رسم توزیع دما در راستای شعاعی یک میله استوانه ای با تولید حرارت داخلی غیر یکنواخت

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- تعریف یک پارامتر وابسته به مکان و لزوم دقت در بکارگیری آن

زباله های رادیواکتیو در یک مخزن استوانه ای بلند با ضخامت ناچیز نگهداری می شوند. این زباله ها، حرارت حجمی غیر یکنواختی با رابطه q̇=q̇0 (1- (r/r0) 2) ایجاد می کنند که در آن 0=8×104W/m3 و r0=0.1m شعاع مخزن می باشد. استوانه در یک سیال با دمای T=30°C و ضریب انتقال حرارت جابجایی h=100W/m2.K غوطه ور است در نتیجه، دارای شرایط پایدار حرارتی می باشد. با فرض ضریب انتقال حرارت رسانشی k=45W/m.K برای زباله ها، موارد زیر را بدست آورید:

1- توزیع دما در زباله ها در راستای شعاع استوانه

2- نرخ حرارت تولید شده بر واحد طول استوانه

 

زباله های رادیواکتیو با تولید حرارت حجمی غیر یکنواخت
شکل 1: زباله های رادیواکتیو با تولید حرارت حجمی غیر یکنواخت

رسم هندسه مدل:

با استفاده از آیکون Create Part (Create Part)، قطعه ای با مشخصات زیر ایجاد کرده و وارد محیط طراحی دوبعدی شوید.

Axisymmetric, Deformable, Shell, Approximate size: 0.8

سپس با استفاده از آیکون Create Lines: Rectangle (4 Lines) (Create Lines: Rectangle (4 Lines)) مستطیلی به ابعاد 0.1m×0.2m ایجاد کنید. ضلع افقی مستطیل 0.1m می باشد و طول مستطیل دقیقا منطبق بر محور قائم می باشد. از صفحه طراحی خارج شوید.

تعریف خواص ماده:

وارد ماژول Property شوید. ماده ای با ضریب هدایت حرارتی 45W/m.K ایجاد کنید. مانند شکل های 15 و 16 درس پنجم، یک Section شامل این ماده ایجاد کرده و این Section را به قطعه مورد نظر اختصاص دهید.

مونتاژ قطعه در محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شده و قطعه را به صورت Independent وارد نمایید.

تعریف تحلیل گرمایی:

وارد ماژول Step شوید و یک Step از نوع Heat transfer به صورت Steady State ایجاد نمایید.

اعمال شرایط انتقال حرارت جابجایی:

وارد ماژول Interaction شوید. روی لبه مشخص شده در شکل 2، شرط انتقال حرارت جابجایی (Surface film condition) با ضریب انتقال حرارت 100W/m2.K و دمای 30°C ایجاد کنید.

 

لبه مورد نظر برای اعمال انتقال حرارت جابجایی
شکل 2: لبه مورد نظر برای اعمال انتقال حرارت جابجایی

 
 

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. روی آیکون Create Load (Create Load) کلیک کرده و در پنجره باز شده گزینه Body heat flux را انتخاب کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید. قطعه را انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. اکنون در پنجره Edit Load روی آیکون Create Analytical Field (Create Analytical Field) کلیک کنید یا مسیر زیر را از نوار منو دنبال کنید.

Tools > Analytical Field > Create

پنجره باز شده را مطابق شکل 3 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

انتخاب نوع تعریف میدان تحلیلی
شکل 3: انتخاب نوع تعریف میدان تحلیلی

 

رابطه تولید حرارت داخلی را مطابق شکل 4 در پنجره باز شده وارد کنید. توجه کنید که در اینجا، مختصه X محورهای مختصات همان شعاع استوانه است. عملگر “توان” در زبان پایتون ( زبان بکار رفته در فرمول نویسی این پنجره) بصورت ** می باشد (بجای این علامت میتوانید از تابع pow نیز استفاده کنید). روی دکمه OK کلیک کنید.

 

وارد کردن رابطه تولید حرارت داخلی در پنجره Create Expression Field
شکل 4: وارد کردن رابطه تولید حرارت داخلی در پنجره Create Expression Field

 

اکنون پنجره Edit Load را مطابق شکل 5 کامل کنید. توجه کنید که مقدار Magnitude برابر 1 وارد شده است زیرا حاصلضرب این عدد در رابطه تحلیلی، مقدار نهایی بار را مشخص می کند و چون رابطه تحلیلی بیانگر مقدار اصلی بار حرارتی است در نتیجه مقدار این گزینه 1 وارد شده است. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

اعمال رابطه تولید حرارت داخلی در پنجره Edit Load
شکل 5: اعمال رابطه تولید حرارت داخلی در پنجره Edit Load

 

همانطور که مشاهده می کنید، مربع های زرد رنگی روی کل مدل بر اساس مختصه X پراکنده شده اند که در X=0 مقدار بزرگی داشته و در X=0.1 کوچک شده اند.

مش بندی قطعه:

وارد ماژول Mesh شوید. با استفاده از آیکون Seed Edges (Seed Edges) روی دو لبه قائم، تعداد 1 المان و در راستای شعاعی (دو لبه افقی) تعداد 20 المان ایجاد کنید. سپس توسط آیکون Mesh Part Instance (Mesh Part Instance) قطعه را مش بندی کرده و نوع المانها را توسط آیکون Assign Element Type (Assign Element Type) به Heat Transfer تغییر دهید. به نوع المان نمایش داده شده در پایین پنجره Element Type دقت کنید. DCAX4 به معنی المان Axisymmetric انتقال حرارت با 4 گره می باشد.

برای استخراج نتایج، نیاز به شماره گره ها روی لبه افقی نشان داده شده در شکل 6 داریم. شماره گره ها روی این لبه را بدست آورده و یادداشت نمایید (21:1:-1).

 

لبه مورد نظر برای استخراج شماره گره ها
شکل 6: لبه مورد نظر برای استخراج شماره گره ها

 

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job با نام دلخواه بسازید و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام حل، با کلیک روی دکمه Results وارد ماژول Visualization شوید. پارامتر خروجی را روی NT11 قرار دهید تا کانتور دما روی قطعه نمایش داده شود. یک Path از شماره گره های قبلی ایجاد کرده و کانتور دما را روی این مسیر رسم کرده و این نمودار را ذخیره کنید.

 

نمودار توزیع دما در راستای شعاع استوانه
شکل 7: نمودار توزیع دما در راستای شعاع استوانه

 

اکنون به سوال دوم که نرخ حرارت تولید شده بر واحد طول استوانه است می پردازیم.

روی آیکون Plot Contours on Deformed Shape (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کرده و پارامتر خروجی را روی HFL1 قرار دهید تا شار حرارتی روی قطعه در راستای شعاعی (راستای X) نمایش داده شود. با استفاده از آیکون Query information (Query information) مقدار شار حرارتی را در گره نشان داده شده در شکل 8 استخراج کنید (گزینه Probe Value).

 

گره واقع بر سطح استوانه برای استخراج شار حرارتی
شکل 8: گره واقع بر سطح استوانه برای استخراج شار حرارتی

 

همانطور که در پنجره Probe Value نمایش داده شده است مقدار شار حرارتی در این گره برابر 2043.89W/m2 می باشد. بنابراین برای بدست اوردن نرخ انتقال حرارت بر واحد طول استوانه رابطه زیر را داریم:

q’=q”× 2πr0=2043.89×2×π×0.1=1284.21 W/m

این مقدار در نتایج مرجع [1] به صورت رابطه زیر داده شده است:

q’=q̇0×πr02/2=1256.63 W/m

درصد خطا بصورت زیر است:

E= (1284.21-1256.63) /1256.63×100=2.2%

در مسائل مهندسی، مقدار خطای کمتر از 5% قابل قبول است. پس این جواب را می توان بعنوان جواب نهایی قابل قبول دانست. برای تمرین بیشتر به ادامه تحلیل توجه کنید.

با توجه به اینکه رابطه تولید حرارت داخلی در طول X توزیع می شود پس تعداد المان ها در راستای X اثری مستقیم روی دقت پاسخ ها دارد. به ماژول Mesh بازگردید و اندازه دانه بندی در راستای X را به 100 افزایش دهید و مجدداً مسئله را تحلیل کنید.

شماره گره ها را مانند قبل استخراج کنید (101:1:-1). از مسیر زیر، شماره گره ها در Path-1 را به شماره های جدید که در شکل 9 نشان داده شده است به روز کنید.

Tools > Path > Edit > Path-1

 

اصلاح شماره گره ها در Path-1
شکل 9: اصلاح شماره گره ها در Path-1

 

اکنون پارامتر خروجی را مجدداً روی NT11 قرار داده و برای مقایسه بهتر، مانند شکل 10 هر دو توزیع دما را در یک نمودار رسم کنید.

 

نمودار توزیع دما در راستای شعاع استوانه به ازای تعداد المان مختلف
شکل 10: نمودار توزیع دما در راستای شعاع استوانه به ازای تعداد المان مختلف

 

همانطور که مشاهده می کنید توزیع دما در دو حالت تفاوت اندکی دارد. پس برای استخراج دما، تعداد 20 المان کافیست.

اکنون روی آیکون Plot Contours on Deformed Shape (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کرده و پارامتر خروجی را روی HFL1 قرار دهید. مجدداً از طریق پنجره Probe Values مقدار شار را در گره واقع بر سطح استوانه استخراج کنید. این بار مقدار شار در این نقطه برابر 2009.75 W/m2 بوده و شار بر واحد طول برابر 1262.76 W/m خواهد بود که به مقدار مرجع [1] نزدیک تر می شود. در صورتی که اندازه مش ها ریزتر شود پاسخ ها باز هم دقیق تر خواهد شد که دیگر نیازی به این کار نیست زیرا در این حالت، خطا کمتر از 1% خواهد بود.

مرجع:

[1] Incropera, F.P. and DeWitt, D.P., “Fundamentals of Heat and Mass Transfer,” Wiley., 6th Edition., 2007, p 48, problem 1.44

دیدگاه شما چیست؟