محاسبه توزیع دما و نرخ از دست دادن حرارت در یک پره (دو بعدی)

انتهای میله بلندی به قطر 5 mm در دمای 100°C قرار دارد. سطح خارجی میله در هوایی با دمای 25°C قرار دارد که ضریب انتقال حرارت آن 100W/m².K است. نتایج زیر را بدست آورده و با نتایج مرجع [1] مقایسه کنید.

1- توزیع دما در طول سه میله مختلف با جنسهای مس خالص، آلیاژ آلومینیوم 2024 و فولاد زنگ نزن AISI 316

2- نرخ از دست دادن حرارت در هر میله

3- طول هر میله چقدر باشد تا بتوان فرض “طول بینهایت” را برای آن بکار برد؟ توجه کنید که “طول بینهایت” طولی است که به ازای آن، دمای میله از آن طول به بعد تقریباً برابر دمای محیط T_∞ می شود. برای این مفهوم حالت زیر را در نظر می گیریم.

 

مدلسازی مسئله:

هنر حل مسئله در مهندسی در درجه اول به ساده سازی صحیح آن بستگی دارد. برای مدل سازی این مسئله باید به درک صحیحی از هندسه مسئله برسیم.

همانطور که می دانید انتقال حرارت در این پره (میله) به دو طریق انجام می شود. یکی انتقال حرارت رسانشی که به سطح مقطع عرضی پره بستگی دارد و دیگری انتقال حرارت جابجایی که به مساحت پیرامونی آن وابسته است. در نتیجه، انتقال حرارت جسم مستقل از شکل ظاهری پره است.

به شکل 2 توجه کنید. برای ساده سازی مسئله و تبدیل آن به مسئله قابل حل در فضای دوبعدی، پره با سطح مقطع دایره ای را به پره با سطح مقطع مستطیلی با ابعادی که از روابط زیر محاسبه می شوند تبدیل می کنیم. در پره مستطیلی مورد نظر، دو سطح پشت و جلو عایق فرض می شوند تا تغییری در اصل مسئله ایجاد نشود.

 

 

در این مسئله قصد داریم سه میله مختلف مطرح شده در صورت سوال را در یک مدل ایجاد کرده، همزمان تحلیل نموده و نتایج آنها را با هم مقایسه کنیم.

رسم هندسه پره:

روی آیکون (Create Part) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 3 کامل کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

 

روی آیکون (Create Lines: Rectangle (4 Lines)) کلیک کنید. توجه کنید که طول پره را با توجه به نکته 1، برابر 0.4 m در نظر گرفته ایم. در نوار اعلان مختصات (0,0) را وارد کرده و کلید Enter را بزنید. سپس مختصات (0.4,2.5e-3) را که همان مختصات (L, t/2) است وارد کرده و مجدداً کلید Enter را بزنید. به این ترتیب هندسه پره اول رسم می شود.

هندسه پره دوم را در فاصله 0.01 m بالاتر از پره قبل رسم می کنیم. بدین منظور ابتدا مختصات (0,0.01) و سپس مختصات (0.4,0.0125) را که همان مختصات (L,0.01+t/2) است وارد کنید.

به همین ترتیب، هندسه پره سوم را در فاصله 0.01 m بالاتر از پره دوم رسم کنید. یعنی مختصات (0,0.02) و (0.4,0.0225) را وارد کنید.

از صفحه طراحی خارج شوید. شکل 4 نشان دهنده سه پره می باشد.

 

 

تعریف خواص ماده:

وارد ماژول Property شوید. سه ماده با نام های copper و AL2024 و steel316 و بترتیب با ضریب رسانش 398 W/m.K و 180 W/m.K و 14 W/m.K ایجاد کنید.

برای ایجاد Section مربوط به پره مسی، روی آیکون (Create Section) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه های نشان داده شده در شکل 5 را انتخاب نموده و روی دکمه Continue کلیک کنید. توجه داشته باشید که Section مربوط به مدلسازی های دوبعدی همیشه بصورت Solid و Homogeneous می باشد. مجدداً یادآوری می کنیم که پره صورت سوال تبدیل به پره مستطیلی شده است.

 

 

پنجره باز شده را مطابق شکل 6 کامل کنید. عدد π بصورت pi در محاسبات وارد می شود. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

 

همین روند را برای ایجاد دو Section برای آلومینیوم و فولاد با نام های Section-AL و Section-st نیز انجام دهید.

برای اختصاص دادن Section ها به پره ها، روی آیکون (Assign Section) کلیک کنید. پره پایینی را انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. این پره را از جنس مس در نظر می گیریم پس پنجره باز شده را مطابق شکل 7 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. در این صورت رنگ قطعه به سبز تغییر می کند که نشان دهنده اختصاص ماده به آن است.

 

 

پره میانی را انتخاب کرده و Section با ماده آلومینیوم را به آن اختصاص دهید. در انتها نیز Section فولاد را به پره بالایی اختصاص دهید.

مونتاژ قطعه در محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شده و قطعه را به صورت Independent وارد نمایید.

تعریف تحلیل گرمایی:

وارد ماژول Step شوید و یک Step از نوع Heat transfer به صورت Steady State ایجاد نمایید.

اعمال شرط انتقال حرارت جابجایی:

وارد ماژول Interaction شوید. برای اعمال شرایط انتقال حرارت جابجایی، روی آیکون (Create Interaction) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 8 کامل کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

 

سپس در viewport، بخش سمت راست لبه های سه پره را که در شکل 9 مشخص شده است با موس درگ کنید تا در مجموع 9 لبه (شامل 6 لبه افقی بلند و 3 لبه عمودی کوتاه) انتخاب شود. روی دکمه Done کلیک کنید.

 

 

سپس پنجره باز شده را مطابق شکل 10 کامل کنید.

 

 

در این پنجره بطور پیشفرض، مقدار ضریب انتقال حرارت بصورت آنی (Instantaneous) اعمال می شود یعنی به محض شروع تحلیل، مقدار این ضریب در محاسبات برابر مقدار وارد شده (در اینجا 100) در نظر گرفته می شود اما دمای محیط بصورت خطی (Ramp) در محاسبات وارد می شود یعنی دما (بر اساس گام زمانی) از مقدار 0 به مقدار 25 خواهد رسید. روی دکمه OK کلیک کنید.

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. برای اعمال دمای 100°C به انتهای سمت چپ میله ها، روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 11 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

 

کلید Shift صفحه کلید را پایین نگه دارید و با کلیک موس، سه لبه نشان داده شده در شکل 12 را انتخاب کنید. سپس در نوار اعلان، روی دکمه Done کلیک کنید.

 

 

پنجره باز شده را مطابق شکل 13 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب مربع های زرد رنگی روی این سه لبه ایجاد می شود که نشان دهنده اعمال دما به آنهاست.

 

 

مش بندی قطعه:

وارد ماژول Mesh شوید. روی آیکون (Seed Edges) کلیک کرده و ناحیه نشان داده شده در شکل 14 را با درگ موس انتخاب کنید. در این صورت تعداد 6 لبه افقی سه پره انتخاب می شود.

 

 

سپس روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک نمایید. پنجره باز شده را مطابق شکل 15 تکمیل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

 

توسط آیکون (Mesh Part Instance) قطعه را مش بندی کنید. همانطور که می بینید در راستای ضخامت میله فقط 1 المان ایجاد می شود و چون این ضخامت کوچک است در نتیجه تعداد 1 المان برای آن کافیست. برای مشخص کردن نوع المانها روی آیکون (Assign Element Type) کلیک کنید. سپس با درگ موس هر سه میله را انتخاب نموده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. در پنجره باز شده از قسمت Family گزینه Heat Transfer را انتخاب کنید. در پایین این پنجره، نام اختصاری المان DC2D4 به شما نشان داده می شود که المان انتقال حرارت 4 گره ای خطی است. روی دکمه OK کلیک کنید. یادآوری می کنیم که مدل را ذخیره کنید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام حل، در پنجره Job Manager روی دکمه Monitor کلیک کنید. همانطور که مشاهده می کنید در برگه Warnings، هشداری مبنی بر اینکه سه ناحیه جدا از هم در مدل وجود دارد به شما نشان داده می شود. این پیام با توجه به جدا بودن سه میله مهم نیست و اختلالی در نتایج ایجاد نمی کند.

برای مشاهده نتایج، روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید. برای مشاهده دمای نقاط در میله ها، مانند شکل 16 از لیست بازشوی جعبه ابزار Field Output گزینه NT11 را انتخاب کنید.

 

 

همانطور که مشاهده می کنید مانند شکل 17 پیشروی دما در طول میله ها از میله پایین تا میله بالایی کمتر شده است.

 

 

برای رسم منحنی دما در طول میله ها، مسیر نشان داده شده در شکل 18 را از نوار منو دنبال کنید.

 

 

پنجره باز شده را برای میله مسی مطابق شکل 19 کامل کنید. هدف ما این است که Path مورد نظر شامل لیستی از گره ها در راستای طولی میله ها باشد در نتیجه گزینه Node list انتخاب شده است. روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

 

همانطور که در شکل 20 مشاهده می کنید در پنجره باز شده برای ایجاد Path به شماره گره ها نیاز است. روی دکمه Add After کلیک کنید.

 

 

سپس بترتیب گره های مشخص شده در شکل 21 را انتخاب کنید. همانطور که می بینید به دلیل زیاد بودن تعداد گره ها در راستای هر میله، انتخاب تک تک آن ها با کلیک موس مشکل است. انتخاب گره ها را به همین 4 گره محدود می کنیم تا بتوانیم موضوعی را بررسی کنیم. روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید.

 

 

همانطور که در شکل 22 نشان داده شده است، شماره گره های انتخابی در ردیف مورد نظر وارد شده است. شماره اولین گره عدد 9 و سه گره بعدی با شماره های 209 تا 211 (با گام 1 گره) مشخص شده اند. پس کافیست شماره گره ها را بطریقی بدست آوریم. روی دکمه Cancel کلیک کنید تا از این پنجره خارج شوید.

 

 

سپس به ماژول Mesh برگردید و مسیر نشان داده شده در شکل 23 را از نوار منو دنبال کنید.

 

 

در پنجره باز شده، گزینه های نشان داده شده در شکل 24 را انتخاب کرده و روی دکمه Apply کلیک کنید.

 

 

همانطور که مشاهده می کنید شماره گره ها مانند شکل 25 روی هر گره در viewport نمایش داده می شود.

 

 

برای میله مسی شماره اولین گره 9 و گره های بعدی از 209 تا 257 و شماره آخرین گره 10 می باشد. دقت کنید که انتخاب یک ردیف از المانهای هر میله کافیست. در مورد دو میله دیگر نیز همین روند را تکرار کرده و اعداد گره ها را در جایی یادداشت کنید. نهایتا در پنجره Assembly Display Options که در شکل 24 نشان داده شده است روی دکمه Default و سپس دکمه OK کلیک کنید تا به وضعیت نمایش پیشفرض بازگردید.

به ماژول Visualization بروید و مسیر نشان داده شده در شکل های 18 و 19 را برای میله مسی تکرار کنید. پنجره باز شده را مانند شکل 26 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. دقت کنید که در ابتدا و انتهای میله مربوطه کلمات Start و End نوشته می شود و گره ها به رنگ قرمز علامت گذاری می شوند.

 

 

همین روند را برای میله های آلومینیومی و فولادی بترتیب با نام های Path-al و Path-st و بترتیب با شماره گره های 5,111:159,6 و 1,13:61,2 تکرار کنید. پنجره های این Path ها در شکل 27 نشان داده شده است.

 

 

برای استخراج خروجی دما روی این path ها، روی آیکون (Create XY Data) کلیک کرده و در پنجره باز شده گزینه Path را انتخاب کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

اکنون پنجره باز شده را مطابق شکل 28 تکمیل کنید. توجه داشته باشید که خروجی NT11 که در شکل مشخص شده است همان خروجی ای خواهد بود که در شکل 16 از نوار ابزار Field Output انتخاب کرده بودیم. همچنین این خروجی ها به ازای Frame 1 که همان آخرین فریم تحلیل (زمان 1 ثانیه) است رسم می شود و چنانچه Frame 0 انتخاب شود تمام مقادیر صفر خواهند بود چون خروجی های ابتدای تحلیل هستند. روی دکمه Save as کلیک کنید.

 

 

پنجره باز شده را مطابق شکل 29 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

 

در پنجره XY Data from Path همین روند را برای Path های path-al و path-st بترتیب با نام های al و st تکرار کنید. در انتها روی دکمه Cancel کلیک کنید تا از این پنجره خارج شوید.

روی آیکون (XY Data Manager) کلیک کنید. هر سه خروجی نشان داده شده در شکل 30 را انتخاب کرده و روی دکمه Plot کلیک کنید تا نمودار دمای مربوط به هر سه میله رسم شود.

 

 

نمودار دمای سه میله در راستای طول آنها در شکل 31 نشان داده شده است.

 

 

همانطور که از نمودارها مشخص است میزان پیشروی دما در طول میله مسی بیشتر از دو میله دیگر است. این پیشروی در مسائل steady-state به میزان ضریب انتقال حرارت رسانشی بستگی دارد و هر چقدر این ضریب بیشتر باشد پیشروی دما بیشتر است.

مقایسه نتایج دمای سه میله، حاصل از تحلیل آباکوس و مرجع [1] در شکلهای 32 تا 34 آورده شده است.

 

 

 

 

اکنون برای استخراج نرخ از دست دادن حرارت در هر میله (q_x)، روی آیکون (Create XY Data) کلیک کرده و در پنجره باز شده، گزینه ODB field output را انتخاب کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید. در پنجره باز شده، برگه Variables را مطابق شکل 35 کامل کنید.

 

 

سپس وارد برگه Elements/Nodes شده و مطابق شکل 36 روی دکمه Edit Selection کلیک کنید.

 

 

سپس در Viewport با درگ موس، دو گره انتهای سمت چپ میله مسی را که در شکل 37 مشخص شده است انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. در این صورت تعداد گره های انتخاب شده (در اینجا 2 گره) در پنجره مذکور نشان داده می شود. همانطور که در درس دوم بیان شد، خروجی RFL11 فقط در مرزهایی که شرط مرزی دمایی اعمال شده است وجود دارد و به همین دلیل مرز سمت چپ میله ها را انتخاب کرده ایم.

 

 

روی دکمه Plot کلیک کنید تا نمودار این خروجی در دو گره بصورت موقت مانند شکل 38 رسم شود. دقت کنید که نمودار نرخ حرارت عبوری از دو نقطه برهم منطبق هستند.

 

 

مطابق شکل 14 درس دوم، مقادیر عددی این خروجی ها را استخراج کنید. مقدار کل نرخ حرارت عبوری از میله برابر مجموع نرخ حرارت در دو گره است. همین روند را برای استخراج نرخ حرارت عبوری از میله های آلومینیومی و فولادی تکرار کنید. نتایج حاصل از آباکوس و مرجع [1] در جدول 1 آورده شده است.

 

 

همانطور که ملاحظه می کنید تطابق خوبی بین نتایج حاصل از آباکوس و مرجع [1] وجود دارد.

برای یافتن دمای معادل با فرض طول بی نهایت برای میله ها، رابطه موجود در صورت سوال را بصورت زیر حل می کنیم:

پس در راستای میله به دنبال نقطه ای می گردیم که در آن دما حدود 30.25 باشد. روی آیکون (XY Data Manager) کلیک کنید. در پنجره باز شده مانند شکل 39، خروجی co را انتخاب کرده و روی دکمه Edit کلیک کنید.

 

 

در پنجره باز شده، مانند شکل 40 به دنبال دمای نزدیک به عدد 30.25 بگردید. این عدد در طول 0.184 m اتفاق افتاده است.

 

 

همین روند را برای دو میله دیگر تکرار کنید. طولهای معادل با طول بینهایت برای سه میله در جدول 2 آورده شده است.

 

 

برای رسیدن به جوابهای دقیقتر به ماژول Mesh برگردید. روی آیکون (Seed Edges) کلیک کرده و 6 لبه طولی نشان داده شده در شکل 14 را انتخاب کنید. سپس روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. مانند شکل 41 تعداد المانها را 120 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

 

به محض کلیک روی دکمه OK، پیغام هشداری مانند شکل 42 مبنی بر بی اعتبار شدن مش بندی بعضی از نواحی مدل به شما نشان داده می شود. با کلیک روی دکمه Delete Meshes مش بندی قطعه را حذف کنید.

 

 

توسط آیکون (Mesh Part Instance) قطعه را مجدداً مش بندی کنید. وارد ماژول Job شوید و مسئله را مجدداً تحلیل کنید. به محض کلیک روی دکمه Submit، پیغام هشداری مانند شکل 43 مبنی بر وجود Job همنام با Job کنونی به شما داده می شود.

 

 

با کلیک روی دکمه OK، اجازه تحلیل روی Job قبلی را به نرم افزار بدهید. پس از اتمام تحلیل با کلیک روی دکمه Results وارد ماژول Visualization شوید و مجدداً مقادیر نرخ حرارت خروجی در میله ها را استخراج کنید. برای بدست آوردن طول معادل “طول بینهایت” باید path های جدیدی برای هر یک از میله ها با شماره گره های جدید ایجاد کرده و مجدداً دما ها را بدست آورید زیرا تعداد المانها از 50 عدد به 120 عدد تغییر کرده است. طول معادل را مجددا از طریق path های جدید استخراج کنید. جدولهای 3 و 4 مقادیر این خروجی ها را به ازای 50 و 120 المان نشان می دهند. همانطور که می بینید با ریزتر شدن المانها دقت جوابها نیز بهتر شده است.

 

 

 

مرجع:

[1] Incropera, F.P. and DeWitt, D.P., “Fundamentals of Heat and Mass Transfer,” Wiley., 6th Edition., 2007, p 145, Example 3.9