محاسبه فرکانس های طبیعی و شکل مودهای سیستم دو درجه آزادی شامل قرقره با دو شعاع مختلف متصل به یک قرقره کوچک

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- مدلسازی قرقره با در نظر گفتن شعاع آن.

2- اتصال صلب سه نقطه به هم

سیستم دو درجه آزادی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. در این سیستم، A متشکل از دو قرقره با شعاع های r و 2r می باشد که به یکدیگر چسبیده اند و با هم می چرخند. همچنین از روی شکل مشخص است که قرقره B دارای قطر r است. فرکانس های طبیعی و شکل مودهای متناظر این سیستم را بدست آورده و با نتایج مرجع [1] مقایسه کنید (قرقره ها بدون جرم هستند).

k1 = 250 N/m, k2 = 100 N/m, m1 = 5 kg, m2 = 2 kg, r = 0.05 m

 

سیستم دو درجه آزادی دارای 2 قرقره مختلف
شکل 1: سیستم دو درجه آزادی دارای 2 قرقره مختلف

 

مدل سازی مسئله:

مدل سازی قرقره A:

همانطور که در درس چهارم ملاحظه کردید گاهی اوقات بسته به شرایط هندسی مسائل کابل و قرقره، می توان قطر قرقره ها را در تحلیل در نظر نگرفت و حتی قرقره را بصورت یک نقطه فرض نمود. اما در مسئله حاضر قرقره A از دو پولی بهم چسبیده با قطرهای متفاوت تشکیل شده است. در واقع با کمی دقت متوجه می شویم میزان جابجایی کابل مطابق شکل 2 به نسبت قطرها بستگی دارد و این مسئله بایستی در مدل سازی لحاظ شود.

 

نحوه چرخش قرقره دوتایی و حرکت کابل
شکل 2: نحوه چرخش قرقره دوتایی و حرکت کابل

 

به منظور مدلسازی قرقره A کافیست بین نقاط آبی رنگ در شکل 2 یک ارتباط صلب برقرار کنیم بطوریکه این نقاط بتوانند حول مرکز قرقره دوران نمایند. در این نرم افزار چندین روش برای برقراری ارتباط صلب وجود دارد که ما در مدلسازی این قرقره از Rigid Part استفاده می نماییم. بنابراین در اولین قدم از مدل سازی، یک Rigid Part با در نظر گرفتن گزینه های شکل 3 ایجاد کنید.

 

گزینه های ایجاد جسم صلب برای مدلسازی قرقره A
شکل 3: گزینه های ایجاد جسم صلب برای مدلسازی قرقره A

 

پس از فشردن دکمه Continue، طرح شکل 4 را در محیط Sketch رسم کرده و اندازه گذاری کنید. به منظور راحتی مدلسازی در مراحل بعدی، نقطه مشخص شده (مرکز قرقره) را روی مبدا مختصات (0,0) در نظر بگیرید. توجه کنید که خط قائم بصورت دو تکه رسم شود.

 

طرح جسم صلب برای شبیه سازی قرقره A
شکل 4: طرح جسم صلب برای شبیه سازی قرقره A

 

از محیط Sketch خارج شوید. همانطور که در درس پنجم بیان شد، برای کنترل جسم صلب بایستی یک Reference Point تعریف نمود. برای این کار از نوار منو مسیر زیر را اجرا کرده و سپس نقطه نشان داده شده در شکل 4 (مرکز قرقره) را انتخاب کنید.

Tools > Reference Point

وارد کردن قطعه به محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شده و قطعه را بصورت Independent (mesh on instance) وارد محیط مونتاژ کنید.

تعریف Step:

وارد ماژول Step شوید. تحلیلی فرکانسی با 2 مقدار ویژه ایجاد کنید.

مدل سازی قرقره B:

برای مدل سازی قرقره B هم می توانیم یک Rigid Part ایجاد کنیم بطوری که مانند شکل 5 بتوان روی آن سه نقطه تعریف نمود ولی برای آموزش روش دیگری از مدلسازی، از تعریف Reference Point در ماژول Interaction و ایجاد MPC Constraint استفاده می کنیم.

 

شماتیک روش قابل اجرا برای شبیه سازی قرقره B با Rigid Part
شکل 5: شماتیک روش قابل اجرا برای شبیه سازی قرقره B با Rigid Part

 

بدین منظور به ماژول Interaction رفته و سه Reference Point بترتیب به مختصات (-0.2,0.05)، (-0.2,0.075) و (-0.2,0.1) معادل با نقاط آبی رنگ شکل 5 ایجاد کنید. در همین مرحله نقطه ای به مختصات (0.1,-0.12) معادل با جرم m2 نیز ایجاد کنید. با کلیک روی آیکون Auto-Fit View (Auto-Fit View) تمام اجزاء مدل را مانند شکل 6 در Viewport قرار دهید.

 

نقاط تعریف شده به همراه Rigid Part در Viewport
شکل 6: نقاط تعریف شده به همراه Rigid Part در Viewport

 

به منظور تکمیل تعریف قرقره B بایستی سه نقطه مربوطه را به یکدیگر مقید نماییم تا با حرکت مرکز قرقره در جهت X، دو نقطه دیگر نیز در این جهت حرکت نمایند. بدین منظور بایستی مشابه قرقره A بین این سه نقطه یک ارتباط صلب برقرار کنیم. روی آیکون Create Constraint (Create Constraint) کلیک کرده و مانند شکل 7، در پنجره باز شده گزینه MPC Constraint را انتخاب و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

انتخاب گزینه MPC Constraint برای ایجاد اتصال بین نقاط قرقره B
شکل 7: انتخاب گزینه MPC Constraint برای ایجاد اتصال بین نقاط قرقره B

 

در قسمت اعلان از شما خواسته شده است تا Control Point این قید را انتخاب نمایید. لذا روی نقطه RP-2 که مربوط به محور قرقره B می باشد کلیک کنید. پس از آن نرم افزار در قسمت اعلان از شما تعریف نقاط Slave (نقاط پیرو یا وابسته) را می خواهد. بنابراین با نگه داشتن دکمه Shift دو نقطه RP-1 و RP-3 را انتخاب کرده و روی دکمه Done بزنید. با این کار پنجره Edit Constraint باز خواهد شد که با توجه به اینکه می خواهیم درجات آزادی جابجایی و چرخش از Control Point به نقاط Slave منتقل شود مانند شکل 8، گزینه MPC Type را روی Beam قرار می دهیم. روی دکمه OK کلیک کنید تا تعریف قید مورد نظر و مدل سازی قرقره B به اتمام برسد.

 

انتخاب گزینه Beam به عنوان MPC Type برای قفل کردن درجات آزادی جابجایی و چرخش نقاط به نقطه control point
شکل 8: انتخاب گزینه Beam به عنوان MPC Type برای قفل کردن درجات آزادی جابجایی و چرخش نقاط به نقطه control point

 

تعریف جرم ها و فنرها:

دو جرم m1 و m2 را روی نقاط RP-2 و RP-4، به ترتیب با مقادیر 5 kg و 2 kg تعریف کنید.

برای مدلسازی فنر k1، روی نقطه RP-2 فنری از نوع Connect points to the ground با سختی 250 N/m و در جهت 1 ایجاد کنید.

برای مدلسازی فنر k2، روی نقاط نشان داده شده در شکل 9 فنری از نوع Connect two points با سختی 100 N/m ایجاد کنید.

 

نقاط دو سر فنر k2
شکل 9: نقاط دو سر فنر k2

 

مدل سازی کابل:

در این درس نیز مانند درس چهارم برای مدل سازی کابل می توان از Connector نوع Slip Ring استفاده نمود. بنابراین در اولین قدم با کلیک روی آیکون Create Connector Section (Create Connector Section) یک Section با مشخصات کانکتور Slip Ring تعریف شده در شکلهای 5 تا 7 درس چهارم ایجاد کنید. پس از آن، روی آیکون Connector Builder (Connector Builder) کلیک کنید. در قسمت اعلان از شما خواسته می شود تا نقاط دو سر کانکتور (قسمت اول کابل) را انتخاب نمایید. مانند شکل 10، ابتدا روی نقطه 1 و سپس نقطه 2 (RP-1) کلیک کنید.

 

نقاط مربوط به تعریف کابل
شکل 10: نقاط مربوط به تعریف کابل

 

در پنجره Connector Builder همانطور که در شکل 11 نیز نشان داده شده است اطلاعاتی نظیر مختصات نقاط انتخابی، نام Wire ایجاد شده و Section نشان داده می شود.

 

پنجره Connector Builder در مورد قسمت اول کابل
شکل 11: پنجره Connector Builder در مورد قسمت اول کابل

 

با کلیک روی دکمه OK/Repeat مجدداً در قسمت اعلان از شما خواسته می شود تا نقاط دو سر کانکتور (قسمت دوم کابل) که به ترتیب با 2 و 3 در شکل 10 مشخص شده اند را انتخاب نمایید. کانکتور سوم را نیز با انتخاب نقاط 3 و 4 مانند مراحل قبل تعریف و به جای زدن روی دکمه OK/Repeat روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب سیستم را بصورت شکل 12 در Viewport خواهید دید. در نظر داشته باشید که ترتیب انتخاب نمودن نقاط بایستی از یک سمت کابل به سمت دیگر آن باشد، در غیر اینصورت در هنگام تحلیل با خطا مواجه خواهید شد.

 

مدل ایجاد شده متشکل از فنرها، جرمها، کانکتورها و قرقره ها
شکل 12: مدل ایجاد شده متشکل از فنرها، جرمها، کانکتورها و قرقره ها

 

اعمال شرایط مرزی:

به ماژول Load رفته و روی آیکون Boundary Condition Manager (Boundary Condition Manager) کلیک کنید. همانطور که از قبل می دانید در پنجره باز شده می توانید با کلیک روی دکمه Create اقدام به تعریف شرایط مرزی مختلف نمایید. در اولین قدم به منظور اعمال نحوه حرکت قرقره A، درجات آزادی U1، U2 و U3 مرکز این قرقره (نقطه RP) را در Initial Step مقید نمایید. با این کار در واقع اجازه می دهید این قرقره یا به عبارتی Rigid Part ایجاد شده در مراحل بالا بتواند حول Reference Point خود بچرخد.

در قدم بعدی، مرکز قرقره B (نقطه RP-2) را در درجات آزادی U2، U3 و UR3 ببندید. چرخش حول محور Z (عمود بر صفحه) به این دلیل گرفته شده است که نقاط RP-1 و RP-3 که مربوط به نقاط مماس شدن کابل به قرقره B هستند حول محور این قرقره نمی چرخند زیرا اصطکاکی بین کابل و قرقره وجود ندارد. در واقع با این قیدها و قید MPC، سه نقطه مربوط به قرقره B تنها مجازند در جهت محور X باهم حرکت کنند.

همانطور که قبلا نیز متوجه شده اید، در تحلیل های ارتعاشاتی، جرم های سیستم تنها مجازند در جهت درجه آزادی سیستم حرکت کنند. جرم m1 که عملا نقطه اثر آن روی محور قرقره B قرار گرفته است در مرحله قبل با قرقره B قید گذاری شد. به منظور محدود کردن حرکت جرم m2 نیز کافیست نقطه RP-4 را در جهات U1 و U3 مهار کنیم. بدین ترتیب، این جرم فقط در جهت عمودی (محور Y) می تواند حرکت کند.

تعریف جریان مواد در کابل:

برای تعریف جریان کابل مطابق شکلهای 11 و 12 درس چهارم عمل کرده و شرط مرزی Connector material flow را بین نقاط ابتدا و انتهای کابل (نقاط 1 و 4 مشخص شده در شکل 10) تعریف کنید.

مش بندی قرقره A:

همانگونه که در درس پنجم یاد گرفتید، قطعات صلب نیز همانند قطعات دیگر نیاز به مش بندی دارند. ازینرو به ماژول Mesh رفته و مطابق شکل 8 درس پنجم روی هر یک از سه قسمت قرقره A یک المان RB3D2 ایجاد نمایید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job دلخواه ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. در برگه Warning هشداری در رابطه با قید MPC می بینید که شما را از ایجاد درجات آزادی اضافه ناشی از معادلات قید MPC آگاه می نماید، هرچند این مورد در نتایج مسئله ما هیچ تاثیری ندارد ولی برای از بین بردن این هشدار کافیست قرقره B را همانند قرقره A مدلسازی کنید. بعد از اتمام تحلیل، دکمه Results را فشار دهید تا به ماژول Visualization منتقل شوید.

بررسی نتایج:

پس از ورود به ماژول Visualization مشاهده می کنید که به جز قرقره A، سایر آیتم های مدل در Viewport بصورت پیش فرض نمایش داده نمی شوند. برای رفع این مشکل، مطابق شکلهای 19 و 20 درس چهارم نمایش کانکتورها، جرم ها و فنرها را فعال کنید. فرکانسهای طبیعی سیستم را استخراج کنید. مقادیر فرکانس های طبیعی در مودهای 1 و 2 ارتعاشی و نتایج مرجع [1] در جدول 1 آورده شده است.

 

جدول 1: مقادیر فرکانسهای طبیعی سیستم حاصل از آباکوس و مرجع [1]
مقادیر فرکانسهای طبیعی سیستم حاصل از آباکوس و مرجع [1]

 

اکنون مقادیر نرمالایز شده جابجایی U1 برای جرم m1 و جابجایی U2 برای جرم m2 که به ترتیب با شماره های 1 و 2 در شکل 13 مشخص شده اند را در 2 مود ارتعاشی استخراج نمایید.

 

نقاط مربوط به جرم ها برای استخراج جابجایی در هر مود ارتعاشی
شکل 13: نقاط مربوط به جرم ها برای استخراج جابجایی در هر مود ارتعاشی

 

مقادیر مودهای ارتعاشی در جدول 2 نشان داده شده است.

 

جدول 2: مقادیر جابجایی جرمها در دو مود ارتعاشی حاصل از نرم افزار
مقادیر جابجایی جرمها در دو مود ارتعاشی حاصل از نرم افزار

 

شکل مودهای اول و دوم سیستم به ترتیب در شکل های 14 و 15 نشان داده شده است.

 

شکل مود ارتعاشی اول با فرکانس طبیعی 4.6925 rad/s
شکل 14: شکل مود ارتعاشی اول با فرکانس طبیعی 4.6925 rad/s

 

شکل مود ارتعاشی دوم با فرکانس طبیعی 10.655 rad/s
شکل 15: شکل مود ارتعاشی دوم با فرکانس طبیعی 10.655 rad/s

 

مرجع:

[1] Kelly, S. Graham, “Mechanical Vibrations: Theory and Applications,” SI Edition, Cengage Learning, 2012, p 453

دیدگاه شما چیست؟