محاسبه فرکانس های طبیعی و شکل مودهای سیستم سه درجه آزادی شامل دیسک و جرم متمرکز

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- مدلسازی اتصال کابل به دیسک در وضعیت نشان داده شده در شکل

سیستم سه درجه آزادی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. قرقره های کوچک بدون جرم بوده و دیسکهای کوچک و بزرگ بترتیب دارای گشتاور اینرسی J1 و J2 می باشند. ریسمان حول دیسک بزرگ به شعاع 3in پیچیده شده است (R2 = 3in). هدف، به دست آوردن فرکانس های طبیعی و شکل مودهای متناظر آنها و مقایسه با نتایج مرجع [1] می باشد.

Eq01

 

سیستم سه درجه آزادی شامل دیسک و جرم متمرکز
شکل 1: سیستم سه درجه آزادی شامل دیسک و جرم متمرکز

 

مدل سازی مسئله:

تعریف Step:

وارد ماژول Step شوید. با توجه به 3 درجه آزادی بودن سیستم، تحلیلی فرکانسی با 3 مقدار ویژه ایجاد کنید.

ایجاد نقاط مربوط به جرم های متمرکز و نقاط انتهایی فنرها:

وارد ماژول Interaction شوید. با توجه به نکات بیان شده راجع به نقاط موثر سیستم در درس پنجم، در این سیستم فقط به چهار Point Reference نیاز داریم که به عنوان نقطه انتهایی فنر، جرم متمرکز و دیسکها مورد استفاده قرار می گیرند. توسط آیکون Create Reference Point (Create Reference Point) چهار نقطه بترتیب به مختصات (0,0) بعنوان جرم m، (0,1) بعنوان انتهای فنر k3، (1,0) و (2,0) بعنوان دیسکهای J2 و J1 ایجاد کنید.

ایجاد فنرهای خطی و پیچشی:

بین نقاط RP-1 و RP-2 فنری با نام k3 و سختی 5 lb/in ایجاد کنید.

مانند شکلهای 4 و 5 درس سوم فنری پیچشی با نام K2 و سختی 50 lb.in/rad بین نقاط RP-3 و RP-4 و در راستای 4 ایجاد کنید.

مانند شکلهای 14 و 15 درس چهارم فنری متصل به زمین با نام k4 و سختی 4 lb/in روی نقطه RP-1 و در راستای 2 ایجاد کنید. با همین روش، فنری پیچشی و متصل به زمین با نام K1 و سختی 20 lb.in/rad روی نقطه RP-4 و در راستای 4 ایجاد کنید.

ایجاد جرم های متمرکز:

پس از تبدیل جرم m به واحدهای مناسب سیستم اینچی مانند نکته 1 درس پنجم، جرمی به اندازه 0.00777025 با نام m روی نقطه RP-1 تعریف کنید.

ممان های J1 و J2 نیز قبل از مدلسازی باید به واحدهای مناسب سیستم اینچی تبدیل شوند. ممان J1 را در نظر بگیرید.

J1 = 100 lbf.in2

واحد J1 ترکیبی از واحدهای in2 و lbf می باشد. تنها واحدی که باید به واحدهای صحیح تبدیل شود واحد lbf است. پس کافیست عدد 100 lbf را طبق نکته 1 درس پنجم به واحد صحیح جرم تبدیل کنیم.

J1 = 100 lbf.in2 × 1/386.088 (in/s2) = 100/386.088 (lbf.in.s2) = 0.259008 (lbf.in.s2)

به همین ترتیب مقدار J2 بصورت زیر محاسبه می شود.

J2 = 400 lbf.in2 × 1/386.088 (in/s2) = 400/386.088 (lbf.in.s2) = 1.03603 (lbf.in.s2)

همانطور که می دانید ممانهای J1 و J2 باید حول محور X تعریف شوند. در نتیجه مانند شکل 6 درس سوم ممان اینرسی ای با نام J1 روی نقطه RP-4 در راستای I11 و به مقدار 0.259008 ایجاد کنید. سپس ممان اینرسی ای با نام J2 روی نقطه RP-3 در راستای I11 و به مقدار 1.03603 ایجاد کنید.

اکنون باید رابطه بین چرخش J2 و جابه جایی انتهای فنر k3 را اعمال کنیم. برای این کار نیاز به تعریف Set داریم.

نکته 1

Set به معنای مجموعه، عبارتیست که برای مشخص کردن مجموعه ای شامل المانها، گره ها، نقاط، لبه ها، سطوح، حجم ها، کانکتورها و… و یا ترکیبی از آنها مورد استفاده قرار می گیرد. Set برای راحتی انتخاب قسمتهای مختلف و یا درخواست خروجی و… مورد استفاده قرار می گیرد.

از نوار منو، مسیر زیر را دنبال کنید.

Tools > Set > Manager

در پنجره باز شده روی دکمه Create کلیک کنید. پنجره Create Set را مطابق شکل 2 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

تعریف نام Set در پنجره Create Set
شکل 2: تعریف نام Set در پنجره Create Set

 

در Viewport نقطه RP-3 را انتخاب و در نوار اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. یک بار دیگر در پنجره Set Manager روی دکمه Create کلیک کنید. در پنجره Create Set، نام Set را y وارد کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. سپس در Viewport نقطه RP-2 را انتخاب و در نوار اعلان روی دکمه Done کلیک کنید.

به این ترتیب Set های مورد نیاز برای برقراری ارتباط بین جابجایی انتهای فنر k3 یعنی y و میزان چرخش دیسک J2 یعنی theta ایجاد می شود. برای برقراری این ارتباط، روی آیکون Create Constraint (Create Constraint) کلیک کنید. در پنجره باز شده، گزینه Equation را مطابق شکل 3 انتخاب و روی دکمه Continue کلیک کنید

 

انتخاب گزینه Equation در پنجره Create Constraint
شکل 3: انتخاب گزینه Equation در پنجره Create Constraint

 

اگر در پنجره Edit Constraint روی آیکون Tip (Tip) کلیک کنید پنجره Tip مطابق شکل 4 باز می شود که نحوه تعریف equation را با یک مثال توضیح می دهد.

 

نحوه تعریف equation با استفاده از یک مثال
شکل 4: نحوه تعریف equation با استفاده از یک مثال

 

پنجره شکل 4، نحوه پر کردن جدول موجود در پنجره Edit Constraint برای معادله ای به شکل Set1 با درجه آزادی 3 منهای Set2 با درجه آزادی 1 به علاوه 2*Set3 با درجه آزادی 3 مساوی صفر را نشان می دهد.

همان طور که می دانید برای مسئله ما، باید حاصلضرب چرخش دیسک J2 در شعاع دیسک برابر جابجایی انتهای فنر k3 باشد و رابطه ریاضی آن به شکل زیر تعریف می شود:

y = R2 × θ

برای استفاده از قید Equation، باید تمام رابطه در یک طرف تساوی قرار گیرد:

y – R2 × θ = 0

همانطور که می دانید، y همان set با نام y است و فقط جابجایی در راستای y آن که معادل با درجه آزادی 2 است مد نظر ماست. θ نیز set با نام theta است و فقط پیچش حول محور x آن که معادل با درجه آزادی 4 است مد نظر ما می باشد. این رابطه بر طبق راهنمایی پنجره Tip بصورت زیر نوشته می شود.

y:DOF2 – R2×theta:DOF4 = 0

به این ترتیب پنجره Edit Constraint را مطابق شکل 5 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

نحوه کامل کردن معادله حاکم بر مسئله در جدول Edit Constraint
شکل 5: نحوه کامل کردن معادله حاکم بر مسئله در جدول Edit Constraint

 

نکته 2

دقت کنید که Set موجود در ردیف اول پنجره Edit Constraint می تواند شامل هر تعداد نقطه یا گره باشد اما Set های موجود در سایر ردیفها باید تنها شامل یک نقطه یا گره باشند. برای این منظور به ویدئوی زیر توجه کنید.

ویدئوی میان درس

روی دکمه Dismiss کلیک کنید تا از پنجره Constraint Manager خارج شوید.

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. درجات آزادی نقطه RP-1 (جرم m) را در دو راستای 1 و 3 مقید کنید. همانطور که می دانید به نقطه RP-2 فقط فنر k3 متصل شده است پس فقط در راستای y (راستای فنر) دارای درجه آزادی است. دیسک های J1 و J2 هم چون فقط دارای ممان اینرسی می باشند در نتیجه نیازی به بستن درجات آزادی جابجایی آن ها نیست.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job دلخواه ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. مسئله باید بدون خطا و هشدار حل شود. در نهایت بعد از اتمام تحلیل، دکمه Results را فشار دهید تا به ماژول Visualization منتقل شوید.

بررسی نتایج:

مقادیر فرکانس های طبیعی در سه مود ارتعاشی در شکل 6 نشان داده شده است.

 

فرکانس های طبیعی 3 مود ارتعاشی
شکل 6: فرکانس های طبیعی 3 مود ارتعاشی

 

جدول 1 فرکانس های طبیعی حاصل از تحلیل نرم افزار و مقادیر ارائه شده در مرجع [1] را برای مقایسه نشان می دهد.

 

جدول 1: فرکانس های طبیعی در 3 مود ارتعاشی
فرکانس های طبیعی در 3 مود ارتعاشی

 

برای مشاهده شکل مودها ابتدا مانند شکل 7 به محل قرارگیری جرمها در Viewport دقت کنید.

 

محل قرارگیری جرمها در ماژول Visualization
شکل 7: محل قرارگیری جرمها در ماژول Visualization

 

با استفاده از روشی که در شکل های 38 تا 44 درس اول گفته شد، مقدار نرمال شده جابجایی U2 نقاط RP-1 و RP-2 و همچنین مقدار نرمال شده چرخش UR1 نقاط RP-3 و RP-4 را استخراج کنید. این مقادیر در جدول 2 آورده شده است.

 

جدول 2: مقادیر نرمال شده جابجایی ها و چرخشها
مقادیر نرمال شده جابجایی ها و چرخشها

 

با توجه به مقادیر جابه جایی انتهای فنر k3 و چرخش دیسک J2 موجود در جدول 2، درستی رابطه زیر را بررسی کنید.

y = R2 × θ

تمرین:

فرکانس طبیعی و شکل مود سیستم 1 درجه آزادی نشان داده در شکل 8 را محاسبه کرده و با نتایج مرجع [2] مقایسه کنید. توجه کنید که چرخدنده J2 هرزگرد است و شفت مقاومی بعنوان فنر پیچشی به آن متصل نیست. محور Z در راستای صفحه و به سمت بیرون فرض می شود.

k1 = 10 N/m, K3 = 12 N.m/rad

m1 = 1.5 kg, J2 = 1.2 kg.m2, J3 = 0.5 kg.m2

R2 = 0.045 m, R3 = 0.02 m

 

سیستم یک درجه آزادی شامل چرخدنده (دیسک) و جرم متمرکز
شکل 8: سیستم یک درجه آزادی شامل چرخدنده (دیسک) و جرم متمرکز

 

راهنمایی: در هنگام استخراج و اعمال رابطه ها توسط دستور Equation، به راستای حرکت جرم m1 و جهت چرخش دو چرخدنده که در خلاف جهت هم هستند دقت کنید! این نکته روی مقدار فرکانس تاثیری ندارد اما روی شکل مود تاثیر دارد. دو رابطه صحیح مورد نظر بصورت زیر خواهند بود:

Equation-1 → m1:DOF1 + J2:DOF6 = 0

Equation-2 → R2 × J2:DOF6 + R3 × J3:DOF6 = 0

جواب:

ω = 4.0341 rad/s

 

جدول 3: مقادیر نرمال شده جابجایی ها و چرخشها
مقادیر نرمال شده جابجایی ها و چرخشها

 

مراجع:

[1] William, W. Seto, “Theory and Problems of Mechanical Vibrations,” Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, 1964

[2] Thomson, W. T., “Theory of Vibration with Applications,” Springer., 4th Edition., Reprinting, 1993, p. 45.

دیدگاه شما چیست؟