شناسه: 1787
دانلود: 32

در مقاله های قبل روی یک مسئله تک بعدی کار کردیم و معادلات المان محدود را برای آن استخراج کردیم. در این مقاله به منظور حل مسائل دوبعدی این معادلات را تعمیم می دهیم. اما پیش از این، جنبه های گسترش مسائل المان محدود را مورد بررسی قرار می دهیم.

جنبه های گسترش یک مسئله

نوع مسئله و نوع معادلات حاکم

می دانیم بر این اساس که نوع مسائل، استاتیک، دینامیک، ارتعاشات، انتقال حرارت و یا ترمودینامیکی باشند، روابط و معادلات حاکم بر سیستم متفاوت خواهد بود که تا کنون ما روی مسائل استاتیکی کار کردیم. علاوه بر نوع مسئله، خطی یا غیرخطی بودن معادلات در کنار ابعاد ماکروسکوپی یا میکروسکوپی آن ها نیز می تواند روی معادلات اجزاء محدود تاثیر داشته باشد.

فضای تعریف هندسه مسئله

فضایی که هندسه مسئله در آن تعریف می شود می تواند یک بعدی (1D)، دوبعدی (2D)، سه بعدی (3D) و یا چندی بعدی باشد که این خود باعث تغییر در روابط خواهد شد. از این رو اگر بخواهیم مسائل را در حوزه استاتیکی، دینامیکی و غیره بررسی کنیم لازم است، ببینیم ابعاد هندسه مسئله از چه جهاتی قابل گسترش است یا به عبارت دیگر به چند بعد برای تعریف آن نیاز داریم. اولین هندسه ای که به ذهن می رسد یک جرم متمرکز است که بصورت یک نقطه (Point) قابل تعریف است. نقطه در فضاهای ابعادی مختلف می تواند تعریف شود. به عنوان مثال اگر مانند شکل 1 نقطه را روی یک محور مختصات در نظر بگیریم با توجه به اینکه محور مختصات یک بعد دارد، نقطه را در فضای یک بعدی تعریف کرده ایم.

 

نقطه در فضای یک بعدی (1D)
شکل 1: نقطه در فضای یک بعدی (1D)

 

همچنین همانطور که در شکل های 2 و 3 نشان داده شده است، امکان تعریف این نقطه در فضای دوبعدی و سه بعدی نیز وجود دارد.

 

نقطه در فضای دوبعدی (2D)
شکل 2: نقطه در فضای دوبعدی (2D)

 
 

نقطه در فضای سه بعدی (3D)
شکل 3: نقطه در فضای سه بعدی (3D)

 

از طرف دیگر برخی قطعات ماننده میله ها، تیرها، خرپاها و غیره، در روش اجزاء محدود می توانند بصورت یک منحنی یا سیم (Wire) تعریف شوند. اگر این منحنی یک خط باشد (مانند میله ای که در بخش های قبل بررسی کردیم) می تواند مانند شکل 4 روی یک محور مختصات یا فضای یک بعدی تعریف شود.

 

سیم در فضای یک بعدی (1D)
شکل 4: سیم در فضای یک بعدی (1D)

 

همچنین این منحنی ها می توانند در فضاهای دوبعدی و یا سه بعدی نیز مانند شکل های 5 و 6 بررسی شوند.

 

سیم در فضای دوبعدی (2D)
شکل 5: سیم در فضای دوبعدی (2D)

 
 

سیم در فضای سه بعدی (3D)
شکل 6: سیم در فضای سه بعدی (3D)

 

سومین هندسه ای که در مسائل اجزاء محدود قابل تعریف است پوسته (Shell) می باشد. با این هندسه می توان قطعات نازک نظیر ورق، مخزن و قطعاتی ازین دست را شبیه سازی نمود. طبیعتاً پوسته در یک بعد قابل تعریف نیست و مانند شکل های 7 و 8 لازم است در دو یا سه بعد بررسی شود.

 

پوسته در فضای دوبعدی (2D)
شکل 7: پوسته در فضای دوبعدی (2D)

 
 

پوسته در فضای سه بعدی (3D)
شکل 8: پوسته در فضای سه بعدی (3D)

 

آخرین هندسه ای که احتمالا در مسائل با آن مواجه هستیم جسم توپر (Solid) است. اکثر قطعاتی که در مسائل شبیه سازی می کنیم از این نوع هستند و همانطور که در شکل 9 مشخص شده است تنها می توان آن ها در فضای سه بعدی مدل کرد.

 

جسم توپر در فضای سه بعدی (3D)
شکل 9: جسم توپر در فضای سه بعدی (3D)

 

مفهوم درجه آزادی و فضای تعریف آن ها

در مقالات قبل و بررسی میله در حال کشش، روی هر گره از مدل اجزاء محدود، یک جابجایی در نظر گرفته شد. به عبارت دیگر عنوان شد که گره ni می تواند جابجایی ui را داشته باشد. به پارامتر جابجایی که به گره اجازه می دهد در یک جهت خاص حرکت کند درجه آزادی گره گفته می شود. در مسئله میله در حال کشش، فرض شد گره ها آزادند و تنها در یک جهت جابجا شوند که با توجه به اینکه در واقعیت نیز میله تنها در راستای خود کشیده یا فشرده (جابجا) می شود، این فرض درست بود.

اما مسائل از حیث درجات آزادی نیز قابل گسترش هستند. درجه آزادی در دسته ای از مسائل اسکالر است با این مفهوم که مقدار برای آن مهم است و جهت اهمیت ندارد. به عنوان مثال دما در مسائل انتقال حرارت از این نوع درجات آزادی است. درجه آزادی های برداری که بیشتر در مسائل مکانیکی با آن مواجه هستیم شامل سرعت، شتاب، جابجایی و… می باشند. در برخی مسائل نیز بسته به شرایط ممکن است معادلات مستقیماً بر اساس تنش و کرنش نوشته شود که در آن صورت درجه آزادی به صورت تانسوری خواهد بود.

معمولا درجات آزادی مسائلی که در علم مهندسی بررسی می شود از جنس بردار هستند لذا می توان گستردگی یک مسئله را از این حیث نیز بررسی نمود. مثلا درجه آزادی در درس قبل بصورت جابجایی تعریف شده بود لذا از جنس بردار بود. پس با توجه به اینکه گره ها فقط در راستای میله جابجا می شدند، همانند شکل 10 جابجایی گره ها را تنها در راستای یک محور (محور x) بررسی کردیم.

 

جابجایی گره در راستای محور x
شکل 10: جابجایی گره در راستای محور x

 

اما همانطور که در شکل های 11 و 12 نشان داده شده است جابجایی گره در دو یا سه بعد نیز قابل تعریف است.

 

جابجایی گره در دو راستا
شکل 11: جابجایی گره در دو راستا

 
 

جابجایی گره در سه راستا
شکل 12: جابجایی گره در سه راستا

 

اما نکته ای که باید به آن توجه داشت این است که یک گره علاوه بر جابجایی در سه جهت محورهای مختصات، می تواند حول این محور ها، دوران (چرخش) نیز داشته باشد. به شکل 13 دقت کنید. در این شکل یک گره نشان داده شده است که علاوه بر جابجایی در 3 جهت، حول آن ها نیز می تواند بچرخد. بنابراین یک گره می تواند در اینگونه مسائل دارای 6 درجه آزادی باشد. بطور مثال در مسائل خمش و پیچش، گره ها علاوه بر جابجایی، دارای درجه آزادی چرخشی نیز خواهند بود.

 

گره با 6 درجه آزادی
شکل 13: گره با 6 درجه آزادی

 

بنابراین با اضافه شدن چرخش های گره به جابجایی ها، مجدداً تعریف درجات آزادی را در فضاهای یک بعدی، دوبعدی و سه بعدی در شکل های 14 تا 16 مشاهده می نمایید.

 

جابجایی گره در یک راستا
شکل 14: جابجایی گره در یک راستا

 
 

جابجایی گره در دو راستا و چرخش حول محور عمودی
شکل 15: جابجایی گره در دو راستا و چرخش حول محور عمودی

 
 

جابجایی گره در سه راستا و چرخش حول سه محور
شکل 16: جابجایی گره در سه راستا و چرخش حول سه محور

 

انتخاب فضای تعریف مسئله با در نظر گرفتن هندسه و درجات آزادی

بدیهی است اگر بخواهیم فضای تعریف یک مسئله را در روش اجزاء محدود انتخاب نماییم بایستی به نوع هندسه و نوع درجات آزادی آن بطور همزمان توجه نماییم. به عنوان مثال اگر در مسئله ای مانند خمش یک تیر، چرخش حول یک محور وجود دارد. با اینکه می توان هندسه مسئله را بصورت یک خط و در فضای یک بعدی تعریف نمود، اما بر اساس چیزی که در شکل 15 نشان داده شده است، بایستی برای بررسی این مسئله فضای دوبعدی را انتخاب نمود.

این نکته اگرچه ظاهراً بسیار ساده است اما بعدها در محیط نرم افزارها خواهید دید که در انتخاب فضای مدل سازی گاها می تواند گیج کننده باشد.

حل یک خرپای دوبعدی و تعمیم معادلات اجزاء محدود از یک بعد به دوبعد

در اینجا به عنوان یک مثال به بررسی یک مسئله دوبعدی می پردازیم. یک خرپای دوبعدی را که متشکل از تعدادی میله مانند شکل 17 است در نظر بگیرید. تمامی میله ها در نقاط اتصال خود هیچ گونه خمشی را تحمل نمی کنند. دو نیروی متمرکز نیز در دو جهت به سازه اعمال می شوند. ابعاد مسئله، سطح مقطع و مدول الاستیسیته مسئله هم روی شکل مشخص شده اند.

 

مسئله خرپای دوبعدی
شکل 17: مسئله خرپای دوبعدی

 

همانگونه که مشخص است هندسه این مسئله در دوبعد تعریف می شود. علاوه بر این درجات آزادی روی گره ها (نقاط اتصال میله ها) به صورت جابجایی در دو جهت موجود در صفحه خواهد بود. بنابراین می توان این مسئله را در دوبعد بررسی نمود. شکل 18 محورهای مختصات را به همراه طول میله ها نشان داده است.

 

تعریف راستای محورهای مختصات و طول میله ها
شکل 18: تعریف راستای محورهای مختصات و طول میله ها

 

با این توضیحات اکنون می توانیم مسئله را گسسته کنیم. بر اساس آموخته های مقالات قبل، اکنون می دانیم در هریک از نقاط ابتدا و انتهای المان و نیز نقاط اعمال نیرو باید یک گره در نظر بگیریم. با توجه به این موضوع می توان هر میله را به عنوان یک المان میله ای، که معادلاتش در مقالات قبل بدست آمد، در نظر گرفت. به هر گره و هر المان یک شماره اختصاص می دهیم که نتیجه این کار به شکل 19 خواهد بود.

 

اختصاص شماره به گره ها و المان ها
شکل 19: اختصاص شماره به گره ها و المان ها

 

نوشتن بردار جابجایی ها (درجات آزادی)

از آنجا که در مسئله میله در حال کشش یک بعدی، جهت جابجایی روی گره ها بدیهی بود، لذا در آن جا در نماد ui جهت جابجایی گنجانده نشده بود. اما در اینجا لازم است این موضوع در نظر گرفته شود. بنابراین در اینجا نماد درجه آزادی (جابجایی) های روی گره ها را بصورت شکل 20 می نویسیم.

 

نماد درجات آزادی
شکل 20: نماد درجات آزادی

 

در اینجا با توجه به اینکه درجات آزادی از نوع جابجایی است مشخصه آن را با u نمایش می دهیم. این مشخصه، یک اندیس خواهد داشت که بخش اول آن شماره گره و بخش دوم آن راستای محور مختصاتی است که گره در آن راستا جابجا می شود. به این ترتیب همان طور که در شکل 21 می بینید روی هر گره بایستی دو درجه آزادی تعریف کنیم. لذا با توجه به اینکه مسئله ما 4 گره دارد، 8 درجه آزادی خواهیم داشت.

 

درجات آزادی و حرکت گره ها در راستای دو محور
شکل 21: درجات آزادی و حرکت گره ها در راستای دو محور

 

به این ترتیب بردار درجات آزادی (جابجایی ها) Eq01 به شکل زیر خواهد بود:

Eq02

با توجه به تکیه گاه هایی که در مسئله داریم، می دانیم مقدار درجات آزادی روی برخی نقاط، همانطور که در شکل 22 نشان داده شده است، معلوم و برابر صفر خواهد بود.

 

اعمال شرایط مرزی
شکل 22: اعمال شرایط مرزی

 

با توجه به این موضوع، بردار جابجایی ها بدین صورت مجدداً نوشته می شود:

Eq03

نوشتن بردار نیروها

به عنوان یک قاعده می دانیم برای آنکه اثر نیروها را در روش اجزاء محدود بررسی کنیم، بایستی آن ها را در راستای درجات آزادی تجزیه کنیم. در ابتدای کار برای آنکه درک این موضوع راحت تر شود روی هر گره، مانند شکل 23، دو نیروی عکس العمل در راستای درجات آزادی متناظر در نظر بگیرید.

 

نیروهای متناظر هر جابجایی تکیه گاهی
شکل 23: نیروهای متناظر هر جابجایی تکیه گاهی

 

به این ترتیب بردار نیروها را درست به همان ترتیب که بردار جابجایی ها را نوشتیم به صورت زیر می نویسیم:

Eq04

اکنون نیروهای خارجی و نیروهای عکس العمل تکیه گاهی را روی مدل مانند شکل 24 نشان می دهیم.

 

تشکیل بردار نیروها
شکل 24: تشکیل بردار نیروها

 

حال با توجه به شکل بالا و با توجه به راستای نیروها در بردار نیروهای Eq05، این بردار را مجدداً بصورت زیر می نویسیم:

Eq06

دقت نمایید نیروهایی که در جهت عکس نیروی متناظر جابجایی ها به خرپا اعمال شده اند با علامت منفی در این بردار قرار داده شده اند.

نوشتن ماتریس سختی

مرحله بعد، یافتن ماتریس سختی است. برای این کار مانند آنچه در مقالات قبل انجام شد، ابتدا ماتریس سختی یک المان را محاسبه می نماییم. مانند شکل 25 یک المان فرضی از خرپا را که با محور مختصات زاویه دارد در نظر بگیرید.

 

المان e که با محورهای مختصات زاویه دارد
شکل 25: المان e که با محورهای مختصات زاویه دارد

 

ابتدا به عنوان یادآوری از مقالات قبل، در شکل 26 یک المان میله ای یک بعدی و ماتریس سختی آن آورده شده است. در این معادلات، علامت بار (-) روی پارامترها نشان دهنده یک بعدی بودن آن پارامترها می باشد.

 

ماتریس سختی المان یک بعدی
شکل 26: ماتریس سختی المان یک بعدی

 

Eq07

از مقاومت مصالح به یاد داریم که تغییر طول یک میله برابر با Eq08 است. از طرفی انرژی کرنشی در یک فنر برابر Eq09 است که در آن k ضریب سختی فنر می باشد.

 

معادل سازی المان میله ای و فنر
شکل 27: معادل سازی المان میله ای و فنر

 

همانطور که مشاهده می شود ضریب سختی فنر k معادل پارامتر Eq10 در میله است. پس با معادل سازی المان میله ای و فنر می توان گفت انرژی کرنشی المان میله ای برابر Eq11 خواهد بود. همچنین می دانیم که در یک المان Eq12 است. پس انرژی کرنشی المان میله ای e با جابجایی های ui در گره سمت چپ و uj در گره سمت راست برابر خواهد بود با:

Eq13

با بسط این معادله داریم:

Eq14

با در نظر گرفتن بردار جابجایی ها به شکل Eq15 روابط شکل نهایی زیر را به خود خواهند گرفت.

Eq16

اثبات رابطه ماتریسی نهایی که انرژی کرنشی المان میله ای e را می دهد به عنوان یک تمرین به شما واگذار می شود.

شکل نهایی المان خرپا بعد از اعمال جابجایی مانند شکل 28 خواهد بود. در نظر داشته باشید از آنجا که مقدار جابجایی ها در برابر طول المان ناچیز است، بنابراین از تغییرات زاویه بین المان و محورهای مختصات صرف نظر شده است. اگرچه در مسائل استاتیک خطی این فرض صحیح است.

 

موقعیت نهایی المان خرپا بعد از اعمال جابجایی گره ها
شکل 28: موقعیت نهایی المان خرپا بعد از اعمال جابجایی گره ها

 

اکنون برای بررسی انرژی کرنشی المان، راحت تر آن است که محور مختصات محلی را به نحوی در نظر بگیریم که محور x در راستای المان باشد. پس از تعریف مختصات محلی روی المان میله ای جابجایی گره های i و j در راستای میله بصورت شکل 29 قابل بررسی است.

 

تعریف مختصات محلی
شکل 29: تعریف مختصات محلی

 

با بزرگنمایی روی یکی از گره ها مطابق شکل 30، بر اساس روابط هندسی معادلات زیر را خواهیم داشت:

 

جابجایی u گره در راستای المان میله و مولفه های آن در راستای محورهای اصلی
شکل 30: جابجایی u گره در راستای المان میله و مولفه های آن در راستای محورهای اصلی

 

Eq17

می دانیم که Eq18 است. پس می توانیم روابط بالا را به شکل ماتریسی زیر بازنویسی کنیم.

Eq19

اگر ماتریس حاوی سینوس و کسینوس زاویه المان e با محور x را با Eq20 و بردار جابجایی های این المان را در دو راستای x و y با Eq21 نشان دهیم خواهیم داشت:

Eq22

در واقع ماتریس Eq23 بردار جابجایی گره های المان e را از مختصات کلی (Global) به مختصات محلی (Local) انتقال می دهد.

به این ترتیب با جایگذاری این رابطه در رابطه انرژی کرنشی، به روابط زیر خواهیم رسید.

Eq24

همانطور که در رابطه ماتریسی انرژی کرنشی المان میله ای در یک بعد مشاهده می شود، ماتریس سختی این المان در مختصات محلی یعنی Eq25 بین دو پارامتر Eq26 و Eq27 قرار گرفته است. بنابراین از آنجا که Eq28 و Eq29 مربوط به جابجایی ها در مختصات Global هستند، بنابراین عبارتی که بین این دو پارامتر در رابطه فوق قرار دارد یعنی Eq30 همان ماتریس سختی المان در مختصات Global است. به این ترتیب می توانیم معادله زیر را بنویسیم:

Eq31

به منظور یادآوری، در این معادله داریم:

Eq32

حال می توانیم ماتریس سختی تمام المان ها را در مختصات کلی محاسبه نماییم. بدین منظور ابتدا اطلاعات تمام المان ها را در جدول 1 جمع آوری می کنیم.

 

جدول 1: اطلاعات المان ها برای محاسبه ماتریس سختی
اطلاعات المان ها برای محاسبه ماتریس سختی

 

به این ترتیب به منظور محاسبه ماتریس سختی المان 1 داریم:

Eq33

اکنون می توانیم ماتریس سختی المان 1 را در مختصات کلی بدست آوریم:

Eq34

به جایگاه مولفه ها با توجه به شماره درجات آزادی دقت کنید.

Eq35

همین روند را برای المان 2 نیز انجام می دهیم:

Eq36

ماتریس المان 3 نیز به شکل زیر بدست می آید:

Eq37

و نهایتا روابط المان 4 به شکل زیر استخراج می شود:

Eq38

مقادیر عددی زیر نیز به راحتی قابل استخراج است:

Eq39

با توجه به اینکه در خرپای موردنظر، 8 درجه آزادی داریم ماتریس سختی شامل 8 سطر و 8 ستون خواهد بود. به این ترتیب شکل کلی ماتریس به صورت زیر خواهد بود. همچنین با مشترک بودن عبارت Eq40 در ماتریس های سختی المان ها، آن را بیرون کشیده و بقیه ترم ها را در این ماتریس می نویسیم.

Eq41

مولفه های این ماتریس را با توجه به جایگاه مولفه ها در ماتریس های سختی هر المان، که در مرحله قبل برای هر المان مشخص کردیم، جایگذاری می کنیم. به عنوان مثال ماتریس المان اول به شکل زیر جایگذاری می شود.

Eq42

به یاد داریم که در ماتریس سختی المان e اگر بخواهیم بصورت Global به آن نگاه کنیم، مقدار مولفه های مربوط به درجات آزادی غیرمرتبط به المان برابر صفر است. بنابراین سایر مولفه های ماتریس را برای این المان برابر صفر قرار می دهیم.

Eq43

بر این اساس برای المان دوم داریم:

Eq44

همچنین برای المان سوم داریم:

Eq45

و در نهایت برای المان چهارم داریم:

Eq46

بنابراین برای هر مولفه از ماتریس سختی کلی، باید مقادیر مولفه های مربوطه از ماتریس های سختی هر چهار المان را قرار بدهیم و آنها را بصورت زیر با یکدیگر جمع نماییم.

Eq47

با اعمال عمل جمع در تمام مولفه ها و جایگذاری مقدار Eq48 در این ماتریس، شکل نهایی ماتریس سختی کل (Global) به شکل زیر در خواهد آمد:

Eq49

محاسبه جابجایی های گره ها در دو جهت مختصاتی

اکنون تمام ترم های معادله اجزاء محدود در مسائل استاتیک خطی را داریم.

Eq50

پس می نویسیم:

Eq51

از مسئله میله یک بعدی درحال کشش به یاد دارید که در این مرحله، سطر و ستون های مربوط به جاهایی که در آن مقادیر درجات آزادی جابجایی معلوم و برابر صفر است ازین رابطه حذف می شوند.

Eq52

بنابراین معادلات باقیمانده به صورت ماتریسی زیر در خواهند آمد:

Eq53

بنابراین مقدار جابجایی ها به این شکل محاسبه خواهند شد:

Eq54

به این ترتیب مقدار جابجایی مربوط به گره ها در دو جهت محورهای مختصات به دست می آیند:

Eq55

مقدار منفی در جابجایی ها به مفهوم جابجایی گره در جهت عکس جهتی است که در ابتدا برای آن فرض شده است. مثلا برای u3y جهت جابجایی عمودی گره 3 با اعمال نیروها به سمت پایین خواهد بود.

محاسبه نتایج غیر مستقیم نظیر کرنش، تنش، نیروهای داخلی و نیروهای تکیه گاهی

به عنوان یک قاعده کلی به یاد داریم که با محاسبه جابجایی گره ها به روش اجزاء محدود می توان نتایج دیگری نظیر کرنش، تنش، نیروهای داخلی و نیروهای تکیه گاهی را به دست آورد.

می دانیم کرنش در راستای المان یک بعدی به شکل زیر است:

Eq56

با جایگذاری Eq57 در معادله بالا خواهیم داشت:

Eq58

به این ترتیب با توجه به رابطه بالا کرنش در هر المان به شکل زیر قابل محاسبه است:

Eq59

همچنین تنش طبق رابطه هوک خواهد بود:

Eq60

پس برای تمام المان ها، تنش بصورت زیر بدست خواهد آمد:

Eq61

علامت منفی در المان های دوم و سوم نشانه فشردگی المان است.

نیروی داخلی هر المان هم که در درس استاتیک محاسبه می شد از رابطه زیر محاسبه می شود:

Eq62

لذا برای تمام المان ها داریم:

Eq63

علاوه بر تمام این نتایج، می توانیم نیروی عکس العمل تکیه گاه ها را نیز از رابطه زیر محاسبه کنیم. برای این کار کافی است این رابطه را در حالت کلی (Global) بازنویسی کنیم.

Eq64

نیروهای عکس العملی تکیه گاه ها که در رابطه بالا بدست آمد را می توانید در شکل 31 نیز بیابید:

 

نیروهای عکس العملی تکیه گاه ها
شکل 31: نیروهای عکس العملی تکیه گاه ها

 

به عنوان جمع بندی مقاله حاضر می توانیم بگوییم:

به منظور استخراج معادلات اجزاء محدود خرپاهای دوبعدی و سه بعدی می توان به جای تشکیل انتگرال Weak Form یا استفاده از تئوری انرژی کرنشی کمینه، روابط خرپای یک بعدی (میله) را با ماتریس های انتقال، به دوبعد و سه بعد تعمیم داد.

در مقالات آینده به کاربرد کامپیوتر در روش اجزاء محدود و جایگاه محاسبات کامپیوتری در این روش می پردازیم.

 

نسخه ویدئویی این مقاله را در بالا مشاهده نمایید.

تعمیم معادلات اجزاء محدود از یک بعد به بعدهای بیشتر + نسخه ویدئویی
0 از 0 رای