محاسبه سرعت دو جرم متصل به یک فنر پیش فشرده

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- ایجاد پیش فشار (یا پیش کشش) در یک فنر خطی

2- استخراج نیروی داخلی فنر خطی

فنر نشان داده شده در شکل به اندازه 0.3 m فشرده شده است و ناگهان رها می شود. تندی دو جرم را در لحظه ای که فنر بدون کشیدگی است بدست آورده و با نتایج مرجع [1] مقایسه کنید (از اصطکاک صرفنظر شود).

 

شکل 1: فنر فشرده شده متصل به دو جرم

 

مدلسازی مسئله:

به منظور ایجاد جرم ها و فنری که به آنها متصل است وارد ماژول Interaction شوید. با کلیک روی آیکون (Create Reference Point) 2 نقطه به ترتیب به مختصات (0,0,0) و (1,0,0) ایجاد نمایید. همانطور که می دانید فاصله دو نقطه از هم تاثیری در نتایج ندارد اما این فاصله نباید طوری انتخاب شود که پس از رها کردن فنر فشرده، هنگامی که دو جرم به هم نزدیک می شوند این فاصله صفر یا منفی شود.

ایجاد فنر خطی:

مانند روند بیان شده در شکل های 3 تا 5 درس چهارم، بین این دو نقطه فنری با سختی 200 N/m ایجاد کنید.

اختصاص جرم به RP ها:

روی نقطه RP-1 که معادل جرم m1 است جرمی به اندازه 3kg و روی نقطه RP-2 که معادل جرم m2 است جرمی به اندازه 7kg ایجاد کنید.

تعریف Step های تحلیل:

وارد ماژول Step شوید. همانگونه که در صورت سوال عنوان شده است، فنر ابتدا به اندازه 0.3 m فشرده شده و سپس رها می شود. به منظور شبیه سازی این دو مرحله، بایستی دو Step نیز در مدل ایجاد نمود. روی آیکون (Step Manager) کلیک کنید تا تعریف دو Step راحتتر انجام شود. در پنجره باز شده روی دکمه Create کلیک نمایید. حال در پنجره Create Step که در شکل 2 نشان داده است، گزینه Static, General را به عنوان Step اول که مربوط به فشردن فنر است انتخاب و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 2: انتخاب Static, General به عنوان نوع Step اول

 

بدلیل استاتیکی بودن این Step و نیز خطی بودن فنر، مسئله فقط با یک نمو در این Step حل خواهد شد در نتیجه نیازی به فعال کردن گزینه Nlgeom در پنجره Edit Step نیست. هرچند که در هنگام تحلیل مسئله، پیام هشداری مبنی بر غیر فعال بودن این گزینه در Step-1 به شما داده می شود اما این پیام هشدار در این مسئله بی تاثیر است و در صورت فعال کردن آن اتفاقی در تحلیل نمی افتد. در تحلیل های استاتیکی، زمان مهم نیست (مگر در شرایطی خاص) در نتیجه با پذیرفتن مقدار پیش فرض 1 در قسمت Time period روی دکمه OK کلیک نمایید.

برای ایجاد Step دوم، مجدداً در پنجره Step Manager روی دکمه Create کلیک کنید. اینبار در پنجره Create Step مانند شکل 3، نوع این Step را که بعد از Step-1 قرار می گیرد، Dynamic, Implicit انتخاب نمایید. با توجه به اینکه مسئله حاضر بصورت چند مرحله ای (Multi-Step) تعریف می شود، بخاطر وجود Step-1 از نوع استاتیکی، در لیست گزینه های مربوط به نوع Step ها، برخی از Step ها از جمله Dynamic, Explicit در دسترس نمی باشند.

 

شکل 3: ایجاد Step از نوع Dynamic, Implicit بعد از Step-1

 

روی دکمه Continue کلیک کرده و در پنجره باز شده پارامترهای زیر را انتخاب کنید.

Time period: 2
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.01

 

نکته 1

در پنجره Step Manager همانگونه که در شکل های (الف) و (ب) نشان داده شده است می توانید با کلیک روی دکمه Nlgeom، این گزینه را خاموش یا روشن نمایید، هرچند همانطور که گفته شد در تحلیل های دینامیکی بایستی این گزینه روشن باشد. نکته اینکه در صورت روشن (یا خاموش) کردن این گزینه در Step-1 (از نوع استاتیکی) حتما این حالت در Step-2 (از نوع دینامیک ضمنی) نیز فعال (یا غیرفعال) خواهد شد. در این مسئله، مانند شکل (الف) Step-1 را خاموش و Step-2 را روشن در نظر گرفته ایم.

 

شکل الف: دکمه Nlgeom برای روشن یا خاموش کردن حالت جابجایی های بزرگ

 

شکل ب: روشن بودن گزینه Nlgeom در Step-1 و تبعیت Step-2 از آن

 

فشردن فنر و رها کردن آن:

وارد ماژول Load شوید. به منظور مدلسازی فشردن فنر و رها کردن آن، به این صورت عمل می کنیم.

روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کرده و درجه آزادی U1 نقطه RP-1 را در Initial Step مقید کنید. مجدداً روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید و شرط مرزی ای روی RP-2 با مشخصات نشان داده شده در شکل 4 ایجاد کنید. به علامت منفی توجه کنید.

 

شکل 4: تعریف جابجایی جرم m2 در خلاف جهت X و فشردن فنر در Step-1

 

با این شرایط مرزی، در حالی که جرم m1 را سر جای خود ثابت نگه داشته ایم در اولین مرحله از تحلیل، جرم m2 را به میزان 0.3 m به آن نزدیک و در واقع فنر را به این میزان فشرده نموده ایم.

تا این مرحله فنر را فشرده کرده ایم و کافیست در مرحله بعد آن را رها کنیم. بدین منظور روی آیکون (Boundary Condition Manager) کلیک کنید تا لیست شرایط مرزی ایجاد شده به نمایش درآید. همانگونه که در شکل 5 نشان داده شده است، دو شرط مرزی BC-1 و BC-2 که به ترتیب در مراحل Initial و Step-1 ایجاد شده اند، بصورت پیش فرض در Step های بعدی نیز فعال هستند که این موضوع با عبارت Propagated مشخص می شود. بدیهی است برای رها کردن فنر در Step-2 کافی است شرایط مرزی مذکور را در این مرحله غیر فعال نماییم. بدین منظور روی کلمه Propagated مربوط به هر یک از این شرایط مرزی در Step-2 کلیک کرده و روی دکمه Deactivate کلیک کنید تا شرایط مرزی در این Step غیرفعال شوند.

 

شکل 5: نحوه غیرفعال کردن شرایط مرزی در Step-2

 

با اینکار بایستی مانند شکل 6 عبارت Inactive به جای Propagated در مکان های مربوطه ظاهر شود.

 

شکل 6: شرایط مرزی BC-1 و BC-2 که در Step2 غیرفعال شده اند

 

با توجه به اینکه علامت هر شرط مرزی در Viewport به نمایش در می آید، می توانید این شرایط مرزی را در Step های مختلف از لیست باز شو نشان داده شده در شکل 7 نیز بررسی نمایید.

 

شکل 7: نمایش شرایط مرزی هر Step در Viewport

 

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. در برگه Warnings، دو پیام هشدار مشابه شکل 8 نشان داده می شود که با پیام هشدار دوم آشنا هستید. پیام هشدار اول بیان می کند که گزینه Nlgeom در Step-1 که از نوع General است فعال نشده است و فعال بودن آن در Step-2 ممکن است باعث مشکلاتی در همگرایی تحلیل شود اگر جابجایی ها در انتهای Step قبل بزرگ باشند. همانطور که قبلا بیان شد، چون فنر بکار رفته در این مسئله خطی است در نتیجه، جابجایی ها در Step-1 هر قدر هم که بزرگ باشند با یک نمو قابل حل هستند و عملا هیچ اثر غیر خطی ای در مسئله وجود ندارد که بخواهد وارد Step-2 شود. این پیام هشدار را می توانید با فعال کردن گزینه Nlgeom در Step-1 از بین ببرید.

 

شکل 8: پیامهای ایجاد شده در برگه Warnings

 

مشاهده و بررسی نتایج:

روی دکمه Result کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. خواسته مسئله، اندازه سرعت (تندی) دو جرم در لحظه ای است که فنر بدون کشیدگی یا فشردگی می باشد. این یعنی باید ابتدا لحظه ای که نیروی داخلی فنر برابر صفر است را پیدا نموده و پس از آن مقدار سرعت ها را در این لحظه بخوانیم. بدین منظور روی آیکون (Create XY Data) کلیک کرده و در پنجره باز شده پس از انتخاب گزینه ODB field output روی دکمه Continue کلیک کنید. همانطور که قبلاً نیز در درس سوم بیان شد، عبارت S11 اگرچه نماد تنش در راستای 1 است اما در فنرها و دمپرهای خطی بیانگر نیروی موجود در آنها می باشد. لذا مانند شکل 9 این گزینه را انتخاب نمایید.

 

شکل 9: انتخاب گزینه S11 برای رسم نمودار نیروی داخلی فنر

 

پس از آن به برگه Elements/Nodes رفته و روی دکمه Edit Selection کلیک کنید. در قسمت اعلان از شما خواسته می شود المان مورد نظر را که در اینجا همان فنر است انتخاب کنید. بنابراین در Viewport با درگ موس، فنر را انتخاب و روی دکمه Done در قسمت اعلان کلیک کنید. برای ذخیره این خروجی نیرو، روی دکمه Save کلیک کرده و پس از آن، پیام بعدی را با OK پاسخ دهید.

حال بایستی نتایج مربوط به سرعت های دو جرم را فراخوانی و ذخیره کنیم. بنابراین در حالی که هنوز پنجره XY Data from ODB Field Output باز است به تب Variables بازگشته و بعد از غیر فعال کردن خروجی S11، از لیست باز شوی Position گزینه Unique Nodal را انتخاب کنید. سپس خروجی V1 دو گره دو سر فنر که در شکل 10 مشخص شده اند را استخراج کرده و ذخیره کنید.

 

شکل 10: انتخاب نقاط دو سر فنر که جرم های m1 و m2 قرار دارند

 

اکنون نوبت مشاهده خروجی ها و یافتن جواب خواسته شده در صورت مسئله است. روی آیکون (XY Data Manager) کلیک کنید. همانطور که در شکل 11 نشان داده شده است تعداد سه خروجی که در مراحل قبل ذخیره شده اند در این پنجره در دسترس است.

 

شکل 11: سه خروجی ذخیره شده برای استخراج نتایج

 

برای رسم نمودار هر یک از خروجی ها، پس از انتخاب آن، روی دکمه Plot کلیک کنید. شکل 12 نمودار سه خروجی را بصورت یکجا نشان می دهد. محور افقی، زمان کل دو Step (در مجموع 3 ثانیه) را نشان می دهد. چون خروجی ها از دو جنس سرعت و نیرو هستند در نتیجه دو محور قائم برای آنها در نظر گرفته شده است. بدلیل اینکه هیچ میراکننده ای در سیستم وجود ندارد در نتیجه هر سه خروجی بصورت نوسانی هستند. همانطور که مشاهده می کنید مقدار نیرو در انتهای Step-1 برابر 60 نیوتن محاسبه شده است که با مقدار F=k×Δx=200×0.3 برابری می کند. چون Step-1 از نوع استاتیکی است در نتیجه سرعتی در آن وجود ندارد و به همین خاطر نمودارهای سرعت از ثانیه 1 به بعد رسم شده اند.

 

شکل 12: رسم همزمان سه خروجی در یک شکل

 

می توانید با انتخاب هر یک از خروجی ها و زدن دکمه Edit، جدول تغییرات آن نسبت به زمان را بررسی کنید. در اولین قدم، خروجی S11 را که در شکل 13 آورده شده است برای یافتن زمانی که در فنر فشردگی یا کشیدگی وجود ندارد بررسی می کنیم. در حالت ایده آل مقدار نیروی داخلی فنر در این وضعیت 0 خواهد بود اما با توجه به اینکه نتایج Abaqus بصورت گسسته ذخیره می شود باید اولین (به علت نوسانی بودن نیرو و سرعتها) نیروی نزدیک به عدد صفر را در نظر بگیریم. شکل 13 نشان می دهد که این حالت در زمان 1.16 s رخ داده است.

 

شکل 13: مقادیر نیروی فنر نسبت به زمان

 

حال از پنجره XY Data Manager سرعت V1 مربوط به Node 1 (معادل جرم m1) را انتخاب و سرعت آن را مانند شکل 14 در زمان 1.16 s بخوانید.

 

شکل 14: سرعت جرم m1 در لحظه ای که نیروی فنر صفر است

 

همین کار را برای جرم m2 که روی Node 2 قرار دارد انجام دهید. در شکل 15 سرعت این جرم در زمان مورد نظر مشخص شده است.

 

شکل 15: سرعت جرم m2 در لحظه ای که نیروی فنر صفر است

 

جدول 1 تندی (قدر مطلق سرعت) بدست آمده از Abaqus و مرجع [1] مربوط به جرم های m1 و m2 در زمانی که فنر فشرده یا کشیده نیست را ارائه کرده است.

 

جدول 1: مقادیر سرعت جرم ها هنگامی که نیروی فنر صفر است

 

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 198, problem 3/196

دیدگاه شما چیست؟