محاسبه فرکانسهای طبیعی و شکل مودهای سیستم دو درجه آزادی شامل دیسک و فنر پیچشی

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- تعریف گشتاور اینرسی دیسک متمرکز

2- تعریف فنر پیچشی

سیستم دو درجه آزادی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. این سیستم متشکل از دو دیسک متمرکز و دو فنر پیچشی است. هدف، به دست آوردن فرکانسهای طبیعی و شکل مودهای متناظر آنها و مقایسه با نتایج مرجع [1] می باشد. در این سیستم، سختی فنرهای پیچشی یکسان و برابر 15 N.m/rad هستند. همچنین ممان اینرسی قطبی دیسک های 1 و 2 که با J1 و J2 مشخص شده اند به ترتیب 4.4 kg.m2 و 2.2 kg.m2 می باشند.

 

شکل 1: سیستم دو درجه آزادی شامل دو دیسک و دو فنر پیچشی

 

مدلسازی مسئله:

تعریف Step:

مستقیما به ماژول Step رفته و با استفاده از آیکون (Create Step) یک Step از نوع Linear perturbation و Frequency ایجاد نمایید. با توجه به اینکه سیستم حاضر دارای دو درجه آزادی از نوع چرخش حول محور x می باشد، لذا در پنجره باز شده که در شکل 2 نیز نشان داده شده است تعداد مقادیر ویژه درخواستی را 2 عدد وارد کنید.

 

شکل 2: درخواست 2 مقدار ویژه در تحلیل ارتعاشاتی

 

ایجاد نقاط مربوط به جرم های متمرکز و نقاط انتهایی فنرها:

وارد ماژول Interaction شوید. روی آیکون (Create Reference Point) کلیک کنید. همانگونه که در شکل 1 مشاهده می کنید، برای تعریف دیسکها و نقاط انتهایی فنرها، باید 3 نقطه ایجاد شود. لذا با وارد کردن سه مختصات (0,0,0)، (1,0,0) و (2,0,0) در قسمت اعلان و فشردن کلید Enter سه Reference point با نام های RP-1، RP-2 و RP-3 ایجاد کنید. به منظور قرارگیری کامل این نقاط در viewport، روی آیکون (Auto-Fit View) کلیک کنید. شکل 3 این نقاط را در کنار هم نشان می دهد.

 

شکل 3: سه نقطه ایجاد شده برای تعریف جرم ها و نقاط انتهایی فنرها

 

ایجاد فنرهای پیچشی:

برای تعریف فنرهای پیچشی، از نوار منو مسیر زیر را دنبال کرده و فنرهایی از نوع Connect two points ایجاد کنید.

Special > Springs/Dashpots > Create

همانطور که در صورت سوال بیان شد سختی فنرهای k1 و k2 یکسان و برابر 15 N.m/rad است. بنابراین برای ایجاد فنرها، ابتدا نقاط RP-1 و RP-2 و بعد از آن نقاط RP-2 و RP-3 را انتخاب نموده و سپس روی دکمه Done در قسمت اعلان کلیک کنید. با این کار پنجره Edit Springs/Dashpots برای تعریف سختی فنرهای پیچشی باز خواهد شد. نقاط انتخابی باید بصورت شکل 4 باشد. در این پنجره از لیست بازشو Axis، گزینه Specify fixed direction را انتخاب نمایید.

 

شکل 4: انتخاب گزینه Specify fixed direction برای تعریف فنرهای پیچشی

 

پس از انتخاب گزینه ذکر شده، در ساختار قسمت پایینی این پنجره تغییراتی رخ خواهد داد. درجه آزادی مربوط به نقاط ابتدا و انتهای فنرها را مانند شکل 5 روی درجه آزادی شماره 4 قرار دهید. مقدار ضریب سختی فنر را نیز 15 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک نمایید.

 

شکل 5: تعریف فنر پیچشی با درجه آزادی چرخش حول محور X (UR1)

 

نکته 1

در حالت کلی، هر نقطه در فضای سه بعدی دارای 6 درجه آزادی است. در نرم افزار Abaqus به هر یک از درجات آزادی، یک عدد از 1 تا 6 نسبت داده می شود. در شکل (الف) عدد متناظر هر درجه آزادی آورده شده است. بطور مثال عدد درجه آزادی چرخش حول محور X که با نماد UR1 نشان داده می شود، عدد 4 می باشد.

 

شکل الف: شماره و نام هر یک از درجات آزادی

 

ایجاد جرم های متمرکز:

برای مدلسازی دیسک ها (تعریف ممان های اینرسی قطبی)، از نوار منو مسیر زیر را دنبال کنید.

Special > Inertia > Create

در پنجره باز شده در حالی که گزینه Point mass/inertia انتخاب شده است روی دکمه Continue کلیک کنید. حال در Viewport نقطه RP-2 را به عنوان جرم J1 انتخاب کنید. در این مرحله می توانید آیتم Create set در قسمت اعلان را غیر فعال کنید تا Set اضافه ای در مدل ایجاد نشود. پس از آن دکمه Done را بفشارید تا پنجره Edit Inertia برای دریافت اطلاعات ممان اینرسی دیسک مذکور باز شود. مقدار I11 (ممان اینرسی حول محور X) را مطابق شکل 6 عدد 4.4 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 6: وارد کردن ممان اینرسی قطبی دیسک اول

 

در مرحله دوم با تکرار فرآیند فوق ممان اینرسی I11 به مقدار 2.2 روی نقطه RP-3 تعریف نمایید.

تعریف شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کرده و در پنجره باز شده گزینه های مشخص شده در شکل 7 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 7: پنجره ایجاد شرط مرزی برای مقید کردن نقاط سیستم

 

توجه داشته باشید چون فنرهای مورد نظر فقط به RP ها متصل هستند و به جای دیگری متصل نیستند در نتیجه نقاط اتصال آنها فقط در راستای عملکرد آنها دارای درجه آزادی است. لذا کافی است تکیه گاه مذکور را تنها حول محور X مقید نماییم. پس در Viewport نقطعه RP-1 را انتخاب کرده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. سپس در پنجره باز شده، مانند شکل 8، گزینه مربوط به درجه آزادی UR1 را به منظور مقید شدن فعال کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 8: مقید کردن درجه آزادی چرخشی حول محور X

 

با توجه به شرایط مسئله، هر دو دیسک آزادند تنها حول محور X چرخش داشته باشند. اما از آنجا که روی RP-2 و RP-3 جرم متمرکزی تعریف نشده است، لذا این نقاط در هیچ جهتی جابجایی نخواهند داشت. علاوه بر این هیچ ممان اینرسیی حول محورهای Y و Z برای دیسک ها منظور نشده است، لذا وجود چرخش حول این محورها نیز بی معنا خواهد بود. بنابراین می توان گفت نیازی نیست هیچ قید اضافه ای روی نقاط RP-2 و RP-3 تعریف کنیم و BC-1 ایجاد شده در مرحله قبل برای مقید سازی کل سیستم کافی می باشد.

در این مرحله، مدل را از طریق فرآیندی که در شکل های 19 تا 22 درس اول بیان شد، در یک پوشه با نام Disk-Torsional Spring ذخیره کنید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام تحلیل، به منظور مشاهده نتایج، روی دکمه Results کلیک کنید تا به ماژول Visualization بروید. روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید تا اولین شکل مود سیستم را مشاهده کنید. همانگونه که در شکل 9 نیز نشان داده شده است مطابق انتظار ما تمامی مقادیر جابجایی ها (U) برابر 0 است.

 

شکل 9: جابجایی صفر نقاط سیستم

 

البته هدف از حل این مسئله بررسی چرخش ها حول محور X بود، بنابراین لازم است خروجی های درخواستی از نرم افزار را مطابق شکل 10 از نوار ابزار Field Output به UR و UR1 تغییر دهیم.

 

شکل 10: انتخاب خروجی UR1 از جعبه ابزار Field Output

 

نکته 2

در صورتی که نوار ابزار Field Output یا هر نوار ابزار دیگری در صفحه کاری نرم افزار وجود نداشت، می توانید از نوار منو، مسیر نشان داده شده در شکل (الف) را اجرا کرده و نوار ابزار مورد نظر را فعال نمایید.

 

شکل الف: فعال سازی نوارهای ابزار

 

با استفاده از روش هایی که در شکل های 35 تا 37 درس اول توضیح داده شد می توانید نسبت به استخراج نتایجی نظیر فرکانس های طبیعی و شکل مودها اقدام کنید. همچنین برای بررسی نسبی چرخش ها در دو مود اول و دوم، ابتدا روی دکمه (Create Data) کلیک کرده و از پنجره باز شده گزینه مشخص شده در شکل 11 را انتخاب نمایید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 11: گزینه مربوط به استخراج خروجی های میدانی

 

در پنجره باز شده، از قسمت Position مانند شکل 12 گزینه Unique Nodal را انتخاب نمایید.

 

شکل 12: انتخاب گزینه Unique Nodal از لیست بازشو

 

سپس مانند شکل 13، درجه آزادی UR1 را به عنوان خروجی فعال کنید. سپس به برگه Elements/Nodes مراجعه نمایید.

 

شکل 13: انتخاب خروجی UR1

 

در برگه Elements/Nodes، مطابق شکل 14، روی دکمه Edit Selection کلیک کرده و در Viewport گره بین دو فنر را که مربوط به دیسک اول است انتخاب نمایید.

 

شکل 14: دکمه Edit Selection برای انتخاب نقاط مورد بررسی

 

پس از کلیک روی دکمه Done در قسمت اعلان، همانطور که در شکل 15 نیز مشاهده می شود، این نقطه به لیست پنجره اضافه می شود. حال روی دکمه Plot در همین پنجره کلیک کنید تا تغییرات UR1 مربوط به این نقطه در دو مود ارتعاشی روی نمودار رسم شود.

 

شکل 15: اضافه شدن گره مربوط به دیسک اول به لیست پنجره

 

حال روی دکمه (XY Data Manager) کلیک کنید و از پنجره باز شده مطابق شکل 16 گزینه Edit را انتخاب نمایید.

 

شکل 16: پنجره XY Data Manager برای مشاهده خروجیهای عددی

 

به این ترتیب پنجره نسبت چرخش های UR1 در دو مود ارتعاشی برای دیسک اول مانند شکل 17 ارائه می شود.

 

شکل 17: نسبت چرخش های UR1 مربوط به دیسک J1

 

همین فرآیند را برای نقطه مربوط به دیسک دوم نیز انجام دهید تا نسبت جابجایی ها در دو مود ارتعاشی این نقطه نیز مانند شکل 18 بدست آید.

 

شکل 18: نسبت چرخش های UR1 مربوط به دیسک J2

 

می توانید جهت بررسی گرافیکی، این اعداد را روی نمودار مانند شکل های 19 و 20 رسم کنید که به ترتیب مربوط به مودهای اول و دوم می باشند.

 

شکل 19: نمودار نسبت UR1 دو دیسک در مود اول ارتعاشی

 

شکل 20: نمودار نسبت UR1 دو دیسک در مود دوم ارتعاشی

 

مقایسه خروجی های بدست آمده از نرم افزار با نتایج حاصل از مرجع [1]:

نتایج حاصل از نرم افزار و نتایج ارائه شده در مرجع [1] به منظور صحه گذاری در جدول 1 ارائه شده است. همانگونه که می بینید نتایج حاصل از نرم افزار با نتایج مرجع [1] کاملاً منطبق می باشد.

 

جدول 1: مقایسه نتایج بدست آمده از نرم افزار و مرجع [1]

 

مرجع:

Thomson, W. T., “Theory of Vibration with Applications,” Springer., 4th Edition., Reprinting, 1993, p. 159.

دیدگاه شما چیست؟