رسم تغییرات دما نسبت به زمان در راستای یک دیوار دارای تولید حرارت داخلی (انتقال حرارت گذرا)

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- تحلیل مسائل انتقال حرارت گذرا

2- تحلیل مسائل چند مرحله ای (multi-step)

دیواری به ضخامت L=0.1m دارای تولید حرارت داخلی q̇ (W/m3) می باشد. سطحی از دیوار که در x=0 قرار دارد کاملاً عایق است و سطح واقع در x=L در مجاورت جریان هوا با دمای T=20°C و h=1000 W/m2.K می باشد. توزیع دمای اولیه در دیوار که ناشی از تولید حرارت داخلی است بصورت T (x,0) =a+bx2 می باشد که a=300°C و b=-104 °C/m2 بوده و x بر حسب متر است. ناگهان تولید حرارت داخلی قطع می شود (q̇ =0 for t≥0) در حالی که سطح واقع در x=L همچنان در معرض جریان هوا می باشد. خواص هوا بصورت زیر است:

ρ=7000 kg/m3, Cp=450 J/kg.K, k=90 W/m.K

موارد زیر را محاسبه کنید.

1- نرخ تولید حرارت داخلی در زمان t<0 (شرایط پایا)

2- توزیع دما در راستای ضخامت دیوار در شرایط زیر:

الف: شرایط پایدار t<0

ب: شرایط پایدار t→∞

ج: لحظه t=200s و t=700s

3- رسم نمودار شار حرارتی-زمان در مرز x=L یا همان qx (L,t)

 
 

دیوار دارای تولید حرارت داخلی
شکل 1: دیوار دارای تولید حرارت داخلی

رسم هندسه مدل:

با استفاده از آیکون Create Part (Create Part)، قطعه ای با مشخصات زیر ایجاد کرده و وارد محیط طراحی دوبعدی شوید.

2D Planar, Deformable, wire, Approximate size: 0.4

با توجه به اینکه توزیع دمای اولیه در دیوار وابسته به X است با استفاده از آیکون Create Lines: Connected (Create Lines: Connected) خطی با نقطه ابتدای (0,0) و نقطه انتهای (0.1,0) ایجاد کنید. از صفحه طراحی خارج شوید.

تعریف خواص ماده:

وارد ماژول Property شوید. همانطور که می دانید، در تحلیل مسائل انتقال حرارت پایا فقط ضریب هدایت حرارتی ماده کافیست اما در مسائل انتقال حرارت گذرا باید چگالی و گرمای ویژه ماده نیز تعریف شود. با توجه به این که قسمت دوم سوال مربوط به انتقال حرارت گذرا است پس این سه خاصیت ماده را از همین ابتدا وارد نرم افزار می کنیم. روی آیکون Create Material (Create Material) کلیک کرده و در پنجره باز شده، مسیرهای زیر را که در شکل 2 نیز نشان داده شده است اجرا کنید.

General > Density, Thermal > Conductivity, Thermal > Specific Heat

برای چگالی ماده، مقدار 7000kg/m3، ضریب هدایت حرارتی مقدار 90W/m.K و گرمای ویژه مقدار 450J/kg.K را در قسمت مربوطه وارد کنید.

 

تعریف چگالی، ضریب هدایت حرارتی و گرمای ویژه در پنجره Edit Material
شکل 2: تعریف چگالی، ضریب هدایت حرارتی و گرمای ویژه در پنجره Edit Material

 

شکل 3 نشان دهنده مقادیر وارد شده این خواص در پنجره Edit Material است. توجه داشته باشید که در مورد خاصیت گرمای ویژه، دو گزینه Constant Volume (Cv) و Constant Pressure (Cp) وجود دارد که چون در مواد جامد این دو مقدار با هم برابر است انتخاب هر یک از آنها در نتایج هیچ تاثیری ندارد.

 

مقادیر خواص وارد شده در پنجره Edit Material
شکل 3: مقادیر خواص وارد شده در پنجره Edit Material

 

اکنون یک Section از نوع Truss شامل این ماده با سطح مقطع 1m2 ایجاد کرده و این Section را به قطعه موردنظر اختصاص دهید.

مونتاژ قطعه در محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شده و قطعه را به صورت Independent وارد نمایید.

تعریف تحلیل گرمایی:

وارد ماژول Step شوید و یک Step انتقال حرارت از نوع Steady State تعریف کنید.

اعمال شرایط انتقال حرارت جابجایی:

وارد ماژول Interaction شوید. روی نقطه انتهای سمت راست قطعه (x=L)، شرط انتقال حرارت جابجایی (Concentrated film condition) با ضریب انتقال حرارت 1000W/m2.K و دمای 20°C و سطح مقطع گره ای 1m2 ایجاد کنید.

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. روی آیکون Create Boundary Condition (Create Boundary Condition) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 4 کامل کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

گزینه تعریف شرط مرزی دمایی
شکل 4: گزینه تعریف شرط مرزی دمایی

 

سپس قطعه را انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. در پنجره Edit Boundary Condition روی آیکون Create Analytical Field (Create Analytical Field) کلیک کرده و گزینه های پنجره باز شده را مطابق شکل 5 انتخاب کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 
 

پنجره Create Analytical Field و گزینه انتخاب شده در آن
شکل 5: پنجره Create Analytical Field و گزینه انتخاب شده در آن

 

در پنجره باز شده، رابطه توزیع دما را مطابق شکل 6 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

نحوه تعریف رابطه توزیع دما
شکل 6: نحوه تعریف رابطه توزیع دما

 

سپس پنجره Edit Boundary Condition را مطابق شکل 7 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

اعمال شرط مرزی دمایی بر اساس Analytical Field
شکل 7: اعمال شرط مرزی دمایی بر اساس Analytical Field

 

مش بندی قطعه:

وارد ماژول Mesh شوید. تعداد 50 المان روی قطعه ایجاد کرده و قطعه را مش بندی کنید. نوع المانها را نیز به Heat Transfer تغییر دهید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job با نام دلخواه بسازید و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام حل، با کلیک روی دکمه Results وارد ماژول Visualization شوید.

با توجه به اینکه سمت چپ دیوار (x=0) عایق است پس تمام حرارت تولیدی در دیوار از مرز سمت راست (x=L) خارج می شود. در نتیجه نرخ تولید حرارت داخلی بصورت رابطه q̇=q” (x=L) /L بیان می شود. بنابراین برای بدست آوردن نرخ تولید حرارت کافیست مقدار HFL1 را در نقطه واقع در x=L بدست آوریم. بدین منظور، پارامتر خروجی را روی HFL1 قرار داده و مقدار این پارامتر را روی گره واقع در x=L بدست آورید. این مقدار برابر 1.782×105 W/m2 می باشد و مقدار برابر 1.782×106 W/m3 خواهد بود.

به ماژول Mesh بازگردید و همین خروجی را برای تعداد دانه بندی 100، 200 و500 و 1000 تکرار کنید و نتایج را یادداشت کنید. مقادیر متناظر با این دانه بندی ها در جدول 1 آورده شده است.

 

جدول 1: همگرایی نرخ تولید حرارت با افزایش تعداد المانها
همگرایی نرخ تولید حرارت با افزایش تعداد المانها

 

همانطور که مشاهده می کنید جواب همگرا شده مسئله 1.8×106 W/m3 است و با نتیجه مرجع [1] مطابقت دارد. هر چند در مسائل مهندسی خطای کمتر از 5% قابل قبول است، هدف از افزایش تعداد المان ها در این مسئله این بود تا یادآور شویم که تا جایی که توان و دقت محاسبات کامپیوتر اجازه دهد، با افزایش تعداد المانها به جواب دقیق همگرا خواهیم شد. در درس 9 نیز بیان شد که در مسائلی که یک پارامتر بصورت تابعی از مکان روی مدل تعریف می شود بعضی از نتایج بسیار وابسته به اندازه مش خواهند بود که نمونه دیگری از این گفته را در این درس هم مشاهده کردیم.

بخش دوم- تحلیل گذرای مسئله:

همانطور که می دانید اگر شرط مرزی دمایی که در مرحله قبل به قطعه اعمال کردیم همچنان باقی باشد عملاً دما با همان توزیع، همیشه روی قطعه خواهد بود و تحلیل گذرا برای آن بی معنی است. در نتیجه برای حل مسئله، ابتدا در یک Step، تولید حرارت داخلی را به مدل اعمال می کنیم تا پس از حل، دمای حالت پایا محاسبه شود و سپس در مرحله بعد، تولید حرارت داخلی را حذف می کنیم تا حرارت موجود در دیوار بطور تدریجی از آن خارج شود و در این صورت شرایط گذرای مسئله قابل محاسه است.

به ماژول Step بازگردید. روی آیکون Create Step (Create Step) کلیک کرده و پنجره Create Step را مانند شکل 8 کامل کنید. دقت کنید که Step مربوط به تحلیل گذرا بعد از Step تحلیل پایا قرار می گیرد.

 

تعریف Step جدید بعد از Step موجود (Step-1)
شکل 8: تعریف Step جدید بعد از Step موجود (Step-1)

 

روی دکمه Continue کلیک کنید. پنجره باز شده را مانند شکل 9 کامل کنید. نوع تحلیل بصورت Transient با زمان 1500s است. دقت کنید که بر خلاف حالت Steady-state که عملا مقدار زمان در آن بی تاثیر است در تحلیل گذرا، همانطور که از اسم آن پیداست، مقدار زمان بسیار مهم است.

 

تحلیل گذرا با مدت زمان 1500 ثانیه
شکل 9: تحلیل گذرا با مدت زمان 1500 ثانیه

 

سپس به برگه Incrementation رفته و آن را مطابق شکل 10 تکمیل کنید.

 

تعریف تعداد و اندازه نموهای زمانی تحلیل
شکل 10: تعریف تعداد و اندازه نموهای زمانی تحلیل

 

در این پنجره حداکثر تعداد نموهای زمانی 10000 انتخاب شده است تا چنانچه نرم افزار قادر به حل مسئله در این تعداد نمو نبود حلگر متوقف شود. شروع حل مسئله با گام زمانی 0.1s و در صورت همگرایی مناسب تحلیل، حداکثر گام زمانی 5s تعریف شده است. حداقل گام زمانی نیز 0.01s در نظر گرفته شده است و چنانچه بخاطر مشکلات همگرایی مسئله، نمو زمانی کمتر از این مقدار نیاز شد حلگر متوقف شده و پیغام خطا به شما داده می شود. از طرفی میزان ΔT مجاز در همگرایی هر نمو زمانی برابر 0.2°C می باشد و حلگر تا زمانی تکرار همگرایی را ادامه می دهد که اختلاف دمای تکرار (Iteration) جدید با تکرار قبل (نه نمو (Increment) جدید با نمو قبل) کمتر از این مقدار مجاز شود. در صورتی که گزینه End step when temperature change is less than: فعال شود و مقدار عددی روبروی آن وارد شود (ΔTstop) به این معنی است که اگر اختلاف دمای نمو (Increment) جدید با نمو قبل کمتر از این مقدار شد پس مسئله به حالت پایدار رسیده است و نیاز به حل بیشتر ندارد و باید متوقف شود. روی دکمه OK کلیک کنید.

اصلاح شرایط مرزی و اعمال بارگذاری حرارتی:

وارد ماژول Load شوید. روی آیکون Boundary Condition Manager (Boundary Condition Manager) کلیک کرده و شرط مرزی ایجاد شده در مرحله قبل را حذف کنید.

سپس با استفاده از آیکون Create Load (Create Load)، بارگذاری ای از نوع Body heat flux مانند شکل 11 با مقدار 1.8×106 W/m3 در Step-1 روی قطعه اعمال کنید.

 

اعمال تولید حرارت داخلی روی قطعه در Step-1
شکل 11: اعمال تولید حرارت داخلی روی قطعه در Step-1

 

برای غیر فعال کردن تولید حرارت داخلی در Step-2، روی آیکون Load Manager (Load Manager) کلیک کنید. مانند شکل 12 با کلیک روی دکمه Deactivate این بارگذاری را در Step-2 غیرفعال کنید تا کلمه Inactive در Step-2 نوشته شود.

 

غیرفعال کردن تولید حرارت داخلی در Step-2
شکل 12: غیرفعال کردن تولید حرارت داخلی در Step-2

 

مجددا وارد ماژول Mesh شوید. در این بخش از مسئله، دانه بندی 100 عددی روی قطعه کفایت می کند. قطعه را دانه بندی و سپس مش بزنید. شماره گره ها را نیز استخراج کنید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job با نام دلخواه بسازید و مسئله را تحلیل کنید (زمان تحلیل مسئله نسبت به مسائل قبل کمی بیشتر است). روی دکمه Monitor کلیک کنید تا روند حل مسئله را مانند شکل 13 مشاهده کنید. در ستون Step این پنجره، شماره Step ای که توسط حلگر حل می گردد نشان داده می شود. ستون Increment بیانگر شماره نمو زمانی در Step مورد نظر است. ستون Total time مجموع زمان های موجود در همه Step ها است و ستون Time/LPF Inc نشان دهنده نمو زمانی ΔT می باشد. همانطور که مشاهده می کنید در ابتدای تحلیل، نمو زمانی 0.2 می باشد زیرا اختلاف دمای هر نمو با نمو قبلی باید کمتر از مقدار مشخص شده در ماژول Step باشد و با پیشرفت تحلیل نمو زمانی افزایش پیدا کرده و در انتها به دلیل پایدار شدن مسئله، مقدار این نمو به حداکثر مقدار خود یعنی 5s رسیده است.

 

پنجره Job Monitor و ستونهای موجود در آن
شکل 13: پنجره Job Monitor و ستونهای موجود در آن

 

پس از اتمام حل، با کلیک روی دکمه Results وارد ماژول Visualization شوید و پارامتر خروجی را روی NT11 قرار دهید. اکنون از شماره گره های قطعه یک Path ایجاد کنید. برای رسم نمودار دما در زمان های مختلف ابتدا باید نتایج را در زمان مورد نظر نمایش دهیم. بدین منظور از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Result > Step/Frame

در پنجره Step/Frame گزینه های مشخص شده را در شکل 14 را انتخاب کنید.

 

انتخاب Step و نمو زمانی مورد نظر برای فعال سازی نتایج
شکل 14: انتخاب Step و نمو زمانی مورد نظر برای فعال سازی نتایج

 

با انتخاب هر Step، نموهای زمانی آن در قسمت Frame این پنجره نشان داده می شود. همانطور که می دانید نتایج موجود در Increment 0 از Step-2 همان نتایج انتهای Step-1 است. پس دما در این نمو زمانی، همان دمای حالت پایای انتهای Step-1 است. روی دکمه Apply کلیک کرده و توسط آیکون Create XY Data (Create XY Data) نمودار دما را روی Path مورد نظر رسم کنید. شکل 15 این نمودار را نشان می دهد.

 

دما در راستای ضخامت دیوار در لحظه t=0
شکل 15: دما در راستای ضخامت دیوار در لحظه t=0

 

با کلیک روی دکمه Save As در پنجره XY Data from Path، این نمودار را با نام t0 ذخیره کنید. اکنون برای رسم نمودار دما، مانند شکل 16 در پنجره Step/Frame زمان 200.2s را انتخاب کرده و روی دکمه Apply کلیک کنید (توجه کنید که پنجره Step/Frame از طریق دکمه Step/Frame در پنجره XY Data from Path نیز قابل دسترسی است).

 

فعال سازی نتایج در زمان t=200.2s
شکل 16: فعال سازی نتایج در زمان t=200.2s

 

مجدداً نمودار دما را در این حالت رسم کرده و با نام t200 ذخیره کنید. همین روند را برای زمان های t=700.4s و t=1500s انجام داده و نمودارهای آنها را ذخیره کنید. اکنون روی آیکون XY Data Manager (XY Data Manager) کلیک کرده و مانند شکل 17 هر چهار خروجی را انتخاب کرده و همزمان رسم کنید.

 

انتخاب همزمان چهار خروجی برای رسم نمودار آنها
شکل 17: انتخاب همزمان چهار خروجی برای رسم نمودار آنها

 

نمودار این چهار خروجی در شکل 18 نشان داده شده است. همانطور که مشاهده می کنید باافزایش زمان، نمودار دما به سمت دمای 20°C همگرا می شود.

 

نمودار دما در راستای ضخامت دیوار در زمان های مختلف
شکل 18: نمودار دما در راستای ضخامت دیوار در زمان های مختلف

 

برای بخش آخر سوال که مربوط به شار حرارتی است ابتدا روی آیکون Plot Contours on Deformed Shape (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید. سپس پارامتر خروجی را روی HFL1 قرار دهید. روی آیکون Create XY Data (Create XY Data) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 19 کامل کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

پنجره Create XY Data
شکل 19: پنجره Create XY Data

 

اکنون نمودار شار حرارتی بر حسب زمان را مانند شکل 20 برای گره واقع در سمت راست قطعه (x=L) رسم کنید.

 

نمودار شار حرارتی برحسب زمان در گره واقع x=L
شکل 20: نمودار شار حرارتی برحسب زمان در گره واقع x=L

 

مرجع:

[1] Incropera, F.P. and DeWitt, D.P., “Fundamentals of Heat and Mass Transfer,” Wiley., 6th Edition., 2007, p 93, problem 2.51

دیدگاه شما چیست؟