تحلیل استاتیکی خرپای سه بعدی نامعین

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- ایجاد قطعه از نوع Wire

2- مدل سازی براساس واحدهای سیستم انگلیسی (اینچ و پوند)

3- تعریف المان خرپا

4- به دست آوردن تنش در اعضای خرپا

5- به دست آوردن نیروی داخلی هر یک از اعضای خرپا به روش تحلیلی (روش کاستگلیانو)

6- حل معادلات حاصل از روش کاستگلیانو در نرم افزار Maple و حل آنها

خرپای نشان داده شده در شکل متشکل از 7 عضو را در نظر بگیرید. تکیه گاه های این خرپا در یک دیوار عمودی قرار دارند و امکان جابجایی در هیچ راستایی برای آنها وجود ندارد. نیروی عمودی P درخلاف جهت محور Z به نقطه A اعمال شده است. هدف به دست آوردن میزان تنش در عضو AD و مقایسه آن با نتایج تحلیلی و مرجع [1] می باشد. طول اعضا بر حسب foot و جنس آنها از فولاد با مدول الاستیسیته 30×106 psi و سطح مقطع 1 in2 است.

 

خرپای نامعین استاتیکی دارای 7 عضو
شکل 1: خرپای نامعین استاتیکی دارای 7 عضو

 

مدل سازی مسئله:

ابتدا نام مدل را توسط یکی از دو روش زیر از Model-1 به 3D truss تغییر دهید:

1- از نوار منو، مسیر زیر را دنبال کنید:

Model > Rename > Model-1

2- مانند شکل 2، در درخت مدل روی Model-1 کلیک راست کرده و گزینه Rename را انتخاب کنید.

 

تغییر نام مدل از طریق درخت مدل
شکل 2: تغییر نام مدل از طریق درخت مدل

 

روی آیکون Create Part (Create Part) کلیک کرده و مانند شکل 3، پنجره باز شده را کامل کنید. معمولا در مدلسازی خرپاهای سه بعدی بهتر است یک نقطه از آن را بعنوان نقطه شروع ایجاد کرده و سپس نقاط دیگر را ایجاد کنیم و با اتصال این نقاط به هم، خرپای مورد نظر را تولید کنیم. از آنجایی که خرپای مورد نظر سه بعدی می باشد در نتیجه در قسمت Modeling Space گزینه3D انتخاب شده است. در نهایت روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

پنجره Create Part و گزینه های انتخاب شده در آن
شکل 3: پنجره Create Part و گزینه های انتخاب شده در آن

 

در قسمت اعلان، مختصات نقطه به طور پیش فرض (0,0,0) می باشد. همین مختصات را قبول کرده و کلید Enter را فشار دهید. به این ترتیب قطعه مورد نظر که در اینجا یک Reference Point می باشد در فضای سه بعدی ایجاد می شود. برای ایجاد محل مفاصل اعضای خرپا از دستور Datum Point استفاده می کنیم. بدین منظور از نوار منو، مسیر زیر را اجرا کنید:

Tools > Datum

در پنجره باز شده گزینه های نشان داده شده در شکل 4 را انتخاب کنید.

 

پنجره Create Datum و گزینه های انتخاب شده در آن
شکل 4: پنجره Create Datum و گزینه های انتخاب شده در آن

 

با توجه به اینکه مدول الاستیسیته برحسب Eq01 می باشد در نتیجه باید طول را به اینچ و نیرو را به پوند تبدیل کنیم. ازینرو مختصات مفاصل اعضای خرپا در جدول 1 بر حسب اینچ داده شده است که بایستی آن ها را در قسمت اعلان به ترتیب وارد کنید و هر بار دکمه Enter صفحه کلید را فشار دهید (فقط مختصات را وارد کنید و نام نقطه فقط جهت اطلاع داده شده است). به این ترتیب تعداد 6 نقطه در Viewport نشان داده خواهد شد.

 

جدول 1: مختصات مفاصل موجود در خرپا
مختصات مفاصل موجود در خرپا

 

در انتها دکمه Esc صفحه کلید را فشار دهید تا از دستور ایجاد Datum point خارج شوید. برای دیدن کل نقاط روی آیکون Auto-Fit View (Auto-Fit View) کلیک کنید. سعی کنید با چرخاندن مدل توسط آیکون Rotate View (Rotate View) در جعبه ابزار View Manipulation، نقاط را همراستا با سیستم مختصات نشان داده شده در شکل 5 قرار دهید تا انتخاب آن ها راحت تر انجام شود.

 

راستای محورهای مختصات برای انتخاب نقاط
شکل 5: راستای محورهای مختصات برای انتخاب نقاط

 

پیش از ادامه کار، زاویه دید مورد نظر را ذخیره می کنیم تا در مراحل بعدی به راحتی در همین زاویه دید قرار بگیریم. برای این کار همانطور که در شکل 6 نشان داده شده است، در جعبه ابزار Views روی آیکون Save View (Save View) کلیک کنید. (چنانچه این جعبه ابزار را مشاهده نمی کنید، برای اضافه کردن آن، از نوار منوها مسیر زیر را اجرا کنید:

Tools > Customize

سپس در پنجره باز شده، گزینه Views را انتخاب کنید.

 

آیکون مورد نظر در جعبه ابزار Views
شکل 6: آیکون مورد نظر در جعبه ابزار Views

 

مانند شکل 7، گزینه های پنجره باز شده را انتخاب کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب زاویه دید مورد نظر در آیکون Apply User 1 View (Apply User 1 View) ذخیره می شود و با کلیک روی آن، در هر ماژولی که قرار داشته باشید در زاویه دید ذخیره شده قرار می گیرید.

 

گزینه های انتخاب شده برای ذخیره زاویه دید مورد نظر
شکل 7: گزینه های انتخاب شده برای ذخیره زاویه دید مورد نظر

 

در این مرحله، اعضای خرپا را ایجاد می کنیم. از نوار منو، دستور زیر را اجرا کنید.

Shape > Wire > Point to Point

در پنجره Create Wire Feature، که در شکل 8 نشان داده شده است، گزینه Polyline، ترسیم خط و گزینه Spline ترسیم منحنی اسپیلاین می کند. گزینه Chained wires خطوط ترسیمی را متصل به هم رسم می کند. آیکون Add (Add) برای اضافه کردن خطوط (wire) به مدل، مورد استفاده قرار می گیرد.

 

پنجره Create Wire Feature و گزینه های انتخاب شده
شکل 8: پنجره Create Wire Feature و گزینه های انتخاب شده

 

مانند شکل 8 روی آیکون Add (Add) کلیک کرده و نقاط موجود در Viewport را به ترتیبی که در شکل 9 آورده شده است انتخاب کنید.

 

ترتیب انتخاب نقاط در فضای سه بعدی برای رسم خرپا
شکل 9: ترتیب انتخاب نقاط در فضای سه بعدی برای رسم خرپا

 

پس از انتخاب آخرین نقطه (RP)، در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. پنجره Create Wire Feature باید مانند شکل 10 شود.

 

نقاط انتخاب شده برای ایجاد خرپا
شکل 10: نقاط انتخاب شده برای ایجاد خرپا

 

روی دکمه OK کلیک کنید. خرپای ایجاد شده در شکل 11 نشان داده شده است.

 

خرپای حاصل است اتصال نقاط به یکدیگر
شکل 11: خرپای حاصل است اتصال نقاط به یکدیگر

 

تعریف خواص ماده:

به منظور ایجاد خواص مکانیکی ماده که در این درس فولاد در نظر گرفته شده است، وارد ماژول Property شوید. روی آیکون Create Material (Create Material) کلیک کنید. نام ماده را Steel وارد کرده و برای تعریف مدول الاستیسیته، مسیر نشان داده شده در شکل 12 را اجرا کنید.

 

مسیر تعریف مدول الاستیسیته در پنجره Edit Material
شکل 12: مسیر تعریف مدول الاستیسیته در پنجره Edit Material

 

مقادیر نشان داده شده در شکل 13 را در قسمت های مورد نظر وارد کنید. یادآوری می کنیم که مدول الاستیسیته را برحسب Eq02 در نظر گرفته ایم. توجه داشته باشید که نماد e در اکثر نرم افزارهای مهندسی، معادل «ده به توان» می باشد.

 

واردکردن مدول الاستیسیته و نسبت پواسون صفر در خاصیت الاستیک
شکل 13: واردکردن مدول الاستیسیته و نسبت پواسون صفر در خاصیت الاستیک

 

روی دکمه OK کلیک کنید تا خاصیت الاستیک فولاد تعریف شود.

برای ایجاد Section روی آیکون Create Section (Create Section) کلیک کنید.

 

نکته 1

برای اختصاص خواص ماده و خصوصیات هندسه (شامل اندازه سطح مقطع خرپا، شکل سطح مقطع تیر، ضخامت پوسته و…) نیاز به تعریف Section داریم. در ماژول Property، این دستور برای مشخص کردن مواد در بخشهای مختلف مدل بکار می رود. بعنوان مثال میله ای را در نظر بگیرید که نیمی از آن فولاد و نیم دیگر آن آلومینیوم باشد. در این مورد باید دو Section تعریف کنید که هر کدام شامل یکی از دو ماده فولاد و آلومینیوم باشد. توجه داشته باشید که چنانچه در اعضای خرپا، سطح مقطع اعضا با هم متفاوت باشد با وجود همجنس بودن همه اعضا، باید به تعداد سطح مقطع ها Section تعریف شود.

 

در پنجره باز شده گزینه های نشان داده شده در شکل 14 را انتخاب نموده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

گزینه های انتخاب شده برای تعریف Section اعضای خرپا
شکل 14: گزینه های انتخاب شده برای تعریف Section اعضای خرپا

 

همانطور که در شکل 15 نشان داده شده است، به طور پیش فرض ماده با نام Steel انتخاب شده است. سطح مقطع را در قسمت Cross-sectional area برابر 1 in2 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

مشخص کردن نام ماده و سطح مقطع اعضای خرپا
شکل 15: مشخص کردن نام ماده و سطح مقطع اعضای خرپا

 

برای اختصاص دادن Section ایجاد شده به اعضای خرپا، روی آیکون Assign Section (Assign Section) کلیک کنید. با درگ کل خرپا، تمامی اعضا را انتخاب نموده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. در پنجره Edit Section Assignment نیز روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب تمامی اعضای خرپا از جنس فولاد تعریف می شوند. برای مشاهده نسبت سطح مقطع به ابعاد خرپا، از نوار منو مسیر زیرا اجرا کنید:

View > Part Display Options

مانند شکل 16، گزینه Render beam profiles را انتخاب کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

انتخاب گزینه مورد نظر برای نمایش سطح مقطع اعضای خرپا
شکل 16: انتخاب گزینه مورد نظر برای نمایش سطح مقطع اعضای خرپا

 

شکل 17 اعضای خرپا را در حالتی که نمایش سطح مقطع فعال است نشان می دهد. توجه داشته باشید که گزینه Scale factor هنگامی که برابر 1 باشد نسبت سطح مقطع به ابعاد بصورت واقعی نشان داده می شود اما با تغییر این مقدار، می توان این نسبت را کم یا زیاد نمود.

 

نمایش سطح مقطع اعضای خرپا با ضریب مقیاس 1
شکل 17: نمایش سطح مقطع اعضای خرپا با ضریب مقیاس 1

 

مونتاژ خرپا در محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شوید. روی آیکون Instance Part (Instance Part) کلیک کنید. مطابق شکل 18 در حالی که گزینه Dependent (mesh on part) در حالت انتخاب قرار دارد روی دکمه OK کلیک کنید. در این حالت قطعه انتخاب شده (truss) در صفحه مونتاژ نشان داده می شود.

 

نکته 2

گزینه Dependent (mesh on part) هنگامی استفاده می شود که بخواهید مش بندی در تراز part انجام شود و معمولا زمانی استفاده می شود که از یک قطعه چند نمونه وارد ماژول Assembly کرده باشید. در این صورت، با مش بندی قطعه در تراز part، کل نمونه ها در ماژول Assembly دارای مش خواهند شد. برعکس، زمانی که قرار است از یک قطعه فقط یک نمونه در ماژول Assembly داشته باشید بهتر است قطعه بصورت Independent (mesh on instance) وارد شود که طبیعتا مش بندی آن در تراز assembly انجام خواهد شد. مفهوم «تراز» در ادامه مطالب در ماژول مش بندی قطعه بیان می شود. در اینجا عمدا خرپا را بصورت Dependent وارد ماژول Assembly کردیم تا با مفهوم جابجایی بین تراز part و assembly آشنا شویم.

 

گزینه مورد نظر برای مونتاژ خرپا در محیط Assembly
شکل 18: گزینه مورد نظر برای مونتاژ خرپا در محیط Assembly

 

قبل از ادامه کار، مدل را در پوشه مخصوصی ذخیره می کنیم. برای این کار از نوار منو، مسیر زیر را دنبال کنید:

File > Set Work Directory

در پنجره باز شده روی آیکون Select (Select) کلیک کنید. مانند شکل 19، در پنجره باز شده مسیر مورد نظر خود را انتخاب کرده و توسط آیکون Create new directory (Create new directory) پوشه ای با نام truss example ایجاد کنید. سپس پوشه ایجاد شده را انتخاب کنید. (روی آن دابل کلیک نکنید).

 

انتخاب گزینه های مورد نظر برای انتخاب مسیر ذخیره فایل
شکل 19: انتخاب گزینه های مورد نظر برای انتخاب مسیر ذخیره فایل

 

سپس روی دکمه OK در هر دو پنجره کلیک کنید تا مسیر انتخاب شده بعنوان مسیر ذخیره خروجی ها انتخاب شود. به این ترتیب تمامی فایل های این مدل (فایل مدل سازی و فایل های خروجی حاصل از تحلیل) در این پوشه ذخیره می شوند. حال می توانید مدل را مانند شکل 20 با نام 3D truss در پوشه مورد نظر ذخیره کنید.

 

ذخیره مدل با نام 3D truss در مسیر مورد نظر
شکل 20: ذخیره مدل با نام 3D truss در مسیر مورد نظر

 

پیش از ادامه کار، مجددا روی آیکون Apply User 1 View (Apply User 1 View) کلیک کنید تا خرپا در وضعیت شکل 1 قرار گیرد. در این حالت، اعمال شرایط مرزی و بارگذاری روی مدل راحت تر انجام می شود. شکل 21، خرپا را در محیط Assembly به همراه سیستم مختصات کارتزین نشان می دهد.

 

خرپا و راستای محورهای مختصات در حالت مونتاژ
شکل 21: خرپا و راستای محورهای مختصات در حالت مونتاژ

 

تعریف تحلیل استاتیکی:

وارد ماژول Step شوید. روی آیکون Create Step (Create Step) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه های نشان داده شده در شکل 22 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

گزینه های انتخاب شده برای تعریف تحلیل استاتیکی
شکل 22: گزینه های انتخاب شده برای تعریف تحلیل استاتیکی

 

با پذیرفتن پیش فرض ها در پنجره Edit Step روی دکمه OK کلیک کنید تا تحلیل از نوع استاتیکی ایجاد شود.

 

نکته 3

در پنجره Edit Step و در قسمت Time Period، عدد 1 وارد شده است. با توجه به اینکه در تحلیل های استاتیکی، زمان مطرح نمی شود در نتیجه این عدد هر مقداری می تواند باشد به شرط اینکه پارامترهایی مثل نیرو و جابجایی و… به آن وابسته نباشد. در همین پنجره گزینه Nlgeom در حالت Off قرار دارد. این گزینه برای مواقعی که بخواهید اثرات غیرخطی حاصل از جابجایی ها و تغییر شکل های بزرگ را در نظر بگیرید در حالت On قرار می گیرد.

 

بارگذاری و شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. در این قسمت هدف این است که جابجایی نقاط مشخص شده در شکل 23 را در سه راستا مقید کنیم.

 

نقاطی که سه درجه آزادی جابجایی آنها مقید می شود
شکل 23: نقاطی که سه درجه آزادی جابجایی آنها مقید می شود

 

با توجه به اینکه در مختصات (0,0,0) یک Reference Point وجود دارد و جزو مدل نیست پس برای انتخاب نقاط مشخص شده در شکل 23 که از نوع vertex بوده و متعلق به اعضای خرپا هستند باید با استفاده از جعبه ابزار Selection یک فیلتر اعمال کنیم. از لیست بازشوی جعبه ابزار Selection، مانند شکل 24، گزینه vertices را انتخاب کنید.

 

انتخاب گزینه Vertices برای انتخاب نقاط vertex که در انتهای اعضا قرار دارند
شکل 24: انتخاب گزینه Vertices برای انتخاب نقاط vertex که در انتهای اعضا قرار دارند

 

روی آیکون Create Boundary Condition (Create Boundary Condition) کلیک کنید. در پنجره باز شده، گزینه های مشخص شده در شکل 25 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

گزینه های مورد نظر برای اعمال شرط مرزی روی نقاط تکیه گاهی خرپا
شکل 25: گزینه های مورد نظر برای اعمال شرط مرزی روی نقاط تکیه گاهی خرپا

 

اکنون با نگه داشتن کلید Shift صفحه کلید و کلیک کردن روی چهار نقطه نشان داده شده در شکل 23، آنها را انتخاب کرده و نهایتا در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. مانند شکل 26، در پنجره Edit Boundary Condition گزینه PINNED را انتخاب کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. این گزینه تمام درجات آزادی جابجایی نقاط مشخص شده را مقید می کند.

 

انتخاب گزینه PINNED برای مقید کردن سه درجه آزادی جابجایی
شکل 26: انتخاب گزینه PINNED برای مقید کردن سه درجه آزادی جابجایی

 

با انجام این فرایند، علامت شرط مرزی روی نقاط مورد نظر ایجاد می شود. برای اعمال نیروی P به مقدار 1000 lb، روی آیکون Create Load (Create Load) کلیک کنید. سپس در پنجره باز شده مانند شکل 27، از لیست بازشوی Step، گزینه Step-1 را انتخاب نمایید. سایر گزینه های پنجره را مطابق شکل 27 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

گزینه های انتخاب شده برای اعمال بار P
شکل 27: گزینه های انتخاب شده برای اعمال بار P

 

نقطه مشخص شده در شکل 28 را انتخاب کرده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید.

 

نقطه مشخص شده برای اعمال بار
شکل 28: نقطه مشخص شده برای اعمال بار

 

مطابق با شکل 29، پنجره Edit Load را تکمیل نموده و روی دکمه OK کلیک کنید. بردار زرد رنگی در خلاف جهت Z روی نقطه مورد نظر نمایش داده می شود که بیانگر اعمال نیرو در این نقطه است.

 

نحوه اعمال بار 1000 پوندی در خلاف جهت Z
شکل 29: نحوه اعمال بار 1000 پوندی در خلاف جهت Z

 

نکته 4

در پنجره Edit Load گزینه Ramp به این معنی است که بار از صفر به طور خطی به حداکثر مقدار خود در انتهای Step مورد نظر می رسد. در واقع با توجه به اینکه در اینجا زمان تحلیل را 1 ثانیه در نظر گرفتیم، مانند شکل (الف) بار مورد نظر در زمان صفر ثانیه یا همان زمان شروع برابر صفر بوده و در زمان یک ثانیه به حداکثر مقدار خود یعنی 1000 lb می رسد.

 

معنای گزینه Ramp بصورت نمودار
شکل الف: معنای گزینه Ramp بصورت نمودار

 

مش بندی قطعه:

وارد ماژول Mesh شوید. با توجه به اینکه در ماژول Assembly قطعه خرپا را به صورت Dependent وارد محیط مونتاژ کردید در نتیجه برای مش بندی مدل، باید در تراز Part قرار بگیرید. بدین منظور در نوار وضعیت مانند شکل 30، گزینه Part را انتخاب کنید. همان طور که مشاهده می کنید سطح مقطع اعضا که قبلا در ماژول Part فعال کرده بودید در این تراز نیز نمایش داده می شود.

 

انتخاب تراز Part در نوار وضعیت
شکل 30: انتخاب تراز Part در نوار وضعیت

 

نکته 5

به یاد داشته باشید که هر عضو خرپا باید تنها شامل 1 المان باشد. زیرا در صورتی که هر عضو خرپا را به بیش از یک المان مش بندی کنید به دلیل اینکه المان خرپا المانی است که فقط نیروی محوری را تحمل می کند در نتیجه در هنگام تحلیل ممکن است با عدم هم گرایی مواجه شوید. در نتیجه باید هر عضو خرپا را با یک المان مدل کنید.

 

برای ایجاد یک المان روی هر عضو خرپا، روی آیکون Seed Edges (Seed Edges) کلیک کنید. با درگ موس، کل خرپا را انتخاب کرده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. مانند شکل 31، در پنجره Local Seeds با انتخاب گزینه By number تعداد 1 المان را در قسمت Number of elements وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. علامت هایی به شکل مربع صورتی رنگ در نقاط انتهای هر عضو نشان داده می شود که نشان دهنده یک المان روی هر عضو است.

 

تعریف 1 المان روی هر عضو
شکل 31: تعریف 1 المان روی هر عضو

 

برای مش بندی قطعه، روی آیکون Mesh Part (Mesh Part) کلیک کنید. در قسمت اعلان پیامی مبنی بر پذیرفتن مش بندی قطعه به شما داده می شود. با دکمه Yes آن را تایید نمایید. هم اکنون قطعه مش بندی شده است اما چون حالت گرافیکی نمایش سطح مقطع فعال است مش بندی دیده نمی شود. برای مشاهده مش بندی، حالت نمایش سطح مقطع را غیر فعال می کنیم. به این منظور از نوار منو، مسیر زیر را اجرا کنید:

View > Part Display Options

در پنجره باز شده گزینه Render beam profiles را از حالت انتخاب خارج کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب رنگ قطعه مش بندی شده به فیروزه ای تغییر خواهد کرد. در تحلیل های المان محدود، انتخاب نوع المان بسیار حایز اهمیت است. با توجه به اینکه المان های مورد نظر ما المان خرپا هستند در نتیجه باید نوع آن را به المان خرپا یا همان المان Truss تغییر دهید. برای این منظور روی آیکون Assign Element Type (Assign Element Type) کلیک کنید. با درگ موس کل قطعه را انتخاب نموده و در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. مانند شکل 32، در پنجره Element Type از قسمت Family گزینه Truss را انتخاب کنید. همان طور که مشاهده می کنید در قسمت Element Library، گزینه Standard انتخاب شده است و دلیل آن این است که حل مسئله توسط Abaqus/Standard انجام می شود. در پایین همین پنجره، نام اختصاری المان که توسط نرم افزار تعریف شده است به شما نشان داده می شود. نوع المان مورد استفاده در این مثال، از نوع T3D2 است که المانی خطی با 2 گره در فضای سه بعدی است. حرف T نشان دهنده المان Truss و حروف 3D نشان دهنده فضای سه بعدی و عدد 2 نشان دهنده تعداد گره های آن می باشد. روی دکمه OK کلیک کنید. یادآوری می کنیم که مدل را ذخیره کنید.

 

نحوه تعریف المان Truss در پنجره Element Type
شکل 32: نحوه تعریف المان Truss در پنجره Element Type

 

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و روی آیکون Create Job (Create Job) کلیک کنید. مانند شکل 33، در پنجره باز شده نام تحلیل را truss-analysis وارد کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

نام گذاری Job در پنجره مربوطه
شکل 33: نام گذاری Job در پنجره مربوطه

 

نکته 6

برای نام گذاری Job نباید از فاصله، اسلش (/) ، نقطه (.) ، پرانتز و… استفاده شود زیرا با پیام خطای نشان داده شده در شکل (الف) مواجه خواهید شد.

 

پیغام خطای مربوط به نامگذاری اشتباه Job
شکل الف: پیغام خطای مربوط به نامگذاری اشتباه Job

 

در پنجره Edit Job با پذیرفتن تمام شرایط پیش فرض، روی دکمه OK کلیک کنید. روی آیکون Job Manager (Job Manager) کلیک کرده و مانند شکل 34، در پنجره باز شده روی دکمه Submit کلیک کنید.

 

نحوه اجرای حل مسئله
شکل 34: نحوه اجرای حل مسئله

 

اکنون حل مسئله شروع شده و در ابتدا در قسمت Status وضعیت Submitted و سپس Running و پس از اتمام تحلیل، مانند شکل 35 کلمه Completed نمایش داده می شود.

 

کامل شدن فرآیند تحلیل و نمایش کلمه Completed در قسمت Status
شکل 35: کامل شدن فرآیند تحلیل و نمایش کلمه Completed در قسمت Status

 

نکته 7

پس از اتمام تحلیل، چنانچه در پنجره Job Manager روی دکمه Monitor کلیک کنید، پنجره مربوط به آن باز می شود. همانطور که در شکل (الف) نشان داده شده است، روی برگه Warnings علامت قرمز رنگی ظاهر شده است. این علامت خبر از وجود یک هشدار در تحلیل می دهد. روی برگه Warnings کلیک کنید. همانطور که می بینید پیغامی مبنی بر «وجود یک set شامل گره که هیچ عضوی ندارد» به شما داده شده است. این گره، همان Reference point ایجاد شده در ابتدای کار است و چون هیچ گونه شرط مرزی ای به آن اعمال نشده است در نتیجه به مدل تعلق ندارد و از تحلیل حذف خواهد شد. حذف این نقطه در نتایج هیچ تأثیری ندارد.

 

پیغام هشدار در برگه Warnings
شکل الف: پیغام هشدار در برگه Warnings

 

پس از اتمام حل، روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. در ابتدا حالت بدون تغییر شکل خرپا را مشاهده می کنید. روی آیکون Apply User 1 View (Apply User 1 View) کلیک کنید تا خرپا در وضعیت شکل 1 قرار گیرد. روی آیکون Plot Contours on Deformed Shape (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید تا مانند شکل 36، کانتور تنش میسز را در وضعیت تغییر شکل یافته خرپا مشاهده کنید.

 

تنش میسز در اعضای مختلف خرپا روی مدل تغییر شکل یافته
شکل 36: تنش میسز در اعضای مختلف خرپا روی مدل تغییر شکل یافته

 

در این مثال، خروجی های جابجایی گره ها و تنش های موجود در المان ها قابل استخراج است. در مواقعی که نیاز به خواندن این موارد در یک گره یا المان باشد از روش Probe values استفاده کنید. برای این منظور ابتدا مانند شکل 37، از جعبه ابزار Field Output نوع خروجی را S11 انتخاب کنید. بطور کلی در المان های خرپا و تیر، این تنش در راستای محور هر المان می باشد.

 

انتخاب تنش S11 از جعبه ابزار Field Output
شکل 37: انتخاب تنش S11 از جعبه ابزار Field Output

 

روی آیکون Query information (Query information) کلیک کنید. در پنجره باز شده، همانطور که در شکل 38 به آن اشاره شده است، گزینه Probe values را انتخاب کنید.

 

انتخاب گزینه Probe values در پنجره Query
شکل 38: انتخاب گزینه Probe values در پنجره Query

 

با انتخاب گزینه Probe values، مانند شکل 39، پنجره مربوط به آن باز می شود. با توجه به اینکه در المان های خرپا، تنش در سراسر المان ثابت است در نتیجه تنش را در مرکز المان اندازه گیری می کنیم. به همین منظور مطابق شکل 39، از لیست باز شو گزینه Centroid را انتخاب کنید.

 

انتخاب مرکز المان برای خروجی تنش
شکل 39: انتخاب مرکز المان برای خروجی تنش

 

با توجه به اینکه در مرجع [1] تنش عضو AD گزارش شده است در نتیجه تنش این المان را اندازه گیری می کنیم. دو سر این المان با حروف A و D در شکل 40 مشخص شده است.

 

عضو AD برای اندازه گیری تنش آن
شکل 40: عضو AD برای اندازه گیری تنش آن

 

با کلیک روی المان مربوطه، مانند شکل 41، مقدار تنش در پنجره Probe Values نشان داده می شود.

 

مقدار تنش در عضو AD در پنجره Probe Values
شکل 41: مقدار تنش در عضو AD در پنجره Probe Values

 

تنش بدست آمده از تحلیل آباکوس و تنش گزارش شده در مرجع [1] و همچنین تنش حاصل از حل مسئله به روش تحلیلی در جدول 2 مقایسه شده اند (تنش حاصل از آباکوس تا 6 رقم اعشار در مراحل بعد استخراج می شود). حل تحلیلی بدین منظور آورده شده است که نشان دهیم مقدار گزارش شده در مرجع [1] به طور دقیق بیان نشده است.

 

جدول 2: مقادیر تنش در عضو AD
مقادیر تنش در عضو AD

 

همان طور که مشاهده می کنید نتایج تحلیل با آباکوس و نتایج حل تحلیلی تا پنج رقم اعشار با یکدیگر برابر می باشند. به یاد داشته باشید که تحلیل خرپاها در المان محدود و در تغییر شکل های کوچک، به «روش مستقیم» معروف است یعنی جواب آن با جواب تحلیلی برابر است.

برای مشاهده جابجایی هر گره، مانند شکل،42 در جعبه ابزار Field Output گزینه U را که نشان دهنده جابجایی گره هاست انتخاب کنید.

 

انتخاب گزینه U در جعبه ابزار Field Output برای خروجی گرفتن جابجایی ها
شکل 42: انتخاب گزینه U در جعبه ابزار Field Output برای خروجی گرفتن جابجایی ها

 

مانند شکل 43، پیغام هشداری مبنی بر پاک شدن اطلاعات موجود در پنجره Probe Values به شما داده می شود. با کلیک روی دکمه Yes آن را تایید کنید.

 

پیغام هشدار مبنی بر پاک شدن اطلاعات موجود در پنجره Probe Values
شکل 43: پیغام هشدار مبنی بر پاک شدن اطلاعات موجود در پنجره Probe Values

 

می توانید جابجایی هر گره را در سه راستای مختلف درخواست کنید. با توجه به اینکه بیشترین جابجایی گره ها مربوط به گره ای است که به آن بار اعمال شده است در نتیجه مقدار جابجایی را برای این گره و در راستای Z می خوانیم که راستای اعمال بار است. برای این منظور مانند شکل 44، گزینه U3 را انتخاب کنید.

 

انتخاب گزینه U3 در جعبه ابزار Field Output
شکل 44: انتخاب گزینه U3 در جعبه ابزار Field Output

 

برای مشاهده گزارش در گره ها، در پنجره Probe Values مطابق با شکل 45 از لیست باز شو، گزینه Nodes را انتخاب کنید.

 

انتخاب گزینه Nodes از لیست بازشو در پنجره Probe Values
شکل 45: انتخاب گزینه Nodes از لیست بازشو در پنجره Probe Values

 

اکنون گره مربوط به نقطه اعمال بار را انتخاب کنید. با انتخاب گره مورد نظر، میزان جابجایی به شما نشان داده خواهد شد. در اینجا میزان جابجایی برابر با -0.0037698 می باشد که علامت منفی نشان دهنده جابجایی در خلاف جهت محور Z است.

برای ایجاد گزارشی از تنش المان ها و جابجایی گره ها در یک فایل با پسوند.rpt، از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید:

Report > Field Output…

ابتدا تنش هر المان را در فایل ایجاد می کنیم. برای این منظور در برگه Variable گزینه های نشان داده شده در شکل 46 را انتخاب کنید.

 

انتخاب تنش و محل گزارش دهی آن
شکل 46: انتخاب تنش و محل گزارش دهی آن

 

گزینه Centroid درخواست خروجی را در مرکز المان خرپا و گزینه S11 تنش در راستای آن را امکان پذیر می کند. توجه داشته باشید که این گزینه در المان های خرپا و تیر، تنش در راستای طول آنها است اما در سایر المان ها تنش در راستای محور 1 (معمولا راستای محور X) است.

مانند شکل 47، در برگه Setup گزینه های نشان داده شده را انتخاب کرده و روی دکمه Apply کلیک کنید. توجه کنید که خروجی ها در قسمت Number of significant digits تا 8 رقم معنا دار درخواست شده است.

 

گزینه های انتخاب شده در برگه Setup
شکل 47: گزینه های انتخاب شده در برگه Setup

 

اگر گزینه Append to file انتخاب شده باشد نتایج درخواست شده به فایلی که قبلا وجود داشته است اضافه خواهد شد. در صورت عدم وجود فایل، این گزینه تأثیری نخواهد داشت. عملکرد سایر گزینه ها را می توانید با خواندن متن آن ها به راحتی استنباط کنید و نیازی به توضیح نیست. فایل ایجاد شده را می توانید توسط نرم افزارهای متنی مانند Notepad یا Notepad++ یا… باز کنید. شکل 48 فایل ایجاد شده را در نرم افزار Notepad++ نشان می دهد. توجه داشته باشید که تنش های گزارش شده در این فایل برحسب psi می باشند.

 

خروجی تنش المان ها در فایل *.rpt
شکل 48: خروجی تنش المان ها در فایل *.rpt

 

به همین ترتیب می توانید خروجی جابجایی در راستای سوم یعنی راستای Z را از نرم افزار درخواست کنید. بدین منظور، مانند شکل 49 گزینه های نشان داده شده را انتخاب کنید. با انتخاب گزینه Unique Nodal خروجی جابجایی در گره ها امکان پذیر می شود. توجه داشته باشید که خروجی تنش S11 را از حالت انتخاب خارج کنید.

 

انتخاب گزینه U3 بعنوان خروجی در گره ها
شکل 49: انتخاب گزینه U3 بعنوان خروجی در گره ها

 

روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب جابجایی های مورد نظر، در ادامه فایل قبلی اضافه می شود زیرا گزینه Append to file در برگه Setup انتخاب شده است. خروجی مورد نظر در شکل 50 نشان داده شده است که در ادامه خروجی تنش حاصل از مرحله قبل می باشد.

 

اضافه شدن خروجی جابجایی در ادامه فایل قبل
شکل 50: اضافه شدن خروجی جابجایی در ادامه فایل قبل

 

برای تشخیص شماره المان عضو AD و گره نقطه A روی آیکون Query information (Query information) کلیک کنید. مانند شکل 51، در پنجره باز شده گزینه Element را انتخاب کرده و روی المان عضو AD کلیک کنید.

 

انتخاب گزینه Element برای بدست آوردن شماره المان
شکل 51: انتخاب گزینه Element برای بدست آوردن شماره المان

 

همانطور که در شکل 52 نشان داده شده است، در قسمت اعلان و همچنین ناحیه پیغام، شماره المان گزارش می شود. سایر اطلاعات این المان شامل ماده، گره های تشکیل دهنده آن و… به شما داده می شود.

 

نمایش شماره المان در دو قسمت مختلف نرم افزار
شکل 52: نمایش شماره المان در دو قسمت مختلف نرم افزار

 

با انتخاب گزینه Node در پنجره Query و انتخاب گره مربوط به نقطه A، شماره آن مانند شکل 53 در دو قسمت مختلف به شما نشان داده می شود.

 

نمایش شماره گره مربوط به نقطه A
شکل 53: نمایش شماره گره مربوط به نقطه A

 

روش تحلیلی:

در این قسمت با استفاده از روش کاستیگلیانو (Castigliano)، که یک روش تحلیلی در محاسبه نیرو و جابجایی می باشد، تنش ایجاد شده در عضو بیان شده در قسمت قبل را به دست می آوریم. برای این منظور، نیروی موجود در عضو مورد نظر را برابر AD در نظر می گیریم. سپس با نوشتن معادلات تعادل در سه راستای مختلف X و Y و Z، برای دو گره A و B که در شکل 54 مشخص شده است در مجموع 6 معادله با هفت مجهول به دست خواهیم آورد. معادله هفتم از فرمول کاستیگلیانو به دست می آید. برای اطلاعات بیشتر به مرجع [1] یا کتاب های مقاومت مصالح مراجعه نمایید. برای نوشتن معادلات تعادل در هر گره، نیروی موجود در هر عضو را در سه راستا تجزیه کرده و با توجه به زوایای نشان داده شده در شکل 54، برآیند آنها را می نویسیم.

 

نقاط A و B و زوایای مورد نظر برای استفاده در روش تحلیلی
شکل 54: نقاط A و B و زوایای مورد نظر برای استفاده در روش تحلیلی

 

معادلات هر گره در سه راستا، در شکل های 55 و 56 آورده شده است. در شکل 55، معادلات 1 تا 4 مقادیر زوایا را به صورت عددی تعریف می کنند. معادلات 5 تا 7، معادلات تعادل در سه راستا در گره A می باشند.

 

تعریف زوایا و سه معادله تعادل در گره A
شکل 55: تعریف زوایا و سه معادله تعادل در گره A

 

در شکل 56، معادلات 8 تا 10 بیانگر معادلات تعادل در سه راستا در گره B می باشند. در معادله 11، مجهولات موجود در 6 معادله را برحسب مجهول AD می نویسیم. در معادله 12، انرژی کرنشی کل سازه را براساس نیروی مجهول بدست می آوریم. در معادله 13 که روش کاستیگلیانو می باشد از انرژی کرنشی برحسب نیروی مجهول AD مشتق می گیریم. در نتیجه نیروی موجود در عضو AD برحسب نیروی معلوم P به دست می آید. در معادله 14، نیروی P برابر با 1000 lb قرار داده می شود. در معادلات 15 و 16، نیروی موجود در اعضای AD و AB محاسبه می شود.

 

معادلات تعادل و معادله حاصل از روش کاستیگلیانو
شکل 56: معادلات تعادل و معادله حاصل از روش کاستیگلیانو

 

در شکل 57، نیروی موجود در سایر اعضا در معادلات 17 تا 21 محاسبه شده است. توجه داشته باشید که سطح مقطع تمامی اعضا برابر با 1 in2 می باشد. در نتیجه با توجه به تعریف تنش طبق رابطه زیر، مقدار نیرو و تنش برابر خواهند بود:

Eq03

پس در معادله 15 اگر مقدار نیروی عضو AD را بر سطح مقطع آن تقسیم کنیم تنش همان مقدار 55.92117477 psi خواهد شد.

 

نیروی موجود در سایر اعضا بر اثر نیروی 1000 lb
شکل 57: نیروی موجود در سایر اعضا بر اثر نیروی 1000 lb

 

تمرین:

در شکل 58، نیروی 50 پوندی به سه عضو خرپا اعمال شده است. انتهای سه عضو در دیوار بتنی قرار دارد یعنی سه درجه آزادی آنها مقید می باشد. مدول الاستیسیته و سطح مقطع تمامی اعضا به ترتیب برابر 30×106 psi و 1 in2 می باشد. تنش در اعضای 1-4 و 2-4 و 3-4 را محاسبه کنید [2]. توجه داشته باشید که این خرپا از نظر استاتیکی معین می باشد زیرا به گره 4، سه عضو متصل است و برای این گره می توان سه معادله در سه راستای مختلف نوشت. در نتیجه تعداد سه معادله و سه مجهول حاصل می شود که به راحتی قابل حل است.

 

نکته 8

توجه داشته باشید که رسم سه عضو این خرپا، برخلاف روش بیان شده در این درس که کلیه اعضا به صورت پی در پی رسم شد می بایست در دو مرحله رسم می شود. یعنی در ابتدا در پنجره Create Wire Feature روی آیکون Add (Add) کلیک کرده و اعضایی را که می توان با یک حرکت رسم نمود ایجاد کنید. سپس در قسمت اعلان روی دکمه Done کلیک کنید. با این کار مجدداً به پنجره Create Wire Feature بازگردانده می شوید. سپس مجدداً روی آیکون Add (Add) کلیک کرده و سایر اعضا را ایجاد کنید.

 

تنش هر یک از اعضا تا دو رقم اعشار در جدول 3 آورده شده است:

 

جدول 3: مقادیر تنش اعضای خرپا
مقادیر تنش اعضای خرپا

 

خرپای سه عضوی تحت بار قائم به مقدار 50 lb
شکل 58: خرپای سه عضوی تحت بار قائم به مقدار 50 lb

 

مراجع:

[1] Timoshenko, S. P. and Young, D. H. “Theory of Structures,” end Ed., McGraw-Hill, New York, 1965, pp. 330-331.

[2] Beer, F. P., and Johnston, E. R., Jr., “Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics,” McGraw-Hill Book Co., Inc. New York, 1962, p. 47.

دیدگاه شما چیست؟