطه زیر به دست می آید:

Eq12

در اینجا ε کرنش، E مدول الاستیسیته و A سطح مقطع میله است.

همان طور که در شکل 7 هم می بینید حدود انتگرال از X1 تا X4 در مختصات کلی (گلوبال) تغییر خواهد کرد.

 

محدوده تغییرات حدود انتگرال در مختصات کلی (گلوبال)
شکل 7: محدوده تغییرات حدود انتگرال در مختصات کلی (گلوبال)

 

اما با توجه به اینکه رابطه u(e)(X) در مختصات محلی بدست آمده بود، مختصات را مطابق شکل 8 بصورت محلی در نظر می گیریم.

 

محدوده انتگرال در مختصات محلی
شکل 8: محدوده انتگرال در مختصات محلی

 

بنابراین با انتگرال گیری بر اساس این مختصات داریم:

Eq13

بدین ترتیب انتگرال انرژی کرنشی کل را به انتگرال روی المان ها خرد کرده ایم. به عبارت دیگر روی هر المان یک انتگرال داریم. اگر کرنش مربوط به هر المان را بدست آوریم، با توجه به اینکه E و A روی هر المان مشخص است، می توانیم انتگرال روی هر المان را محاسبه نماییم. از طرف دیگر می توان گفت حاصل این انتگرال انرژی کرنشی است که المان e در خود ذخیره کرده است. یعنی:

Eq14

پس برای انرژی کرنشی کل داریم:

Eq15

به عبارت دیگر می توان گفت انرژی کرنشی کل سیستم برابر با مجموع انرژی کرنشی های تمام المان ها می باشد.

کار نیروی خارجی

همانگونه که در بالا گفته شد، کار نیروی خارجی که بخش دوم معادله انرژی پتانسیل است برابر با مجموع ضرب داخلی نیروهای خارجی در جابجایی مربوطه در هر گره است. اگر این بحث را مانند شکل 9 روی یک گره بررسی کنیم که در آن نیروی خارجی fi روی گره ni با جابجایی ui اعمال شده است، کار نیروی خارجی روی این المان به شکل زیر خواهد بود:

 

نیروی f اعمال شده روی گره n با جابجایی u
شکل 9: نیروی f اعمال شده روی گره n با جابجایی u

 

W(i)=fi ui

و اگر مطابق شکل 10 کل سیستم را در نظر بگیریم، کار کل نیروهای خارجی برابر خواهد بود با:

 

کل نیروها و جابجایی های مربوطه
شکل 10: کل نیروها و جابجایی های مربوطه

 

Eq16

محاسبه انرژی پتانسیل و نحوه کمینه کردن آن

به منظور یادآوری آنچه تا کنون آموخته ایم روابط زیر را دنبال کنید.

Π(G)(G)-W(G)

Eq17

از طرفی می دانیم طبق تئوری انرژی پتانسیل کمینه، معادلات حاکم بر سیستم در حال بررسی وقتی ارضا می شود (سیستم وقتی به تعادل می رسد) که Π(G) در کمترین مقدار خود باشد. با توجه به این موضوع ضرایب مجهولی که در تابع پیشنهادی u(x) در نظر گرفته بودیم را طوری بدست می آوریم که انرژی پتانسیل سیستم کمینه شود. همچنین در این مقاله معادلات را طوری نوشتیم که ضرایب مجهول در u(x) همان جابجایی گره ها یعنی ui و uj هستند.

با توجه به صحبت بالا هدف ما پیدا کردن جابجایی های u به نحوی است که انرژی پتانسیل کل کمینه باشد. برای این کار لازم است از انرژی پتانسیل نسبت به جابجایی تمام گره ها مشتق گرفته و برابر صفر قرار دهیم. البته اثبات این موضوع در این بحث نمی گنجد اما بایستی اشاره کنیم که اکسترمم انرژی پتانسیل می نیمم است. بنابراین به تعداد جابجایی گره ها معادله خواهیم داشت. اگر فرض کنیم n گره داشته باشیم، با توجه به اینکه روی هر گره یک جابجایی درنظر گرفته ایم، بنابراین با مشتق انرژی پتانسیل کل نسبت به هر کدام از جابجایی ها n معادله به شکل زیر خواهیم داشت.

Eq18

در نظر داشته باشید به دلیل خطی بودن روابط انرژی کرنشی و کار نیروی خارجی با انرژی پتانسیل به راحتی می توانیم مشتق انرژی پتانسیل را با تفاضل مشتق انرژی کرنشی و کار نیروی خارجی معادل قرار دهیم.

همچنین پارامتر uq نمادی از جابجایی گره ها است. در ادامه جابجایی ها را در معادلات با این نماد می نویسیم و در نهایت به q مقدارهای 1 تا n را می دهیم تا جابجایی کل گره ها را در نظر بگیریم.

بهترین کار برای اینکه این دستگاه معادلات را حل کنیم این است که آن را از حالت اسکالر به حالت ماتریسی بنویسیم.

Eq19

از قبل داریم:

Eq20

و از طرفی می دانیم در مورد عملگر Σ مشتق را می توانیم به داخل آن ببریم. این به این مفهوم است که مشتق انرژی کرنشی کل نسبت به uq برابر است با مجموع مشتق های انرژی کرنشی هر المان نسبت به uq به این ترتیب خواهیم داشت:

Eq21

همچنین برای کارنیروی خارجی کل نیز داریم:

Eq22

پس در مراحل بعد هدف محاسبه مشتق انرژی کرنشی در المان e و مشتق ضرب داخلی نیرو و جابجایی روی گره i نسبت به جابجایی uq خواهد بود. این دو پارامتر به ترتیب Eq23 و Eq24 می باشند.

مشتق انرژی کرنشی المان نسبت به جابجایی گره ها

برای یافتن Eq25 از یادآوری رابطه انرژی کرنشی در المان e زیر شروع می کنیم:

Eq26

با فرض ثابت بودن E و A در هر المان رابطه به شکل زیر در می آید:

Eq27

حال ازاین رابطه نسبت به uq مشتق می گیریم:

Eq28

با توجه به ثابت بودن E و A می توان نوشت:

Eq29

از طرفی چون پارامتر u نسبت به x وابسته نیست می توان مشتق را داخل انتگرال برد. پس داریم:

Eq30

و در ادامه با مشتق گیری از ترم داخل انتگرال خواهیم داشت:

Eq31

همان طور که می بینید مشتق انرژی کرنشی المان e نسبت به جابجایی گره ها به کرنش المان e و مشتق آن نسبت به جابجایی گره ها وابسته است. دقت کنید q=1,2,3,…,i,…,j,…n بوده و uq جابجایی گره q می باشد و ما بایستی در نهایت رابطه فوق را برای تمام q ها بدست آوریم.

از قبل روابط زیر را برای ε داشتیم:

Eq32

بنابراین برای کرنش المان e و مشتق آن نسبت به جابجایی گره q داریم:

Eq33

دقت کنید ما در اینجا با المانی با دو گره i و j مواجهیم. با توجه به اینکه مقدار q از 1 تا n تغییر خواهد کرد پاسخ ها بسته به اینکه q برابر i، j یا هر مقداری خلاف این دو باشد تغییر خواهد کرد که در بالا محاسبه شد. پس از استخراج این روابط که به شکل خلاصه در پایین نمایش داده شده است.

Eq34

چیزی که مشهود است این است که کرنش و مشتق آن هیچ کدام وابستگی به x ندارند. بنابراین می توان این دو ترم را از انتگرال خارج نمود.

Eq35

به این ترتیب مشتق انرژی کرنشی المان e در بالا به راحتی به شکل زیر درآمده و می توان در همین مرحله از شر انتگرال خلاص شد.

Eq36

با جاگذاری ε(e) و مشتق آن، البته با در نظر گرفتن مقدار q در رابطه بالا به شکل جدیدی از معادلات که در زیر نشان داده شده است می رسیم.

Eq37

دقت کنید مفهوم عبارت آخر این است مشتق انرژی کرنشی نسبت به گره هایی که به المان وصل نیستند صفر است. پس در محاسبات کافی است تنها به گره های اطراف المان توجه کنیم.

به این ترتیب مشتق انرژی کرنشی المان e نسبت به جابجایی گره ها در فرم ماتریسی به شکل زیر خواهد بود:

Eq38

برای سادگی محاسبات یک تعریف جدید برای المان e با مشخصات A، E و l ارائه می دهیم و آن اینکه ترم A(e)E(e)/l(e) را با k(e) نام گذاری می کنیم. به این ترتیب معادلات بالا به شکل زیر در می آیند:

Eq39

یاداور می شویم که ما به دنبال مشتق انرژی کرنشی کل نسبت به جابجایی گره ها بودیم. اکنون برای دیدن کل مسئله و محاسبه مشتق انرژی کرنشی کل (Λ(G)) بهتر است ابتدا به المان e بصورت کلی (Global) نگاه کنیم. بدین منظور در رابطه مشتق انرژی کرنشی المان e نسبت به جابجایی uq، مقادیر q را از 1 تا n جایگذاری می کنیم. همچنین همزمان همه جابجایی ها از u1 تا un را نیز در نظر می گیریم.

بنابراین معادلات را در قالب ماتریسی و به شکلی که در پایین می بینید تشکیل دهیم.

دوست گرامی

این مقاله برای کاربران سایت بصورت رایگان درنظر گرفته شده است. برای دسترسی کامل به آن و سایر مطالب این وب سایت لازم است از طریق گزینه زیر ثبت نام نمایید.

 

ثبت نام

 

در صورتی که قبلا عضو سایت شده اید با کلیک روی دکمه زیر وارد شوید.

 

ورود


انرژی پتانسیل کمینه در روش اجزاء محدود + نسخه ویدئویی
0 از 0 رای