تحلیل استاتیکی خرپای دو بعدی نامعین (مدلسازی پیش تنش ناشی از خطای ساخت عضو-روش دوم)

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- رفع هشدارهای تحلیل درس دوم

خرپای دوبعدی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. این خرپا متشکل از 9 عضو است. دو عضو BF و CE و همچنین اعضای AE و BD بدون اینکه یکدیگر را قطع کنند از روی هم عبور کرده اند یعنی هر یک از این اعضا فقط شامل یک المان هستند. نقاط A و D در یک دیوار عمودی قرار دارند در نتیجه امکان جابه جایی در هیچ راستایی را ندارند. نقطه B تکیه گاه غلتکی است. عضو CF در اثر خطای ساخت به اندازه 0.1 in کوتاه تر از 100 in (یا همان طول 99.9 in) است در نتیجه ابتدا آن را بین نقاط F و C جاسازی می کنیم که در نتیجه این کار، پیش تنشی در سازه ایجاد می شود. نیروی عمودی P به نقطه F اعمال شده است. نقطه تکیه گاهی B به اندازه 0.05 in به سمت پایین کشیده می شود و در همان نقطه نگهداشته می شود. کل سازه به اندازه 50 oF گرم می شود در نتیجه تنشهای حرارتی در آن ایجاد می شود. هدف، به دست آوردن میزان تنش در عضو CF و نیروی تکیه گاهی RB و مقایسه آنها با نتایج مرجع [1] می باشد. طول اعضا بر حسب اینچ و جنس آنها از فولاد با مدول الاستیسیته 30×106 psi و ضریب انبساط حرارتی و سطح مقطع 3.33333 in2 است.

شکل 1: خرپای 9 عضوی از نظر استاتیکی نامعین

تحلیل مسئله:

کانکتور دیگری به نام Axial وجود دارد که مانند کانکتور Translator می توان عضو CF را تحت کشش قرار داد. اما چرا از این کانکتور استفاده نکردیم؟ در ادامه به نحوه ایجاد آن و دلیل عدم استفاده از آن می پردازیم. ابتدا مانند شکل 2، از طریق نوار منو یک کپی از مدل 2D truss (درس دوم) ایجاد کرده و نام آن را 2D truss-Axial وارد کنید.

 

شکل 2: نحوه ایجاد کپی از مدل 2D truss

 

به این ترتیب، مدل مورد نظر مانند شکل 3 در قسمت Models درخت مدل به عنوان مدل فعال انتخاب می شود. برای مشاهده بهتر مدل در درخت مدل، مانند شکل 3 روی علامت در کنار مدل 2D truss کلیک کنید تا زیرشاخه های آن بسته شود. روی علامت در کنار مدل 2D truss-Axial کلیک کنید تا زیرشاخه های آن باز شود.

 

شکل 3: مدل 2D truss-Axial بعنوان مدل فعال قرار می گیرد

 

وارد ماژول Interaction شوید. روی آیکون (Create Connector Section) کلیک کنید. مانند شکل 4، در پنجره باز شده ابتدا گزینه Basic را انتخاب کنید تا گزینه های آن فعال شوند. سپس از لیست باز شو Translational type گزینه Axial را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 4: انتخاب گزینه Axial از لیست بازشو Translational type

 

نکته 1

در پنجره شکل (الف)، در قسمت Available CORM عبارت U1 نوشته شده است یعنی فقط درجه آزادی نسبی U1 در آن عمل می کند. در قسمت Constrained CORM عبارت None نوشته شده است یعنی سایر درجات آزادی نسبی، آزاد می باشند. ‬‬

 

شکل الف: گزینه های موجود در Connector از نوع Axial

 

برای مشاهده شکل کانکتور، روی آیکون (Show diagram) کلیک کنید. شکل (ب)، نمایانگر شکل کانکتور از نوع Axial می باشد.

 

شکل ب: نمای کانکتور از نوع Axial

 

مانند کانکتور Translator، در اینجا هم نیازی به تعریف خواص کانکتور نیست زیرا هدف ما از ایجاد آن، اعمال جابجایی نسبی به دو گره در خلاف جهت هم می باشد در نتیجه در پنجره Edit Connector Section فقط روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب، یک Section از نوع Axial ایجاد می شود. برای تعویض کانکتور Axial با کانکتور Translator، روی آیکون مشخص شده در شکل 5 کلیک کنید.

 

شکل 5: آیکون Connector Assignment Manager برای تعویض کانکتور Axial با Translator

 

مانند شکل 6، Section نشان داده شده را انتخاب کرده و روی دکمه Edit کلیک کنید.

 

شکل 6: انتخاب Section دارای کانکتور از نوع Translator

 

مانند شکل 7 در پنجره باز شده، Section حاوی کانکتور Axial (در اینجا با نام ConnSect-2) را انتخاب کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب، کانکتور تعریف شده بین نقاط F و F’ از Translator به Axial تغییر می کند.

 

شکل 7: انتخاب کانکتور Axial بجای کانکتور Translator

 

برای تحلیل مسئله وارد ماژول Job شوید. روی آیکون (Create Job) کلیک کنید. مانند شکل 8، در پنجره باز شده نام تحلیل را truss2d-axial وارد کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. توجه داشته باشید که مدل با نام 2D truss-Axial انتخاب شده است.

 

شکل 8: نام گذاری Job برای مدل 2D truss-Axial

 

در پنجره Edit Job روی دکمه OK کلیک کرده و سپس مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام تحلیل، چنانچه در پنجره Job Manager روی دکمه Monitor کلیک کنید، پنجره مربوط به آن باز می شود. هشدارهای موجود در برگه Warning در شکل 9 نشان داده شده است. همانطور که می بینید خبری از هشدار pivot که در کانکتور Translator وجود داشت در این قسمت نیست. پس تا اینجای کار، استفاده از این کانکتور در حل مسئله بهبود ایجاد کرده است. باید نتایج را هم مورد بررسی قرار دهیم.

 

شکل 9: عدم وجود هشدار pivot در حالت استفاده از کانکتور Axial

 

ابتدا مقادیر عددی تنش عضو CF و نیروی تکیه گاه B را به روشی که در شکل های 64 تا 68 درس دوم بیان شد بدست آورید. این مقادیر در شکل 10 نشان داده شده است.

 

شکل 10: مقادیر تنش در عضو CF (شکل سمت راست) و مقادیر نیروی تکیه گاه B (شکل سمت چپ)

 

همانطور که مشاهده می کنید مقادیر تنش و نیرو با مقادیر حاصل از کانکتور Translator برابر است. پس به سراغ جابجایی ها می رویم. جابجایی گره های F و F’ را مانند روش بیان شده در شکل های 50 تا 63 درس دوم بدست آورید. نمودار جابجایی های دو نقطه در شکل 11 نشان داده شده است.

 

شکل 11: نمودار جابجایی های دو گره F و F’

 

همانطور که از نمودارها مشخص است، جابجایی U1 گره های F و F’ با هم برابر نشده است. مقادیر عددی جابجایی U1 گره های F و F’ در شکل 12 نشان داده شده است.

 

شکل 12: مقادیر جابجایی U1 در گره F (شکل سمت راست) و مقادیر جابجایی U1 در گره F’ (شکل سمت چپ)

 

همانطور که مشاهده می کنید، گره F’ در راستای افقی هیچگونه حرکتی نکرده است و این نشان دهنده این است که دو گره بر هم منطبق نیستند. مقادیر عددی جابجایی U2 گره های F و F’ در شکل 13 نشان داده شده است.

 

شکل 13: مقادیر جابجایی U2 در گره F (شکل سمت راست) و مقادیر جابجایی U2 در گره F’ (شکل سمت چپ)

 

با اینکه مجموع قدرمطلق جابجایی قائم دو گره در Step-1 برابر 0.1 in است و در Step-2 نیز جابجایی ها برابر هستند اما در جابجایی U1 گره ها ایراد وجود دارد. نتیجه ای که حاصل می شود این است که بین جابجایی های U1 گره F و F’ نیز باید یک قید ایجاد کنیم. با استفاده از دستور equation می توان به هدف فوق رسید. برای این منظور وارد ماژول Interaction شوید. توسط ابزار بزرگ نمایی، دو نقطه F و F’ را در ناحیه دید قرار دهید. روی آیکون (Create Constraint) کلیک کنید. مانند شکل 14، در پنجره باز شده گزینه نشان داده شده را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 14: انتخاب گزینه Equation برای ایجاد قید بین دو نقطه F و F’

 

همانطور که در شکل 15 نشان داده شده است ایجاد Equation بین نقاط، نیازمند تعریف Set می باشد و بدون آن نمی توان از این دستور استفاده کرد.

 

شکل 15: استفاده از دستور Equation نیازمند وجود Set است

 

به همین منظور ابتدا دو Set از نقاط مورد نظر ایجاد کرده و سپس از این دستور استفاده می کنیم. برای ایجاد Set، از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Tools > Set > Create

مانند شکل 16، پنجره باز شده را کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 16: انتخاب گزینه های مورد نیاز برای تعریف Set مربوط به نقطه F

 

همان طور که در شکل 17 نشان داده شده است، نقطه F را انتخاب کرده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید تا Set مورد نظر ایجاد شود.

 

شکل 17: انتخاب نقطه F برای ایجاد یک Set از آن

 

روند بالا را تکرار کرده و یک Set دیگر با نام F’ point حاوی نقطه F’ ایجاد کنید. اکنون می توانیم دستور Equation را به کار ببریم. روند ایجاد دستور Equation را مانند قبل تکرار کرده تا به پنجره Edit Constraint برسید. مانند شکل 18، پنجره مورد نظر را کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 18: گزینه های مورد نیاز برای اعمال قید Equation بین نقاط F و F’

 

نکته 2

فرض کنید مدلی شامل تعداد زیادی گره داریم. از تمام گره ها، 4 گره را مانند شکل (الف) انتخاب کرده ایم. ‬‬‬‬‬‬‬‬

 

شکل الف: شماره هر گره به همراه درجه آزادی ای که باید مقید شود

 

هدف این است که بنا به هر دلیلی، رابطه زیر که یک رابطه خطی است بین درجات آزادی مشخص شده برای هر گره اعمال شود.

5×U21 – 3×UR323 + 1000×U312 – U284 = 0

این رابطه، از طریق قید Equation و بصورت شکل (ب) تعریف می شود. توجه کنید که از هر گره، یک Set با شماره همان گره ایجاد کرده ایم.

 

شکل ب: نحوه تعریف رابطه فوق در پنجره Edit Constraint از نوع Equation

 

برای استفاده از دستور Equation موارد زیر را به خاطر بسپارید:

رابطه بین جابجایی ها باید رابطه ای خطی باشد.

تمام معادله باید در یک طرف تساوی نوشته شده باشد.

شماره درجه آزادی، شماره ای بین 1 تا 6 است که برای مطالعه بیشتر می توانید به نکته 11 در درس دوم مراجعه کنید. ‬‬‬‬‬‬‬‬

اولین Set می تواند شامل یک یا چند نقطه (یا گره) باشد اما Set دوم به بعد باید فقط شامل یک نقطه (یا گره) باشد در غیر اینصورت در هنگام تحلیل با پیام خطای شکل (پ) روبرو خواهید شد.

 

شکل پ: خطای حاصل از تعریف دو نقطه (گره) در Set دوم قید Equation

 

برای اطلاعات بیشتر میتوانید روی آیکون (Tip) کلیک کنید. پنجره آن در شکل (ت) نشان داده شده است. ‬‬‬‬

 

شکل ت: توضیحات کامل برای استفاده از دستور Equation

 

به این ترتیب، بین جابجایی U1 گره F و جابجایی U1 گره F’ قید تساوی برقرار می شود. برای تحلیل مسئله با شرایط جدید وارد ماژول Job شوید. اگر پنجره Job Manager بسته شده است روی آیکون (Job Manager) کلیک کنید. در پنجره Job Manager روی Job با نام truss2d-axial کلیک کرده و روی دکمه Submit کلیک کنید. چنانچه پنجره ای مانند شکل 19، مبنی بر وجود فایل هم نام با Job مورد نظر به شما داده شد گزینه آن را غیرفعال کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 19: پیام مبنی بر وجود فایل با نام مشابه

 

بعد از اتمام تحلیل، بررسی کنید که در برگه Warnings هیچ هشداری بجز هشدار دمای اولیه نباشد. روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. پس از مشاهده تنشهای اعضا، مقدار تنش عضو CF و نیروی تکیه گاه B را مجددا استخراج کنید. مقادیر عددی هر یک در شکل 20 نشان داده شده است.

 

شکل 20: مقادیر تنش در عضو CF (شکل سمت راست) و مقادیر نیروی تکیه گاه B (شکل سمت چپ)

 

همانطور که مشاهده می کنید نتایج بدست آمده از این تحلیل با نتایج حاصل از تحلیل با کانکتور Translator دقیقا برابر شده است. جابجایی گره های F و F’ را نیز در دو راستای X و Y استخراج کنید. مقادیر عددی جابجایی U1 دو گره در شکل 21 و مقادیر عددی جابجایی U2 دو گره نیز در شکل 22 نشان داده شده است.

 

شکل 21: مقادیر جابجایی U1 در گره F (شکل سمت راست) و مقادیر جابجایی U1 در گره F’ (شکل سمت چپ)

 

همانطور که مشاهده می کنید مقادیر جابجایی دو گره در هر دو Step با هم برابر است و این یعنی قید تساوی جابجایی ها که توسط قید Equation تعریف شد بدرستی عمل کرده است.

 

شکل 22: مقادیر جابجایی U2 در گره F (شکل سمت راست) و مقادیر جابجایی U2 در گره F’ (شکل سمت چپ)

 

مانند قبل بررسی کنید تا اطمینان حاصل کنید که در Step-1، مجموع قدر مطلق جابجایی دو گره در راستای قائم برابر 0.1 in است. همچنین میزان جابجایی دو گره در Step-2 را نیز بدست آورید تا از برابر بودن جابجایی دو گره در Step-2 مطمئن شوید.

نتیجه گیری:

با اینکه استفاده از کانکتور Translator در اولین انتخاب، جوابهای کاملا درستی را نتیجه داد اما بخاطر وجود هشداری مبنی بر مشکل دار شدن Solver در درجه آزادی 6 یک گره بهتر دانستیم که این خطا را با بکار بردن کانکتور Axial از بین ببریم و به همین هدف هم رسیدیم اما مشکل جدیدی که با آن روبرو شدیم عدم انطباق جابجایی دو گره در راستای X بود. برای انطباق دو گره در راستای X، از قید Equation استفاده کردیم و اینبار به همان جواب های حالت استفاده از کانکتور Translator رسیدیم اما بدون هیچ گونه هشدار Solver و این به معنی صحت مدلسازی انجام شده می باشد. علت این حساسیت در رفع هشدارها بخاطر مشکلاتی است که در درسهای آینده با آنها برخورد خواهیم کرد.

تمرین:

خرپای دوبعدی نشان داده شده در شکل 23 را در نظر بگیرید [2]. این خرپا متشکل از 12 عضو می باشد. دو عضو BG و CH بدون اینکه یکدیگر را قطع کنند از روی هم عبور کرده اند. نقاط A و I در یک دیوار عمودی قرار دارند در نتیجه امکان جابه جایی در هیچ راستایی را ندارند. نقطه G تکیه گاه غلتکی می باشد. نیروی عمودی 20 کیلو پوندی به نقطه E اعمال شده است. نقطه تکیه گاهی B به اندازه 0.3 in به سمت پایین کشیده می شود و در همان نقطه نگهداشته می شود. هدف، به دست آوردن نیروی تکیه گاهی RG می باشد. طول اعضا بر حسب فوت و جنس آنها از فولاد با مدول الاستیسیته 30×106 psi و سطح مقطع 2 in2 است. توجه داشته باشید که ابتدا طولها را بر حسب اینچ بیان کنید.

جواب:

RG=21000 lbs

 

شکل 23: خرپای دو بعدی نامعین تحت بار قائم 20 کیلو پوندی

 

مراجع:

[1] Timoshenko, S. P. and Young, D. H. “Theory of Structures,” end Ed., McGraw-Hill, New York, 1965, pp. 313-315.
[2] Timoshenko, S. P. and Young, D. H. “Theory of Structures,” end Ed., McGraw-Hill, New York, 1965, pp. 309.

دیدگاه شما چیست؟