شناسه: 1753
دانلود: 23

پس از فهم روند یافتن معادلات اجزاء محدود و تشکیل روابط مربوطه، اکنون آماده ایم تا از این روش برای حل مسئله میله در حال کشش (شکل 1) که روی آن کار کردیم استفاده نماییم.

 

میله در حال کشش
شکل 1: میله در حال کشش

 

در ابتدا طبق روال گذشته میله را مانند شکل 2 گسسته کرده و نیروها و جابجایی ها را روی آن لحاظ می کنیم.

 

گسسته سازی و ساخت مدل اجزاء محدود میله در حال کشش
شکل 2: گسسته سازی و ساخت مدل اجزاء محدود میله در حال کشش

 

در مقاله قبل با در نظر گرفتن تئوری انرژی پتانسل کمینه، نشان دادیم بین نیرو های اعمالی، هندسه، مواد و جابجایی ها رابطه زیر بر قرار است:

Eq01

در این رابطه با توجه به شکل 2 و جابجایی ها و نیرو هایی که روی آن مشخص کرده ایم، می توانیم بردارهای Eq02 و Eq03 را به صورت زیر بنویسیم:

Eq04

از طرفی گفتیم ماتریس سختی کل، از مونتاژ ماتریس سختی المان ها بدست می آید. بنابراین داریم:

Eq05

در این رابطه ماتریس های Eq06، Eq07 و Eq08 به ترتیب ماتریس های سختی المان های 1، 2 و 3 می باشد. با توجه به اینکه تعداد 4 جابجایی روی مدل اجزاء محدودی که در شکل 2 در نظر گرفته ایم و اینکه از قبل می دانیم تعداد سطر و ستون های ماتریس سختی برابر با این تعداد خواهد بود، برای استخراج ماتریس های سختی المان ها، ابعاد آن ها را 4×4 در نظر می گیریم.

اکنون برای استخراج ماتریس سختی المان اول با توجه به توضیحات بالا داریم:

Eq09

همان طور که می دانید گره های 1 و 2 به این المان وصل هستند بنابراین تنها مولفه های مشترک سطر و ستون 1 و 2 مقدار خواهند داشت و باقی مولفه ها نیز صفر خواهند بود. پس:

Eq10

همچنین طبق تعریف داشتیم:

Eq11

به همین ترتیب ماتریس سختی المان های دوم و سوم را نیز تشکیل می دهیم.

Eq12

به این ترتیب Eq13 به شکل زیر خواهد بود:

Eq14

در نتیجه:

Eq15

اکنون تمام ترم های معادله اجزاء محدود تشکیل شده است. پس داریم:

Eq16

در این رابطه مقادیر u2، u3، u4 و f1 مجهول هستند که با یافتن آن ها عملا مسئله حل خواهد شد. لازم به توضیح است که در مرحله اول مستقیما جابجایی u ها که مجهولات ما هستند را پیدا می کنیم، و در مراحل بعدی نتایج غیر مستقیم نظیر کرنش، تنش و نیروی عکس العمل را محاسبه می نماییم.

در ادامه به بررسی یک مثال با شرایط شکل 3 می پردازیم:

 

میله در حال کشش با سه نیروی f
شکل 3: میله در حال کشش با سه نیروی f

 

در نظر داشته باشید به منظور سادگی محاسبات، در کل میله تنها یک سطح مقطع و یک مدول الاستیسیته لحاظ شده است. همچنین سه نیروی برابر f روی این گره ها اعمال می شوند و طول هر سه بخش برابر l است. گسسته سازی روی این میله مطابق با شکل 4 خواهد بود:

 

گسسته سازی میله در حال کشش با سه نیروی f
شکل 4: گسسته سازی میله در حال کشش با سه نیروی f

 

دقت کنید R نیروی عکس العمل تکیه گاه سمت چپ است. همچنین جابجایی گره ای که روی تکیه گاه قرار دارد برابر صفر خواهد بود (u1=0).

معادلات زیر را برای این مسئله تشکیل می دهیم:

Eq17

که در آن Eq18 است. دقت کنید همانطور که قبلا گفته شد ماتریس سختی کل از مونتاژ ماتریس سختی های المان ها تشکیل می شود. به این ترتیب معادله روش اجزاء محدود به شکل ماتریسی زیر نوشته می شود. در همین مرحله شرایط مرزی (u1=0) را اعمال می کنیم.

Eq19

محاسبه جابجایی گره ها (نتایج مستقیم)

با ضرب u1=0 در ستون اول ماتریس [K]، این ستون از محاسبات خارج می شود. از طرفی معادله حاصل از ضرب سطر اول ماتریس [K] در ماتریس Eq20 نیز معادله ارزشمندی در راستای مجهولات جابجایی نمی دهد، چرا که مقدار R در آن مجهول خواهد ماند. لذا این سطر نیز فعلا از محاسبات خارج می گردد. ترم های حذف شده بر اساس صحبت هایی که شد بدین صورت خواهد ماند.

Eq21

در روابط بالا، آیتم های معلوم به رنگ سبز و آیتم های مجهول با رنگ قرمز مشخص شده اند. با نوشتن این آیتم ها به شکل زیر می توانیم مجهولات را بدست آوریم:

Eq22

با معکوس کردن ماتریس مربعی باقیمانده از Eq23 به راحتی به معادله زیر می رسیم.

Eq24

با ضرب دو ماتریس آخر مجهول u به شکل زیر دست می آید.

Eq25

حال اگر u1 را که از قبل مقدار آن را می دانستیم به این جمع اضافه کنیم، مقدار جابجایی کل گره ها را با هم خواهیم داشت:

Eq26

در نظر داشته باشید با توجه به اینکه معادلات حاکم بر المان ها دقیقا روی معادلات حاکم بر هر بخش از میله می افتد، در این نوع از مسائل حل تخمینی، نتایج کاملا دقیق را به ما ارائه داد.

بدست آوردن نتایج غیر مستقیم در روش اجزاء محدود

محاسبه جابجایی های درون المان ها

پس از بدست آوردن جابجایی روی گره ها، جابجایی درون المان ها نیز به راحتی قابل محاسبه است. به یاد داریم که جابجایی درون المان e که به گره های ui و uj متصل است، از رابطه زیر بدست می آید:

Eq27

پس با در نظر گرفتن جابجایی گره های مربوط به هر المان داریم:

Eq28

پس در نهایت برای هر سه المان داریم:

Eq29

محاسبه کرنش درون المان ها

همینطور کرنش نیز با توجه به رابطه زیر محاسبه می شود:

Eq30

محاسبه تنش در المان ها

از قانون هوک، رابطه تنش نیز به شکل زیر خواهد بود:

Eq31

محاسبه نیروی عکس العمل تکیه گاه

پارامتر دیگری که در اینجا قابل محاسبه است نیروی عکس العمل (Reaction Force) تکیه گاه، که روی گره n1 قرار دارد، می باشد. سطر اول معادلات را به شکل زیر در نظر بگیرید:

Eq32

همان طور که می بینید تنها مجهول باقی مانده در این معادله R است. پس با نوشتن آن داریم:

Eq33

با توجه به ساده بودن مسئله می توانستیم از معادلات تعادل نیز نیروی عکس العمل را بیابیم. اما به منظور درک کارایی روش اجزاء محدود ازین روش برای محاسبه آن استفاده نمودیم.

در پایان این بحث به یک نتیجه کلی می رسیم که:

 

نتیجه گیری از مثال ساده میله تحت کشش

 

در مقاله بعد، معادلات اجزاء محدود میله که در یک بعد بدست آمد را به بعدهای بیشتر تعمیم می دهیم. در واقع با مطالعه مقاله بعد شما می توانید با نح وه حل مسائل خرپا به روش اجزاء محدود آشنا شوید.

 

نسخه ویدئویی این مقاله را در بالا مشاهده نمایید.

روش اجزاء محدود برای یافتن جابجایی های یک میله در حال کشش + نسخه ویدئویی
0 از 0 رای