کد: 1744
بازدید: 2

در مقاله قبل در رابطه با مسائل مهندسی صحبت کردیم و گفتیم دانش پایه ای دروس دانشگاهی تنها بخش کوچکی از مسائل دنیای واقعی را می تواند حل کند. همچنین راهکاری که در آنجا برای حل مسائل پیچیده مهندسی ارائه شد شامل تبدیل آن ها به قطعات کوچکتر و یافتن ارتباط بین آنها بود. همانطور که دیدید برای حل اینگونه مسائل نیاز داریم تا آنها را گسسته کنیم. یکی از روش هایی که با استفاده از همین نگرش به حل مسائل کمک می کند روش های اجزای محدود است. در این روش، ما عملا مسائل پیچیده را به تعداد زیادی قطعات کوچکتر که به آنها المان گفته می شود تقسیم می کنیم. لازم به ذکر است از این جهت به این روش، المان محدود می گویند که تعداد المان ها روی یک مسئله خاص مشخص است.

در صورت مشخص شدن رفتار گره های روی المان، قادر به تحلیل رفتار درون آن خواهیم بود. برای این کار نیاز داریم ابتدا معادلات حاکم بر المان ها را بررسی کنیم. به عنوان مثال اگر المانی به صورت یک خط داریم لازم است ابتدا ارتباط بین دونقطه ابتدا و انتها و نحوه وصل شدن آنها را به هم بیابیم تا بتوانیم روابط درون المانها را پیدا کنیم. به طور کلی حل یک مسئله پیچیده شامل یافتن روابط بین المانها، مونتاژ و نهایتا حل آنها خواهد بود.

علاوه بر این مانند آنچه در شکل های 1 تا 6 دیده می شود با نحوه گسسته سازی یک میله یا یک سطح دو بعدی یا سه بعدی با بارگذاری، هندسه و متریال متغیر در بخش های مختلف آن آشنا شدید.

 

میله با بارگذاری و هندسه متغیر
شکل 1: میله با بارگذاری و هندسه متغیر

 
 

گسسته سازی میله با بارگذاری و هندسه متغیر

شکل 2: گسسته سازی میله با بارگذاری و هندسه متغیر

 
 

سطح دو بعدی با بارگذاری متفاوت
شکل 3: سطح دو بعدی با بارگذاری متفاوت

 
 

گسسته سازی سطح دو بعدی با بارگذاری متفاوت
شکل 4: گسسته سازی سطح دو بعدی با بارگذاری متفاوت

 
 

حجم سه بعدی
شکل 5: حجم سه بعدی

 
 

گسسته سازی حجم سه بعدی
شکل 6: گسسته سازی حجم سه بعدی

 

به این ترتیب همان طور که دیدید با تکنیک گسسته سازی می توانیم بسیاری از مسائل را تحلیل کنیم که درالمان محدود به آن شبکه بندی، المان بندی و یا مش بندی نیز گفته می شود. در این مرحله قصد داریم روابط حاکم بر المان ها و معادلات بین آنها را بدست آوریم. پس از مطالعه این مقاله شما قادر خواهید بود روند روش اجزاء محدود را درک نمایید.

رویکردهای روش اجزاء محدود برای یافتن معادلات المان ها

به منظور یافتن روابط المان ها دو رویکرد کلی داریم:

ا- رویکرد مستقیم (Direct Approach):

این تکنیک تنها برای مسائل ساده قابل استفاده است و از معادلات تعادل در آن استفاده می شود. در این روش مشابه آنچه در دروس مقاومت مصالح و استاتیک دیدید روابط المان ها را با مقطع زدن به دست می آوریم. با توجه به این موضوع این روش خیلی کاربردی نیست چرا که با در نظر گرفتن مقاله قبل، با پیچیده شدن مسائل، دیگر قادر نخواهیم بود به راحتی ازین روش های ابتدایی برای تحلیل مسائل استفاده کنیم. اما برای فهم روش اجزای محدود در ادامه یک مثال را با این روش حل خواهیم کرد.

2- رویکرد روش های عددی (Approach of Numerical Methods):

این روش بصورت کلی برای حل تمامی مسائل مهندسی مکانیک کاربرد دارد. در این روش ابتدا با در نظر گرفتن شرایط مرزی، معادلات حاکم بر سیستم که معمولا بصورت معادلات دیفرانسیل هستند استخراج می شود. از آنجا که معمولا حل این معادلات سخت است به این حالت از معادلات Strong Form گفته می شود. در ادامه اما این معادلات به یک حالت ساده تر و قابل حل تر که به آن Weak Form می گویند تبدیل می شوند. در نهایت نیز با استفاده از روش های عددی (Numerical Methods) برای این حالت یک جواب مناسب تخمین زده می شود. همانگونه که ذکر شد، دسته بزرگی از مسائل پیچیده را با این رویکرد می توان حل کرد.

رویکرد مستقیم برای استخراج معادلات المان ها در مسائل الاستیک خطی

به عنوان اولین مثال، کشش الاستیک خطی یک میله در یک بعد را به عنوان ساده ترین نوع مسائل مهندسی مکانیک در نظر بگیرید. به دلیل نازک بودن، مقاومت میله ها در برابر خمش، برش، پیچش قابل چشم پوشی است. لذا در آن ها فقط نیروی داخلی محوری بررسی می شود، از اینرو میله ها را در محاسبات مشابه فنر کششی-فشاری می دانند. همانطور که در شکل 7 نشان داده شده است این میله از سه بخش تشکیل شده که هر بخش سطح مقطع و متریال مخصوص به خود را دارد.

 

میله تحت بارگذاری با سطح مقطع و متریال متغیر
شکل 7: میله تحت بارگذاری با سطح مقطع و متریال متغیر

 

در واقع مسئله را میتوان سه میله جدا از هم فرض کرد که به هم متصل شده اند و در نقاط اتصال آنها نیروهای کششی وارد می شود. سطح مقطع در هر بخش با A، مدول الاستیسیته با E و طول آن با l نمایش داده می شود. برای حل این مسئله همانطور که در شکل 8 می بینید میله را از نقاط جدایش گسسته می کنیم. البته نقاط بیشتری هم در طول هر بخش می توان در نظر گرفت اما با توجه به خطی بودن رابطه جابجایی، یک المان برای هر بخش کافیست. به مرور با دنبال کردن این مقاله و مشاهده معادلات حاکم بر المان ها می توانید به مفهوم خطی بودن و دلیل انتخاب این تعداد از المان ها پی ببرید.

 

میله تحت بارگذاری با سطح مقطع و متریال متغیر
شکل 8: میله تحت بارگذاری با سطح مقطع و متریال متغیر

 

همانطور که در شکل 9 نشان داده شده نیروهایی که روی هندسه این مسئله اعمال می شود باعث ایجاد جابجایی هایی در نقاط جدایش می شوند که با u نمایش داده شده است.

 

جابجایی نقاط جدایش در اثر اعمال نیرو
شکل 9: جابجایی نقاط جدایش در اثر اعمال نیرو

 

اکنون برای تحلیل دقیق تر، یکی از المان ها با طول l، متصل به گره های ni و nj، مانند آنچه در شکل 10 نشان داده شده است را در نظر می گیریم و با حرف e نمایش می دهیم.

 

المان e با طول l متصل به گره های ni و nj
شکل 10: المان e با طول l متصل به گره های ni و nj

 

همان طور که از درس استاتیک می دانیم وقتی یک بخش از مسئله را از هندسه جدا می کنیم نیروهای معادل آن را باید به آن بخش اعمال کنیم. این نیروها در شکل با Fie و Fje نشان داده شده است. دقت کنید جهت نیروها در جهت مثبت محور مختصات فرض شده است. معادله تعادل برای این المان به شکل زیر نوشته می شود:

Eq01

همان طور که در شکل 11 نشان داده شده نیروی داخلی المان که با Pe نمایش داده می شود نیز با مقطع زدن در طول المان به دست می آید.

 

نیروی داخلی Pe
شکل 11: نیروی داخلی Pe

 

به این ترتیب از معادله تعادل جدید داریم:

Eq02

از طرفی طبق تعریف، تنش در المان برابر نیروی داخلی در واحد سطح می باشد.

Eq03

همان طور که قبلا گفته شد اعمال نیرو باعث ایجاد جابجایی در نودهای المان خواهد شد. بنابراین با اعمال نیرو، المان به طول جدیدی خواهد رسید که در شکل 12 با Eq04 نشان داده شده است.

 

تغییر طول المان بر اثر اعمال نیرو
شکل 12: تغییر طول المان بر اثر اعمال نیرو

 

طبق تعریف، کرنش برابر با تغییر طول المان به طول اولیه آن است. لذا با توجه به هندسه شکل، روابط زیر برقرار خواهد بود:

Eq05

با ساده سازی نهایتا به رابطه زیر خواهیم رسید:

Eq06

به این ترتیب کرنش برابر است با تفاضل جابجایی نود سمت راست و چپ تقسیم بر طول اولیه المان.

از آنجا که این مسئله الاستیک خطی است، ارتباط بین تنش و کرنش از قانون هوک (Hooke’s Law) پیروی می کند. پس به طور کلی روابط زیر بر این المان حاکم می باشد:

Eq07

با نتیجه گیری ازین روابط نیروهای Fie و Fje به شکل زیر به دست می آیند:

Eq08

اکنون با توجه به تعریفی که از سختی فنر داریم می توانیم روابط به دست آمده را به شکل ماتریسی استاندارد که در پایین می بینید بازنویسی کنیم.

Eq09

بنابراین طبق این روابط اگر ما به دوسر یک المان نیروهایFie و Fje اعمال کنیم با توجه به جنس، طول و سطح مقطع المان انتظار داریم جابجایی های ui و uj را داشته باشیم.

ماتریس مربعی بالا را ماتریس سختی المان نامگذاری کرده و با Ke نشان می دهیم. به این ترتیب داریم:

Eq10

که در آن:

Eq11

اکنون ما با استفاده از رویکرد مستقیم معادله یک المان را پیدا کردیم. وقت آن رسیده است با نوشتن این معادله برای تمام المان ها و مونتاژ معادلات المان ها، کل میله را تحلیل کنیم. یک بار دیگر مانند شکل 13 کل میله را در نظر گرفته و ماتریس سختی هر بخش را به راحتی می نویسیم.

 

ماتریس سختی کل المان های میله
شکل 13: ماتریس سختی کل المان های میله

 

اکنون نیروهای دوسر المان ها و همچنین جابجایی نودها را اعمال می کنیم. نتیجه را در شکل 14 می بینید.

 

شکل شماتیک نیروها و جابجایی ها
شکل 14: شکل شماتیک نیروها و جابجایی ها

 

همانطور که می بینید به عنوان مثال برای المان اول دو نیروی Eq12 و Eq13 را داریم که مربوط به المان 1 است. نماد (1) روی نیروها نشان می دهد که این نیرو ها به المان 1 وارد می شوند. به این ترتیب با نوشتن رابطه مربوط به نیروها و جابجایی های یک المان به دسته معادلات زیر می رسیم. در مراحل بعد با ترکیب این معادلات مسئله را حل خواهیم کرد.

Eq14

در این مرحله بررسی را روی نودها انجام می دهیم. با این مفهوم که معادلات تعادل را برای هر یک از نودها می نویسیم. همانطور که در شکل 15 می بینید نیروهای موثر هر یک از نودها را نوشته و کنار هم قرار داده ایم.

 

نیروهای موثر روی نودها
شکل 15: نیروهای موثر روی نودها

 

اگر معادلات تعادل هر یک از این چهار گره را کنار هم بنویسیم به شکل استاندارد زیر دست پیدا می کنیم.

Eq15

دقت کنید قرار دادن صفر در این معادلات صرفا جهت دستیابی به فرم استاندارد و منظمی است که بعدا از آن برای نوشتن شکل ماتریسی معادلات استفاده خواهیم کرد. به این ترتیب استخراج فرم ماتریسی زیر برای این معادلات به راحتی امکان پذیر است.

Eq16

همانطور که مشاهده می کنید در این فرمت ما 4 سطر داریم که برابر با تعداد نودهاست و 3 ستون داریم که برابر تعداد المان هاست. اکنون بیایید سعی کنیم تا معادلات سختی المان را نیز استخراج کنیم. به این ترتیب به شکل زیر خواهیم رسید.

Eq17

به بیان دیگر برای اینکه اثر تمام نودها را روی المان اول ببینیم ماتریسی شامل جابجایی تمام نودها (ui) می نویسیم. در واقع به دنبال یک ماتریس مربعی 4×4 هستیم که با ضرب شدن در بردار جابجایی به شکل نهایی معادله تعادل المان اول برسد. همین روال را برای سایر المان ها نیز می نویسیم.

Eq18

حال با کنار هم قرار دادن این ماتریس ها و نوشتن مجدد دستگاه معادلات، می توانیم بگوییم جمع ماتریس های نیرویی برابر با جمع ماتریس سختی 3 المان در جابجایی کل نودها می باشد.

Eq19

با جمع ماتریس های سختی المان ها داریم:

Eq20

در این رابطه به Eq21، Eq22 و Eq23 به ترتیب ماتریس سختی کلی، بردار جابجایی های کلی و بردار نیروهای کلی می گوییم. لازم به ذکر است علامت (G) نمایانگر کلی (Global) بودن این پارامتر ها می باشد. همچنین یاداوری می کنیم در این معادلات k به شکل زیر تعریف می شود.

Eq24

با توجه به روابط بالا می توانیم معادله اساسی زیر را بنویسیم. این معادله ارتباط بین نیروها، هندسه، ماده مسئله و جابجایی ها را بدست می دهد.

Eq25

همان طور که دیدید روش حل و استخراج معادلات در این مقاله با رویکرد مستقیم و مبتنی بر دانش استاتیک شما بود و تنها نکته این بود که ما اصرار داشتیم معادلات را به شکل ماتریسی استخراج کنیم که در آینده خواهید دید این شکل از استاندارد سازی مزیت های بسیاری در حل و منظم سازی معادلات خواهد داشت.

در مقاله بعد معادلات اجزاء محدود را با رویکرد عددی بدست خواهیم آورد که مطالعه آن را به شما دوستان توصیه می کنیم.

 

نسخه ویدئویی این مقاله را در بالا مشاهده نمایید.

استخراج معادلات اجزاء محدود به روش مستقیم + نسخه ویدئویی
0 از 0 رای