محاسبه فرکانس طبیعی و شکل مود سیستم یک درجه آزادی دارای قرقره و ریسمان

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- مدلسازی کابل

2- مدلسازی قرقره

3- تعریف فنر خطی متصل به زمین

سیستم یک درجه آزادی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. جرم قرقره ها ناچیز بوده و کابل غیر قابل انبساط است. هدف، به دست آوردن فرکانس طبیعی و شکل مود سیستم و مقایسه آنها با نتایج مرجع [1] می باشد.

 

شکل 1: سیستم یک درجه آزادی جرم و فنر شامل ریسمان و قرقره

 

مدلسازی مسئله:

تعریف Step:

وارد ماژول Step شده و تحلیلی فرکانسی با 1 مقدار ویژه ایجاد کنید.

مدل سازی قرقره ها و کابل:

وارد ماژول Interaction شوید. به منظور مدل سازی کابل و قرقره، از نوعی کانکتور به نام Slip Ring استفاده می شود.

 

نکته 1

المانهای کانکتور، المانهای بدون مش هستند که برای ایجاد اتصال مکانیکی بین دو نقطه مورد استفاده قرار می گیرند. بعنوان مثال، فنرهای غیر خطی، اجزای مختلف کمربند ایمنی، تسمه نقاله، لولای درب، کابل و… با استفاده از کانکتورها مدلسازی می شوند. هر کانکتور متشکل از یک wire می باشد که وابسته به تراز Assembly است و نوع آن با wire موجود در ماژول Part متفاوت است زیرا wire موجود در ماژول Part قابل مش بندی است اما این نوع wire قابلیت مش بندی را ندارد. مانند wire موجود در ماژول Part، باید به این wire نیز یک Section اختصاص داد که در این Section، نوع کانکتور و محورهای مختصات محلی آن و در صورت نیاز، خواص آن باید تعریف شود.

 

در فرآیند مدل سازی، ابتدا مسیر عبور کابل توسط Reference Point ها تعریف و پس از آن این نقاط با کانکتور Slip Ring به یکدیگر متصل می شوند. بخاطر صلب بودن قرقره ها، در اولین نگاه، RP های مربوط به کابل می تواند مانند نقاط قرمز رنگ شکل 2 در نظر گرفته شود.

 

شکل 2: نقاط عبور کابل

 

اما درصورتی که بیشتر به هندسه مسئله دقت کنید، متوجه می شوید که قطر قرقره ها هیچ تاثیری روی نسبت حرکت جرم و جابجایی فنرها نخواهد داشت. پس می توان از فاصله افقی بین نقاط روی قرقره ها صرفنظر کرد و RP ها را مشابه شکل 3 در یک راستا در مدل ایجاد نمود.

 

شکل 3: ایجاد RP ها در یک راستا با توجه به عدم تاثیر فواصل افقی در جواب مسئله

 

همچنین چون کابل بدون جرم است، فاصله عمودی RP ها نیز در تعریف مسئله اهمیتی نخواهد داشت. لذا بر اساس مسیری که کابل طی می کند، چهار RP به مختصات (0,0)، (0,-1)، (0,-0.5) و (0,-1.2)، که به ترتیب مربوط به نقطه شروع کابل، قرقره B، قرقره A و جرم m (نقطه انتهای کابل) هستند، ایجاد می کنیم. شکل 4 این نقاط را در Viewport نمایش می دهد.

 

شکل 4: چهار نقطه تعریف شده برای مدل سازی کابل

 

در مرحله بعد می توان کانکتورهای Slip Ring را روی این نقاط تعریف نمود. بدین منظور ابتدا یک Section از این نوع کانکتور ایجاد می کنیم. روی آیکون (Create Connector Section) کلیک کرده و مانند شکل 5، در پنجره باز شده از لیست باز شو گزینه Slip Ring را انتخاب نمایید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 5: انتخاب گزینه Slip Ring از لیست بازشو

 

نکته 2

در این پنجره مانند شکل (الف)، در قسمت Available CORM عبارت U1 نوشته شده است یعنی فقط درجه آزادی نسبی U1 برای آن فعال است. در قسمت Constrained CORM عبارت None نوشته شده است یعنی درجات آزادی دیگری ندارد. ‬‬

 

شکل الف: گزینه های موجود در Connector از نوع Slip Ring

 

برای مشاهده شکل کانکتور، روی آیکون (Show diagram) کلیک کنید. شکل (ب)، نمایانگر شکل کانکتور از نوع Slip Ring می باشد که نقطه a را به نقطه b متصل می کند. همچنین مشاهده می کنید که در این اتصال، از شعاع قرقره صرف نظر شده است.

 

شکل ب: نمای کانکتور از نوع Slip Ring

 

α زاویه بین دو قسمت کابل عبوری از نقطه b می باشد و هنگامی که بین قرقره و کابل اصطکاکی وجود نداشته باشد مقدار آن در تحلیل بی تاثیر است.

 

در پنجره باز شده روی آیکون (Add) کلیک کرده و گزینه Elasticity را انتخاب کنید. گزینه های مشخص شده در شکل 6 را انتخاب نموده و در قسمت D11 عدد 1e9 را که معادل 109 است وارد کنید. این عدد سختی کابل است و واحد آن نیرو بر واحد طول (در اینجا N/m) می باشد. این عدد را بزرگ در نظر گرفته ایم تا تغییر طول کابل ناچیز شود و در نتایج تحلیل تاثیری نداشته باشد. توجه داشته باشید که رابطه نیرو-جابجایی کابل بصورت خطی (Linear) در نظر گرفته شده است. ‬‬‬‬

 

شکل 6: گزینه های انتخاب شده برای تعریف سختی کابل

 

در برگه Section Data، گزینه های مشخص شده در شکل 7 را کامل کنید. گزینه Mass per unit reference length جرم بر واحد طول کابل است. البته این پارامتر در مسائل ارتعاشاتی در نظر گرفته نخواهد شد و مقدار آن فرقی در جواب ایجاد نمی کند. گزینه Contact angle around node b همان زاویه α است که به دلیل عدم وجود اصطکاک بین قرقره و کابل، تاثیری در نتایج ندارد و ما زاویه 1 رادیان را در نظر گرفته ایم. نکته اینکه این زاویه بر حسب رادیان است و در نرم افزار به اشتباه واحد آن درجه نشان داده شده است.

 

شکل 7: تعریف زاویه تماس و جرم بر واحد طول کابل در برگه Section Data

 

روی دکمه OK کلیک کنید. برای ایجاد کانکتور، نیاز به ایجاد wire بین دو نقطه داریم. برای ایجاد wire، روی آیکون (Connector Builder) کلیک کنید. در نوار اعلان پیامی مبنی بر انتخاب اولین نقطه کانکتور به شما داده می شود. نقطه RP-1 را انتخاب کنید. پس از انتخاب اولین نقطه، در نوار اعلان پیام انتخاب دومین نقطه نیز داده می شود. نقطه RP-2 را انتخاب کنید. به این ترتیب، پنجره Connector Builder باز می شود. در هنگام تعریف کانکتور ها دقت کنید که نقاط را به همان ترتیب که کابل از آن ها عبور کرده است انتخاب کنید. برای درک بهتر این موضوع، به ترتیب نشان داده شده در شکل 8 توجه کنید.

 

شکل 8: ایجاد سه کانکتور از نوع Slip Ring روی نقاط RP-1 تا RP-4

 

اکنون در حالی که در پنجره Connector Builder، گزینه های نشان داده شده در شکل 9 انتخاب شده است روی دکمه OK/Repeat کلیک کنید تا دستور ایجاد Connector Builder مجدداً اجرا شود.

 

شکل 9: گزینه های انتخاب شده در پنجره Connector Builder

 

برای ایجاد کانکتور دوم، ابتدا نقطه RP-2 و سپس RP-3 را انتخاب کنید و این کانکتور را نیز ایجاد کنید. به همین ترتیب ابتدا RP-3 و سپس RP-4 را نیز انتخاب کنید تا سومین کانکتور نیز ایجاد شود. در پنجره سومین کانکتور روی دکمه OK کلیک کنید تا دستور ایجاد کانکتور متوقف شود.

تعریف جریان مواد در کابل:

وارد ماژول Load شوید. به منظور تکمیل فرآیند مدل سازی کابل، بایستی جریان مواد کابل (Material Flow) را نیز تعریف نماییم. همانگونه که در شکل 10 مشاهده می شود، برای تعریف این مورد بایستی نقاط متناظر ابتدا و انتهای کابل را انتخاب کنیم. این دستور به نرم افزار می فهماند که کابل از کدام نقطه شروع می شود و پس از عبور از روی کدام نقاط به نقطه انتها می رسد.

 

شکل 10: شماتیک ایجاد جریان مواد مربوط به کابل

 

روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه های نشان داده شده در شکل 11 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک نمایید.

 

شکل 11: گزینه های تعریف جریان مواد کابل

 

اکنون در نوار اعلان از شما خواسته می شودکه نواحی مربوطه را انتخاب کنید. لذا با نگه داشتن دکمه Shift صفحه کلید و کلیک موس، نقاط RP-1 و RP-4 را انتخاب کرده و روی دکمه Done کلیک کنید. همانطور که در شکل 12 نشان داده شده است، مقدار جریان در نقاط انتخاب شده صفر در نظر گرفته می شود و به این معنی است که کابل به این نقاط ختم می شود.

 

شکل 12: تعریف جریان صفر کابل در نقاط انتخاب شده

 

درنهایت پنجره Edit Boundary Condition را با کلیک روی دکمه OK تایید نمایید. توجه داشته باشید که تعریف جریان مواد کابل را هنگام اعمال شرایط مرزی مسئله نیز می توانستیم انجام دهیم، اما در این مثال برای درک بهتر فرآیند مدل سازی کابل، جریان مواد را بلافاصله بعد از ایجاد کانکتورها تعریف کردیم.

تعریف جرم:

به ماژول Interaction برگردید و با استفاده از گزینه Special > Inertia > Create در نوار منو، یک جرم متمرکز 3 کیلوگرمی، با نام m روی RP-4 ایجاد کنید. در هنگام انتخاب نقطه مذکور می توانید گزینه ایجاد Set در نوار اعلان را غیر فعال کنید تا از ایجاد اطلاعات اضافه در مدل جلوگیری شود.

تعریف فنرها:

در این مثال فنرها از نوع Connect points to ground در نظر گرفته خواهند شد، چرا که هر دو فنر موجود در سیستم، از یک سمت به زمین و از سمت دیگر به یک نقطه متحرک متصل است. چون دو عدد فنر در مدل وجود دارد پس بهتر است فنرها را از پنجره مدیریت آنها ایجاد کنیم. از نوار منو، مسیر زیر را اجرا کنید.

Special > Springs/Dashpots > Manager

در پنجره باز شده مطابق شکل 13 روی دکمه Create کلیک کنید.

 

شکل 13: پنجره ایجاد و مدیریت فنرها

 

سپس مانند شکل 14، در پنجره Create Springs/Dashpots گزینه Connect points to ground (Standard) را انتخاب کنید و نام فنر را نیز ka در نظر بگیرید. روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 14: گزینه ایجاد فنر متصل به زمین

 

حال با توجه به نوار اعلان، نقطه RP-3 را انتخاب کرده و روی دکمه Done کلیک کنید. در پنجره باز شده مقدار سختی فنر را طبق صورت مسئله 100 لحاظ کنید. مانند شکل 15، درجه آزادی فنر را از لیست باز شو روی 2 تنظیم کنید که متناظر با جابجایی در راستای Y می باشد. به منظور شناخت اعداد 1 تا 6 این لیست، می توانید به نکته 1 درس سوم مراجعه نمایید. روی دکمه OK کلیک کنید تا فنر متصل به زمین در این نقطه ایجاد شود.

 

شکل 15: گزینه های مربوط به فنر ka

 

با تکرار فرآیند فوق یک فنر متصل به زمین با نام kb و سختی 150، روی نقطه RP-2 ایجاد نمایید. پس از انجام اینکار، باید در پنجره Springs/Dashpots Manager دو فنر مشابه شکل 16 لیست شده باشد.

 

شکل 16: پنجره Springs/Dashpots Manager و فنرهای ایجاد شده

 

همانطور که در شکل 17 ملاحظه می شود، به دلیل روی هم افتادن نقاط و کانکتور ها، ممکن است درک مدل سخت باشد. لذا بهتر است قبل از اعمال شرایط مرزی روی مدل، فرآیند مدل سازی هندسه مسئله را مرور کنیم.

 

شکل 17: مدل ایجاد شده شامل کانکتورهای Slip Ring، جرم m و فنرها

 

شکل 18 مراحل ایجاد مدل را از چپ به راست نشان می دهد. همانگونه که مشاهده می شود، ابتدا Reference Point ها در راستای Y ایجاد شد و پس از آن کانکتورهای Slip Ring روی آنها تعریف گشت. پس از آن، جریان مواد کابل با انتخاب دو نقطه متناظر با ابتدا و انتهای کابل مشخص شد. در نهایت نیز جرم و فنرها روی نقاط متناظر قرار گرفتند.

 

شکل 18: مراحل ایجاد مدل

 

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. با استفاده از آیکون (Create Boundary Condition)، درجه آزادی U2 نقطه RP-1 را که سر ثابت کابل است در Initial Step مقید نمایید. در مرحله بعد درجات آزادی U1 و U3 جرم m که روی نقطه RP-4 قرار دارد را نیز در Initial Step مهار کنید. در واقع با این کار به جرم m این اجازه داده می شود که تنها در جهت Y حرکت نماید. در نظر داشته باشید که چون روی نقاط RP-2 و RP-3 جرمی وجود ندارد، در تحلیل ارتعاشاتی نیازی به مقید کردن آن ها نیست.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید. یک Job دلخواه ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. مسئله بایستی بدون خطا و هشدار حل شود. در نهایت بعد از اتمام کار دکمه Results را فشار دهید تا به ماژول Visualization منتقل شوید. همانگونه که ملاحظه می کنید هیچ یک از آیتم هایی که در مدل ایجاد کردیم در Viewport نشان داده نمی شود. برای حل این مشکل، گزینه نشان داده شده در شکل 19 را از نوار منو انتخاب نمایید.

 

شکل 19: گزینه ODB Display Options برای نمایش کانکتورها

 

سپس در برگه Entity Display گزینه های مشخص شده در شکل 20 را انتخاب کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 20: فعال سازی نمایش کانکتورها، جرم ها و فنرها

 

به منظور نمایش کامل سیستم، ابتدا در صفحه XY قرار بگیرید. بدین منظور از جعبه ابزار Views روی آیکون (Apply Front View) کلیک کنید. لازم به ذکر است که در صورت عدم نمایش این جعبه ابزار و دیگر ابزارها می توانید از مسیر زیر، پنجره Customize را باز کنید.

Tools > Customize

سپس مانند شکل 21 گزینه Views را فعال نمایید.

 

شکل 21: فعال سازی نوار ابزار Views

 

بررسی نتایج:

روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید تا مود ارتعاشی سیستم به نمایش درآید. همانطور که مشاهد می کنید بسامد مود اول 0.35588 هرتز و مقدار ویژه آن 2) برابر 5 بدست آمده است. مقدار ویژه گزارش شده در مرجع [1] نیز بصورت زیر داده شده است.

پس از جایگذاری مقادیر پارامترها، به مقدار ویژه 5 خواهید رسید که بیانگر انطباق نتیجه حاصل از تحلیل نرم افزار با جواب تحلیلی می باشد. با استفاده از روشی که در شکل های 38 تا 44 درس اول گفته شد، مقدار نرمال شده جابجایی در جهت (U2) Y نقاط RP-2، RP-3 و RP-4 را استخراج کنید. این مقادیر در جدول 1 آورده شده است.

 

جدول 1: مقادیر نرمال شده جابجایی U2

 

در شکل 22، مود ارتعاشی سیستم با توجه به مقادیر جدول 1 نشان داده شده است.

 

شکل 22: مود ارتعاشی سیستم

 

برای بررسی صحت مقادیر نرمال شده جابجایی، بدین صورت عمل می کنیم. فرض کنید که جابجایی قرقره های A و B را مانند شکل 23 بترتیب با xa و xb نشان دهیم. اگر قرقره B ثابت باشد x = 2xa و اگر قرقره A ثابت باشد x = 2xb خواهد بود ولی از آنجایی که هیچ یک از قرقره های A و B ثابت نیستند در نتیجه بر اساس قضیه جمع آثار، به رابطه زیر می رسیم.

x = 2 (xa+xb)

 

شکل 23: مختصات تعریف شده برای جابجایی قرقره های A و B

 

با جایگذاری مقادیر جابجایی های نرمال شده که همه آن ها در خلاف جهت مختصات در نظر گرفته شده در شکل 23 حرکت کرده اند به رابطه زیر می رسیم.

x = 2 (-0.3Δ+ (-0.2Δ)) = -Δ

در نتیجه صحت مدل سازی یکبار دیگر تائید می شود.

مرجع:

[1] William, W. Seto, “Theory and Problems of Mechanical Vibrations,” Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, 1964

دیدگاه شما چیست؟