محاسبه فرکانس های طبیعی و شکل مودهای سیستم دو درجه آزادی دارای قرقره با دو شعاع مختلف

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- استفاده از سیستم انگلیسی (پوند-اینچ-ثانیه)

2- مدل سازی قرقره صلب

3- مدل سازی قرقره دو تکه

سیستم دو درجه آزادی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. دو قرقره بزرگ و کوچک به شعاع های 10 in و 6 in به هم متصل شده اند و قرقره یکپارچه صلب را ایجاد کرده اند. وزن کل قرقره 50 lb و شعاع ژیراسیون آن 6 in است. هدف از این درس به دست آوردن فرکانس های طبیعی و شکل مودهای متناظر آنها و مقایسه با نتایج مرجع [1] می باشد.

k1 = 5 lb/in, k2 = 2 lb/in, k3 = 3 lb/in, m1 = 4 lb, m2 = 6 lb

 

شکل 1: سیستم دو درجه آزادی جرم و فنر شامل قرقره صلب با دو شعاع مختلف

مدل سازی مسئله:

همانطور که می دانید هنر حل مسئله در مهندسی در درجه اول به ساده سازی صحیح آن بستگی دارد. برای مدل سازی این مسئله باید به درک صحیحی از هندسه مسئله برسیم. همانطور که در شکلهای 2 و 3 درس چهارم آموختید باید نقاط موثر مربوط به اتصالات کابل یا فنرها را پیدا کنیم. این نقاط در شکل 2 با رنگ قرمز مشخص شده اند. برخلاف درس چهارم، در اینجا بعلت تفاوت در اندازه بازوی موثر این نقاط نسبت به مرکز قرقره، چرخش قرقره نیز تحت تاثیر قرار می گیرد. در نتیجه نه تنها نمی توان آن ها را روی هم انداخت، بلکه بایستی مرکز قرقره را نیز که با رنگ آبی نشان داده شده است، در تحلیل در نظر گرفت.

 

شکل 2: نقاط موثر قرقره که با رنگ های قرمز و آبی مشخص شده اند

 

با توجه به توضیحات داده شده، روی آیکون (Create Part) کلیک کرده و در پنجره Create Part گزینه های مشخص شده در شکل 3 را انتخاب کنید. دلیل انتخاب گزینه 3D را از نتایج درس اول به خوبی می دانید. گزینه Discrete rigid بخاطر صلب بودن قرقره انتخاب شده است و با توجه به مفهوم نقاط موثر که در بالا بیان شد، بهترین گزینه برای در نظر گرفتن آنها انتخاب دستور Wire است و چون نقاط در یک صفحه قرار دارند بصورت Planar ایجاد می شوند. گزینه Approximate size اندازه صفحه دوبعدی را مشخص می کند و معمولا 4 برابر بزرگترین اندازه در مدل در نظر گرفته می شود تا طرح دو بعدی در هنگام رسم، بطور کامل در ناحیه دید قرار داشته باشد. با توجه به اینکه قطر قرقره 16 in است پس این مقدار را برابر 65 در نظر گرفته ایم. دکمه Continue را بزنید تا وارد محیط Sketch شوید.

 

شکل 3: گزینه های ایجاد قطعه صلب از نوع Wire

 

روی آیکون (Create Lines: Connected) کلیک کرده و در قسمت اعلان مختصات (-6,0) را وارد کرده و کلید Enter صفحه کلید را فشار دهید. همین روند را به ترتیب برای دو مختصات (0,0) و (10,0) تکرار کرده و هر بار کلید Enter صفحه کلید را فشار دهید. به این ترتیب دو خط مانند آنچه در شکل 4 آورده شده است ایجاد خواهد شد. یادآوری می شود که خط سمت چپ، بعنوان قرقره کوچک (شعاع 6 in) و خط سمت راست، بعنوان قرقره بزرگ (شعاع 10 in) در مدلسازی عمل خواهد نمود.

 

شکل 4: خطوط بیانگر قرقره ها و نقاط موثر آنها

 

اکنون ابتدا با زدن دکمه Esc صفحه کلید و سپس زدن دکمه Done در قسمت اعلان، از محیط Sketch خارج شوید تا قطعه مورد نظر ایجاد شود.

وضعیت و موقعیت هر جسم صلب در فضا توسط یک نقطه (Reference Point) قابل تعریف است. به طوری که با چرخاندن و یا جابجایی این نقطه، سایر نقاط جسم صلب نیز چرخیده و یا جابجا می شوند. با توجه به اینکه قرقره مورد نظر را بصورت صلب در نظر گرفتیم باید چنین نقطه ای را برای آن ایجاد کنیم. برای تعریف این نقطه، از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Tools > Reference Point

در قرقره موردنظر بهترین مکان برای این Reference Point همان مرکز قرقره می باشد. پس نقطه میانی قرقره که مختصات آن (0,0) بود را با موس انتخاب کنید. شکل 5 خطوط و Reference Point ایجاد شده در Viewport را نمایش می دهد.

 

شکل 5: خطوط و Reference Point مربوط به قرقره

 

مدلسازی قرقره به روش دوم

https://www.numland.com/wp-content/uploads/01 Courses/001/1/11/00111105/00111105-V1.mp4

 

وارد کردن قطعه به محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شده و طبق توضیحات نکته 1 درس اول، قطعه را بصورت Independent (mesh on instance) وارد محیط مونتاژ کنید.

تعریف Step:

وارد ماژول Step شوید. با توجه به دو درجه آزادی بودن سیستم، تحلیلی فرکانسی با 2 مقدار ویژه ایجاد کنید.

تعریف فنرها و جرم ها:

به شکل 6 دقت کنید. در اولین نگاه می توان گفت برای مدل سازی جرمها، فنرها و قرقره، بایستی 7 نقطه شامل A تا G ایجاد شوند. تاکنون نقاط A، B و C (نقاط بیانگر قرقره) و ارتباط آن ها با یکدیگر با ایجاد Wire صلب تعریف شد. با کمی دقت متوجه می شوید که نقاط C و E با یکدیگر در جهت Y حرکت خواهند کرد بنابراین تفاوتی ایجاد نمی شود اگر این دو نقطه را روی هم بیاندازیم و جرم m1 را روی نقطه C تعریف کنیم. علاوه بر این با استفاده از روش Connect points to ground در ایجاد فنر که در شکلهای 14 و 15 درس چهارم بیان شد، می توان از ایجاد نقاط G و F که سر متصل به زمین فنرهای k1 و k3 را نشان می دهند چشم پوشی کرد و از روش مذکور برای تعریف این دو فنر استفاده نمود. در این میان وجود نقطه D که مربوط به جرم m2 است برای تعریف فنر k2 الزامی می باشد لذا نمی توان آن را حذف نمود.

 

شکل 6: نقاط مهم سیستم جرم، فنر و قرقره که برخی از آن ها می توانند ایجاد نشوند

 

با توجه به توضیحات فوق، علاوه بر Wire صلب ایجاد شده در ماژول Part تنها کافیست نقطه D را با یک Reference Point تعریف کنیم. بدین منظور وارد ماژول Interaction شده و با کلیک روی آیکون (Create Reference Point) یک Reference Point به مختصات (-6,-8) ایجاد نمایید. در نظر داشته باشید که مانند درسهای قبل، طول فنر که در اینجا 8 in در نظر گرفته شده است تاثیری روی جواب ها نخواهد داشت. به این ترتیب مانند آنچه در شکل 7 مشاهده می شود تعریف نقاط مورد نیاز برای تعریف فنرها، جرم ها و البته خود قرقره تکمیل خواهد شد.

 

شکل 7: تعریف نقاط A تا D برای مدل سازی سیستم حاضر

 

در این مرحله فنرها را ایجاد می کنیم. مانند شکلهای 14 و 15 درس چهارم روی نقطه C، یک فنر متصل به زمین با نام k1 و سختی 5 lb/in در راستای 2 ایجاد کنید. همین روند را برای اتصال نقطه (RP-1) D به زمین با فنری به نام k3 با سختی 3 lb/in در راستای 2 تکرار کنید.

مدلسازی فنر با نام k2 و سختی 2 lb/in بین نقاط B و D را مانند شکلهای 11 و 12 درس اول انجام دهید.

پس از تعریف فنرها به سراغ ایجاد جرم ها می رویم.

 

نکته 1

در صورت سوال، اندازه جرم ها بصورت وزن و بر حسب lb یا pound-force داده شده است که برای استفاده بایستی ابتدا آنها را به واحد جرم در برگیرنده اینچ-پوند-ثانیه محاسبه نماییم. می دانیم روابط زیر بین واحدهای جرم و وزن در سیستم انگلیسی وجود دارد:

w = mg
1 (lbf) = m × 32.174 (ft/s2) = m × 386.088 (in/s2)
m = w/g => m = 1/386.088 (lbf s2/in)

 

با توجه به نکته 1 جرم های m1، m2 و جرم قرقره که به ترتیب 4 lb، 6 lb و 50 lb می باشد بر حسب lb s2/in بصورت زیر بدست خواهند آمد:

m1 = 4 (lbf) >>> m1 = 4/386.088 (lbf s2/in) = 0.01036033 (lbf s2/in)
m2 = 6 (lbf) >>> m2 = 0.0155405 (lbf s2/in)
mpulley = 50 (lbf) >>> mpulley = 0.1295042 (lbf s2/in)

به منظور ایجاد جرم ها، از نوار منو مسیر زیر را اجرا نمایید.

Special > Inertia > Manager

روی نقطه C جرمی با نام m1 و اندازه 0.01036033 و روی نقطه D با نام m2 و مقدار 0.0155405 ایجاد کنید.

 

نکته 2

به منظور تعریف جرم قرقره، باید شعاع ژیراسیون نیز در نظر گرفته شود. برای این کار می توان به دو روش عمل نمود.

1- رسم یک بازو (خط) در هنگام کشیدن Wire صلب از مرکز قرقره و به طولی برابر شعاع ژیراسیون است که جرم قرقره را روی سر دیگر خط اعمال می نماییم.

2- ابتدا از رابطه I = mr2 مقدار ممان اینرسی قرقره حول مرکز را محاسبه نمود و سپس طبق مراحل ایجاد جرم متمرکز، یک Inertia روی مرکز قرقره تعریف کرد ولی به جای وارد کردن جرم در برابر گزینه Isotropic مقدار I بدست آمده را در پنجره Edit Inertia مقابل ممان اینرسی مربوطه لحاظ نمود.

 

در این درس شعاع ژیراسیون قرقره با شعاع قرقره کوچکتر برابر است. بنابراین بر اساس روش اول گفته شده در نکته 2 می توان جرم 50 lb یا 0.1295042 (lbf s2/in) را روی نقطه B که فاصله آن از مرکز قرقره 6 in است اعمال نمود تا تاثیر ممان اینرسی قرقره در نظر گرفته شود. پس جرمی با نام mp و به مقدار 0.1295042 روی نقطه B ایجاد کنید.

تعریف شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. تمام درجات آزادی نقطه A (مرکز قرقره یا همان RP) را بجز راستای UR3 مقید کنید زیرا قرقره تنها می تواند حول محور خود یعنی محور Z دوران کند.

حرکت جرم m1 و جرم قرقره (اعمال شده به نقطه B) وابسته به حرکت قرقره است و نیازی به تعریف شرط مرزی ندارد.

جرم m2 (اعمال شده به نقطه D) را نیز در راستاهای U1 و U3 مقید کنید.

مش بندی قرقره:

وارد ماژول Mesh شوید. برای مش بندی قطعه باید اندازه یا تعداد المان ها را روی هر لبه از هندسه مشخص نماییم و بخاطر صلب بودن قطعه، تعداد المان ها تاثیری روی نتایج نخواهد داشت. روی آیکون (Seed Edges) کلیک کرده و با درگ موس کل قطعه را انتخاب کنید. سپس در نوار اعلان روی دکمه Done کلیک کنید تا پنجره Local Seeds باز شود. گزینه های نشان داده شده در شکل 8 را انتخاب نمایید تا روی هر خط تنها یک المان ایجاد شود. در نهایت نیز روی دکمه OK بزنید تا تغییرات اعمال گردد. مربعهایی به رنگ صورتی روی نقاط قرقره نشان داده می شوند که نشان دهنده محل قرار گیری گره ها (Node) روی آن است.

 

شکل 8: گزینه های انتخابی برای ایجاد 1 المان روی هر خط (لبه)

 

در مرحله بعد روی آیکون (Mesh Part Instance) کلیک کرده و در نوار اعلان روی دکمه Yes کلیک کنید تا قطعه مش بندی شود. همانگونه که در شکل 9 مشاهده می شود، ایجاد 2 المان روی قطعه در ناحیه اعلان به شما گزارش می شود.

 

شکل 9: اعلام ایجاد دو المان روی قرقره

 

هرچند در اینجا تنها یک نوع المان می تواند روی قطعه صلب از نوع Wire ایجاد شود، اما همواره بهتر است از نوع المان اطمینان حاصل کنیم. بدین منظور روی آیکون (Assign Element Type) کلیک کرده و 2 المان ایجاد شده را که به رنگ فیروزه ای درآمده اند انتخاب کنید. روی دکمه Done در قسمت اعلان بزنید تا پنجره Element Type باز شود. به گزینه های نشان داده شده در شکل 10 دقت کنید. از آنجا که حلگر (Solver) ما Standard (روش حل ضمنی در تحلیل مسائل مختلف) است بنابراین کتابخانه المان نیز Standard لحاظ می شود. همچنین معادلات المان خطی بوده و در خانواده Discrete Rigid Element قرار می گیرد. کد RB3D2 مشخص می کند المان مورد نظر از نوع Rigid Beam قابل استفاده در فضای 3 بعدی و دارای 2 گره (Node) می باشد.

 

شکل 10: پنجره Element Type برای تغییر در نوع المان و مشاهده اطلاعات مربوطه

 

روی دکمه OK کلیک کنید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job دلخواه ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. مسئله باید بدون خطا و هشدار حل شود. در نهایت بعد از اتمام تحلیل، دکمه Results را فشار دهید تا به ماژول Visualization منتقل شوید.

بررسی نتایج:

به یکی از روش هایی که در شکل های 35 تا 37 درس اول ارائه شد فرکانسهای طبیعی سیستم را استخراج کنید. مقادیر فرکانس های طبیعی در مودهای 1 و 2 ارتعاشی در شکل 11 نشان داده شده است.

 

شکل 11: فرکانس های طبیعی دو مود ارتعاشی

 

جواب های بدست آمده با تعریف جرم قرقره در فاصله شعاع ژیراسیون از مرکز قرقره بدست آمد. می توان با تعریف ممان اینرسی حاصل از رابطه I = mr2 نیز این مسئله را تحلیل کرد. بنابراین در ادامه، با تغییر مدل یک بار دیگر Job را Submit می کنیم.

تحلیل مسئله با تعریف ممان اینرسی قرقره به جای جرم و شعاع ژیراسیون:

مقدار ممان اینرسی قرقره بصورت زیر محاسبه می شود.

I = mp×r2 = 0.1295042 × 62 = 4.6621512 (lbf in s2)

به ماژول Interaction بروید و از مسیر زیر در نوار منو، پنجره Inertia Manager را باز کنید.

Special > Inertia > Manager

روی گزینه mp که مربوط به تعریف جرم قرقره بود دابل کلیک کرده و مانند شکل 12، در پنجره Edit Inertia ابتدا عدد روبروی Isotropic را پاک کنید. سپس مقدار ممان اینرسی بدست آمده در بالا را روبروی I33 که مربوط به ممان اینرسی حول محور Z یا همان محور قرقره است وارد کنید.

 

شکل 12: تعریف ممان اینرسی قرقره

 

همانطور که می دانید مکان تعریف ممان اینرسی روی نتایج تاثیری ندارد اما به هر حال در اینجا نقطه تعریف ممان اینرسی را از B به A تغییر می دهیم. پس در پنجره Edit Inertia روی آیکون مشخص شده در شکل 13 کلیک کنید.

 

شکل 13: آیکون تغییر ناحیه تعریف Inertia

 

نقطه RP واقع در مرکز قرقره (نقطه A) را انتخاب نموده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. در نهایت نیز با کلیک روی دکمه OK پنجره Edit Inertia را ببندید.

برای تحلیل مسئله، مجدداً به ماژول Job بازگردید و مسئله را تحلیل کنید. همانطور که در شکل 14 نشان داده شده است، پیام هشداری در برگه Warnings به شما داده می شود. این پیام می گوید که در هنگام استفاده از تیر صفحه ای باید ممانهای اینرسی در راستای i و ii تعریف شود. با توجه به اینکه قرقره فقط حول محور Z قابلیت چرخش دارد پس این هشدار بی تاثیر می شود. در مورد راستاهای i و ii در تیرها در درسهای آینده صحبت خواهیم کرد.

 

شکل 14: پیام هشدار ایجاد شده در برگه Warnings

 

دوباره مقادیر فرکانس های طبیعی 2 مود ارتعاشی را بخوانید. همانگونه که مشاهده می کنید این مقادیر هیچ تغییری نکرده اند.

جدول 1 فرکانس های طبیعی بدست آمده از هر دو روش و مقادیر داده شده در مرجع [1] را برای مقایسه ارائه کرده است.

 

جدول 1: فرکانس های طبیعی در 2 مود ارتعاشی

 

مرجع:

[1] William, W. Seto, “Theory and Problems of Mechanical Vibrations,” Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, 1964

دیدگاه شما چیست؟