محاسبه سرعت و شتاب ذره متحرک در یک بعد

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- تعریف معادلات غیر خطی بر حسب زمان

2- تعریف شرط مرزی جابجایی

3- استخراج و رسم نمودارهای جابجایی، سرعت و شتاب یک نقطه

مکان ذره متحرکی در راستای محور x بر حسب زمان به صورت زیر داده شده است.

x=2t3 – 24t + 6

هدف به دست آوردن سرعت و شتاب ذره و مقایسه آنها با نتایج مرجع [1] می باشد. توجه داشته باشید که این مسئله شما را در استفاده از نرم افزار به چالش می کشد. (جرم ذره را 1 کیلوگرم فرض کنید).

مدلسازی مسئله:

مشابه درس اول، در ماژول Part یک قطعه از نوع Reference Point بصورت 2D Planar در مختصات (0,0) ایجاد کنید.

مونتاژ قطعه در محیط Assembly:

در این مرحله به ماژول Assembly رفته و قطعه را بصورت Independent به محیط Assembly وارد کنید.

تعریف Step:

وارد ماژول Step شوید و مانند درس اول، یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای نشان داده شده در شکل 1 ایجاد نمایید.

 

شکل 1: گزینه های انتخاب شده در برگه Basic

 

سپس به برگه Incrementation رفته و گزینه های مشخص شده در شکل 2 را انتخاب نمایید.

 

شکل 2: تنظیمات برگه Incrementation

 

برای یادآوری توضیحات این گزینه ها به نکته های 5 و 6 درس اول مراجعه کنید. روی دکمه OK کلیک کنید تا Step مورد نظر ایجاد شود.

تعریف جرم:

وارد ماژول Interaction شوید و از نوار منو، با استفاده از مسیر نشان داده شده در شکل 3، اقدام به ایجاد یک جرم متمرکز کنید.

 

شکل 3: مسیر ایجاد جرم متمرکز در نوار منو

 

در پنجره باز شده، گزینه Point mass/inertia را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. در قسمت اعلان از شما خواسته می شود تا نقطه ای را برای اختصاص جرم به آن انتخاب کنید. مانند شکل 4، نام Set ای که قرار است روی جرم تعریف شود را M گذاشته و پس از انتخاب نقطه RP در viewport روی دکمه Done کلیک کنید. برای یادآوری مفهوم Set به نکته 7 در درس اول مراجعه کنید.

 

شکل 4: انتخاب نام M برای Set ایجاد شده روی جرم متمرکز

 

در پنجره Edit Inertia، که در شکل 5 نیز نمایش داده شده است، مقدار جرم را یک عدد دلخواه (مثلاً 1kg) در نظر بگیرید. در واقع همانطور که در درس اول نیز گفتیم این مقدار در جواب ها تاثیری نخواهد داشت، اما به این دلیل که در معادلات المان محدود پارامتر جرم وجود دارد مجبوریم برای نرم افزار این پارامتر را تعریف کنیم. به علامت سبز رنگ روی RP که نشان دهنده ایجاد جرم متمرکز روی آن است توجه کنید.

 

شکل 5: اختصاص جرم 1kg به ذره

 

تعریف خروجی های جابجایی، سرعت و شتاب:

به ماژول Step بازگردید. در این قسمت می خواهیم خروجی های انرژی را که بصورت History output هستند اصلاح کرده و بجای آن ها خروجی های موردنظرمان را درخواست دهیم. روی آیکون نشان داده شده در شکل 6 کلیک کنید.

 

شکل 6: انتخاب آیکون مدیریت خروجی های زمانی

 

نکته 1

خروجی های حاصل از تحلیل به دو دسته تقسیم می شوند. خروجی های میدانی (Field Outputs) و خروجی های زمانی (History Output). خروجی های میدانی همان کانتورهای رنگی ای هستند که در ماژول Visualization برای بعضی از نتایج نظیر تنش ها، جابجایی ها، سرعت ها و… روی جسم نشان داده می شود. این خروجی ها برای تمام گره ها و المان های موجود در مدل ذخیره می شوند در نتیجه حجم فایل ذخیره شده وابسته به تعداد خروجی های درخواست شده و همچنین تعداد بازه های زمانی مورد نیاز است. خروجی های زمانی، خروجی هایی هستتند که برای یک یا تعدادی گره یا المان بر حسب زمان درخواست داده می شوند. بعنوان مثالی از این خروجی، جابجایی U1 یک گره را می توان بیان کرد که در آن جابجایی U1 گره بر حسب زمان ذخیره می شود.

 

سپس در پنجره History Output Requests Manager، گزینه نشان داده شده در شکل 7 را انتخاب کرده و روی دکمه Edit کلیک کنید.

 

شکل 7: ویرایش خروجی های درخواستی

 

مانند شکل 8، در پنجره باز شده ابتدا گزینه Energy را غیر فعال کنید تا لیست متغیرهای خروجی پاک شود.

 

شکل 8: غیر فعال کردن خروجی های انرژی

 

سپس مانند شکل 9، گزینه Domain را روی Set تنظیم کرده و سپس از لیست باز شو Set با نام M را که در هنگام تخصیص جرم تعریف شده بود انتخاب کنید. همچنین جلوی Frequency تنظیمات نشان داده شده را انتخاب نمایید تا خروجی ها به ازای هر نمو زمانی در فایل خروجی تحلیل ذخیره شود. در نهایت نیز U1، V1 و A1 که به ترتیب مربوط به جابجایی، سرعت و شتاب در راستای x هستند را به عنوان خروجی انتخاب کنید. (توجه کنید که بجای انتخاب متغیرها از لیست Output Variables، میتوانید نام هر متغیر را در مستطیل مربوط به متغیرها تایپ کنید مثلا u1,v1,a1 که معادل انتخاب آنها از لیست می باشد). روی دکمه OK کلیک کنید تا درخواست کامل شود.

 

شکل 9: درخواست خروجی های جابجایی، سرعت و شتاب در راستای x

 

تعریف معادله جابجایی:

به منظور تعریف تابع جابجایی درجه 3، وارد ماژول Load شوید. توجه کنید که با ابزارهای معمول نمی توان مستقیماً این معادله را برای نرم افزار تعریف کرد و این مورد نیاز به ارائه مباحث پیشرفته تر دارد. اما به هر حال در این درس، نقاط روی منحنی معادله جابجایی را به نرم افزار می دهیم. از مسیر زیر در نوار منو اقدام به ایجاد یک Amplitude کنید.

Tools > Amplitude > Create

در پنجره Create Amplitude مانند شکل 10 گزینه Tabular را انتخاب کرده و نام آن را وارد کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 10: پنجره Create Amplitude

 

همانگونه که شکل 11 نشان می دهد، در پنجره Edit Amplitude یک جدول با دو ستون قرار دارد. در ستون اول با نام Time/Frequency مقادیر زمان (یا فرکانس) و در ستون Amplitude مقادیر متناظر با پارامتر موردنظر که در اینجا جابجایی است وارد می شود.

 

شکل 11: پنجره Edit Amplitude و گزینه های موجود در آن

 

از آنجا که در این درس بخاطر نمو زمانی 0.02 s نیازمند نقاط زیادی در تعریف چند جمله ای درجه 3 هستیم در نتیجه، ابتدا در نرم افزار Excel نقاط را ایجاد کرده و سپس در جدول این پنجره کپی می کنیم. از اینرو در نرم افزار Excel ابتدا یک ستون (ستون A) را به زمان اختصاص داده و آن را از 0s تا مقداری بیش از 4s با نمو زمانی 0.02 ثانیه ای پر کنید.

 

نکته 2

برای پر کردن یک ستون با نمو زمانی دلخواه (مثلا 0.02) ابتدا مانند شکل (الف) در سلول A1 عدد 0 و در سلول A2 عدد 0.02 را وارد کنید. سپس این دو سلول را انتخاب کنید. نشانگر موس را روی مربع کوچک نشان داده شده در شکل (الف) قرار دهید تا تبدیل به علامت + شود. سپس در همین وضعیت روی آن کلیک کنید و تا ردیف دلخواه درگ کنید تا تمام سلولها بر اساس این نمو زمانی پر شوند.

 

شکل الف: نقطه موردنظر برای درگ موس

 

شکل (ب) سلولهای پر شده با این درگ را نشان می دهد.

 

شکل ب: پر شدن سلولها بعد از درگ موس

 

سپس مانند شکل 12 در ستون سمت راست آن (ستون B) رابطه جابجایی ذره را (شروع معادله در Excel با علامت =) بر حسب مقدار متناظر زمان آن بنویسید. در نظر داشته باشید که رابطه بیان شده در صورت سوال، مکان ذره را در هر لحظه مشخص می کند، در حالی که در نرم افزار بایستی جابجایی ذره تعریف شود. بنابراین از مکان ذره در لحظه 0s که برابر 6 می باشد، بایستی صرف نظر گردد.

Displacement = x (t) – x (0)

 

شکل 12: ایجاد معادله حرکت در Excel

 

در مرحله بعد همانطور که در شکل 13 نیز نشان داده شده است، تابع ایجاد شده در سلول B1 را با درگ موس به تمام سلولهای خالی ستون B کپی کنید تا جدول زمان-جابجایی ذره ایجاد شود. یادآوری می شود زمان ایجاد شده در ستون A حتما از 4s که همان زمان حل مسئله است بیشتر باشد.

 

شکل 13: کامل کردن جدول جابجایی بر حسب زمان

 

حال با انتخاب کل سلول های پر شده در فایل Excel اعداد ایجاد شده را به جدول پنجره Edit Amplitude در نرم افزار Abaqus کپی کنید و در نهایت دکمه OK را فشار دهید. شکل 14 جدول پر شده این پنجره را نشان می دهد. به آخرین سطر جدول که عدد مربوط به زمان در آن بیشتر از 4s می باشد توجه کنید.

 

شکل 14: جدول پر شده در پنجره Edit Amplitude

 

پس از ایجاد هر Amplitude می توانید از نوار منو و مسیر نشان داده شده در شکل 15 (فقط در ماژول های Interaction و Load) منحنی آن را رسم کنید تا از صحت داده ها مطمئن شوید.

 

شکل 15: ابزار رسم نمودار Amplitude ایجاد شده

 

مانند شکل 16 با انتخاب Amplitude مورد نظر و کلیک روی دکمه Plot پنجره ای شامل نمودار مذکور باز خواهد شد. نمودار Amplitude مربوط به معادله جابجایی در این درس در شکل 17 آورده شده است.

 

شکل 16: پنجره Amplitude Plotter برای رسم نمودار Amplitude

 

شکل 17: نمودار Amplitude مربوط به معادله جابجایی ذره

 

پنجره Amplitude Plotter را ببندید تا نمودار آن نیز بسته شود. در مرحله بعد بایستی این داده ها (جابجایی) را به ذره اختصاص دهیم. بدین منظور روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. در پنجره باز شده، گزینه های مشخص شده در شکل 18 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 18: گزینه های انتخاب شده برای تعریف شرط مرزی

 

در قسمت اعلان مطابق با شکل 19 روی دکمه Sets کلیک کنید.

 

شکل 19: گزینه Sets در قسمت اعلان

 

در پنجره Region Selection که در شکل 20 نیز نشان داده شده است Set با نام M را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 20: پنجره Region Selection و انتخاب Set با نام M

 

سپس در پنجره Edit Boundary Condition مانند شکل 21، درجه آزادی U1 که مربوط به جابجایی در جهت x می باشد را فعال و جلوی آن عدد 1 را وارد کنید. سپس از لیست باز شوی Amplitude، داده هایی که در مرحله قبل با نام Disp ایجاد کردیم را انتخاب نمایید. توجه داشته باشید که عدد 1 به معنای ضرب آن در اعداد تعریف شده در Amplitude است یعنی با تغییر آن می توان معادله جابجایی را نیز در قالب یک ضریب کلی اصلاح نمود.

 

شکل 21: اعمال جابجایی بر اساس Amplitude

 

روی دکمه OK کلیک کنید تا جابجایی مورد نظر به ذره اعمال شود. توجه داشته باشید که با کلیک روی آیکون (Create Amplitude) در این پنجره هم می توانستید داده های مورد نظر را بصورت Amplitude تعریف کنید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و روی آیکون (Create Job) کلیک کنید. مانند شکل 22، در پنجره باز شده نام تحلیل را moving-particle وارد کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 22: نام گذاری Job در پنجره مربوطه

 

در پنجره Edit Job با پذیرفتن تمام شرایط پیش فرض، روی دکمه OK کلیک کنید. روی آیکون (Job Manager) کلیک کرده و در پنجره باز شده روی دکمه Submit کلیک کنید تا تحلیل مسئله آغاز شود.

در حین تحلیل می توانید روی دکمه Monitor کلیک کنید تا هشدارهای احتمالی یا مراحل تحلیل را رصد نمایید. به هر حال مسئله بدون هیچ مشکلی حل خواهد شد. پس از اتمام تحلیل مانند شکل 23 روی دکمه Results کلیک کنید تا برای دیدن نتایج به ماژول Visualization هدایت شوید.

 

شکل 23: پنجره Job Manager و دکمه های مورد نیاز برای مشاهده نتایج

 

بررسی نتایج:

برای مشاهده نتایج درخواستی در مراحل قبل، روی آیکون (Create XY Data) کلیک کنید و در پنجره باز شده، در حالی که گزینه نشان داده شده در شکل 24 انتخاب شده است روی دکمه Continue کلیک نمایید.

 

شکل 24: گزینه مشاهده نتایج بر حسب زمان

 

اکنون مانند شکل 25، خروجی U1 را انتخاب کرده و روی دکمه Plot کلیک کنید.

 

شکل 25: خروجی های جابجایی، سرعت و شتاب بر حسب زمان

 

نمودار جابجایی بر حسب زمان ذره در شکل 26 نمایش داده شده است.

 

شکل 26: نمودار جابجایی-زمان ذره

 

برای مشاهده مقادیر عددی این نمودار روی آیکون (XY Data Manager) کلیک کنید. سپس مانند شکل 27 پس از انتخاب متغیر مورد نظر، روی دکمه Edit کلیک کنید تا پنجره Edit XY Data باز شود.

 

شکل 27: پنجره XY Data Manager برای مشاهده نتایج عددی

 

در پنجره Edit XY Data که در شکل 28 نیز نشان داده شده است، ستون X مربوط به زمان و ستون Y مربوط به جابجایی در جهت محور X (U1) می باشد.

 

شکل 28: مقادیر جابجایی بر حسب زمان

 

همین روند را برای رسم نمودارهای سرعت و شتاب و مشاهده مقادیر عددی آنها پیاده سازی کنید. شکل های 29 و 30 به ترتیب تغییرات مربوط به این خروجی ها حین گذشت زمان را نشان می دهد. همچنین مقادیر عددی این نمودارها را در شکل 31 مشاهده می کنید.

 

شکل 29: نمودار سرعت-زمان ذره

 

شکل 30: نمودار شتاب-زمان ذره

 

شکل 31: مقادیر عددی نمودارهای سرعت و شتاب ذره

 

چالش:

معادله سرعت و شتاب ذره بر حسب زمان بصورت زیر است.

v (t) =6t2 – 24
a (t) =12t

نمودار سرعت-زمان حاصل از تحلیل آباکوس با نمودار معادله سرعت [1] منطبق است اما نتایج بدست آمده برای شتاب در تمام لحظات دو برابر مقادیر بدست آمده از معادله شتاب [1] است. این ادعا را می توانید از روی مقایسه نتایج عددی شکل 31 و جایگذاری مقادیر متناظر زمان در معادلات سرعت و شتاب بررسی کنید. این موضوع به نحوه مشتق گیری از داده های جابجایی توسط نرم افزار مربوط می شود که در مباحث آموزش پیشرفته عنوان خواهد شد. اما به هر حال در سطح مقدماتی به این موضوع اشاره می شود که خطای مذکور به دلیل تنظیم نکردن پارامتری به نام Smoothing در هنگام ایجاد Amplitude است که با آن میزان هموارسازی داده ها را تعیین می کنیم. مقدار پیش فرض این پارامتر 0.25 است. برای اصلاح این پارامتر به ماژول Load برگردید و از مسیر زیر، پنجره Amplitude Manager را باز کنید.

Tools > Amplitude > Manager

سپس در حالی که Amplitude با نام Disp انتخاب شده است روی دکمه Edit کلیک کنید. شکل 32 نحوه اعمال پارامتر Smoothing را نشان می دهد که در این گونه مسائل بایستی 0.5 در نظر گرفته شود که دلیل آن در مباحث پیشرفته بیان خواهد شد.

 

شکل 32: اعمال پارامتر Smoothing در داده های Amplitude

 

پس از کلیک روی دکمه OK به ماژول Job باز گردید و مدل اصلاح شده را مجدداً تحلیل نمایید. چنانچه پنجره ای مانند شکل 33، مبنی بر وجود فایل هم نام با Job مورد نظر به شما داده شد گزینه آن را غیرفعال کرده و روی دکمه OK کلیک کنید تا حل مسئله شروع شود.

 

شکل 33: پیام مبنی بر وجود فایل با نام مشابه

 

پس از پایان حل، دوباره روی دکمه Results کلیک کنید و نمودار شتاب-زمان را با روشی که در بالا عنوان شد رسم نمایید. شکل 34 این نمودار را به همراه معادله دقیق آن نشان می دهد. همانگونه که مشاهده می کنید اینبار جواب های حاصل از نرم افزار با معادله شتاب همخوانی دارد.

 

شکل 34: نمودار شتاب-زمان ذره به همراه جواب دقیق آن

 

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 27, example 2/1

دیدگاه شما چیست؟