محاسبه سرعت ها و جابجایی های پرتابه در صفحه دو بعدی

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- تعریف فضای حل دو بعدی

2- تعریف جرم نقطه ای

3- تعریف جاذبه زمین

4- تعریف سرعت اولیه

5- استخراج و رسم نمودارهای سرعت و جابجایی و نمودار مسیر حرکت پرتابه

پرتابه m در مبدا مختصات قرار دارد. این پرتابه با سرعت اولیه 30 m/s با زاویه 60 درجه نسبت به افق شلیک می شود. هدف، به دست آوردن جابه جایی ها و سرعت ها در دو راستای x و y و مقایسه آنها با نتایج مرجع [1] می باشد. (جرم پرتابه را 1 kg فرض کنید)

 

شکل 1: پرتابه m در صفحه دو بعدی

 

مدل سازی مسئله:

قبل از شروع مدلسازی، نام مدل را بوسیله یکی از دو روش زیر از Model-1 به projectile تغییر دهید:

1- از نوار منو، مسیر زیر را اجرا کنید:

Model > Rename > Model-1

2- مانند شکل 2، در درخت مدل روی Model-1 کلیک راست کرده و گزینه Rename را انتخاب کنید.

 

شکل 2: تغییر نام مدل از طریق درخت مدل

 

در اینجا ذره را بصورت یک قطعه ایجاد می کنیم. روی آیکون (Create Part) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 3 کامل کنید.

 

نکته 1

در پنجره Create Part، گزینه 2D Planar برای مدلسازی در دو بعد انتخاب شده است. با توجه به اینکه جسم مورد نظر بصورت یک نقطه است در نتیجه تفاوتی در انتخاب Deformable یا Discrete rigid وجود ندارد. گزینه Approximate size اندازه صفحه ترسیم دوبعدی (Sketch) را مشخص می کند و چون قطعه مورد نظر در اینجا فقط یک نقطه است در نتیجه گزینه Approximate size می تواند هر مقداری در نظر گرفته شود (برای رسم نقطه نیازی به صفحه ترسیم دوبعدی نیست).

 

روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 3: ایجاد قطعه از نوع Point

 

در قسمت اعلان همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است، مختصات (0,0) را قبول کرده و دکمه Enter صفحه کلید را فشار دهید.

 

شکل 4: مختصات (0,0) برای ایجاد نقطه

 

به این ترتیب قطعه ای با علامت RP در viewport ظاهر می شود.

وارد کردن قطعه به محیط Assembly:

وارد ماژول Assembly شده و روی آیکون (Instance Part) کلیک کنید. در پنجره باز شده که در شکل 5 نیز نشان داده شده است، یکی از گزینه های Dependent و Independent را انتخاب نمایید.

 

نکته 2

گزینه Dependent (mesh on part) هنگامی استفاده می شود که بخواهید مش بندی در تراز part انجام شود و معمولا زمانی استفاده می شود که از یک قطعه چند نمونه وارد ماژول Assembly کرده باشید. در این صورت، با مش بندی قطعه در تراز part، کل نمونه ها در ماژول Assembly دارای مش خواهند شد. برعکس، زمانی که قرار است از یک قطعه فقط یک نمونه در ماژول Assembly داشته باشید بهتر است قطعه بصورت Independent (mesh on instance) وارد شود که طبیعتاً مش بندی آن در تراز assembly انجام خواهد شد. مفهوم «تراز» در درسهای آینده بیان می شود.

 

با توجه به مطالب بیان شده در نکته 2 و عدم وجود مش بندی در این مدل، ورود قطعه بصورت وابسته یا مستقل از محیط Part به محیط Assembly هیچ تفاوتی در مراحل اجرای کار ایجاد نمی کند. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 5: پنجره Create Instance برای وارد کردن نقطه ایجاد شده به ماژول Assembly

 

نکته 3

با توجه به اینکه در این مسئله، ذره m به صورت جرم متمرکز تعریف می شود، نیازی به تعریف ماده و مش بندی نیست.

 

تعریف تحلیل دینامیکی:

برای تعریف تحلیل دینامیکی، وارد ماژول Step شوید. روی آیکون (Create Step) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 6 کامل کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 6: انتخاب گزینه Dynamic, Implicit برای ایجاد Step دینامیکی

 

نکته 4

در مسائل دینامیکی ای که پیچیدگی های ناشی از ماده، شرایط مرزی، شرایط تماس و… وجود ندارد بهتر است solver از نوع Implicit (ضمنی) انتخاب شود زیرا این نوع روش حل، جوابهای بدون نویز را در اختیار شما قرار می دهد اما گاهاً در solver از نوع explicit (صریح) نویز زیادی در جوابها مشاهده می شود. در نتیجه تمام مسائل این دوره توسط روش Dynamic, Implicit حل خواهند شد.

 

مانند شکل 7 در پنجره باز شده، زمان حل مسئله را 8 ثانیه وارد کنید. گزینه Nlgeom را نیز در حالت On قرار دهید.

 

شکل 7: گزینه های انتخاب شده برای تعریف تحلیل دینامیکی

 

نکته 5

1- انتخاب زمان حل در این مسئله دلخواه است اما باید به گونه ای انتخاب شود که پرتابه پس از گذشتن از نقطه اوج، در مسیر فرود، پایینتر از سطح افقی محل پرتاب باشد.

2- گزینه Nlgeom، اثرات غیر خطی تغییر شکلها و جابجایی های بزرگ را در نظر می گیرد. با توجه به اینکه در مسائل دینامیکی، جابجایی ها بزرگ هستند در نتیجه این گزینه همواره باید در حالت On قرار گیرد تا نتایج درستی حاصل شود.

 

سپس وارد برگه Incrementation شوید. در این برگه گزینه های مشخص شده در شکل 8 را کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 8: گزینه های مشخص شده در برگه Incrementation

 

نکته 6

1- معمولاً در مسائلی که در این دوره با آنها سر و کار داریم، انتخاب نمو زمانی ثابت، بدون هیچگونه مشکلی مسئله را حل خواهد کرد در نتیجه همواره در قسمت Type مربوط به Incrementation، گزینه Fixed را انتخاب می کنیم.

2- نمو زمانی (Increment size) تحلیل نیز دلخواه است اما باید به اندازه ای کوچک انتخاب شود که پس از گرفتن خروجی های تحلیل، مسیر حرکت پرتابه به صورت منحنی همواری ترسیم شود و به شکل ترکیب خطوط شکسته نباشد. مقدار 0.05 برای این مسئله کفایت می کند.

3- حداکثر تعداد Increment ها برابر t/Δt است که در آن، t زمان تحلیل (8 ثانیه) و Δt نمو زمانی (0.05 ثانیه) می باشد و برابر 160 است. اما همیشه عددی بالاتر ازین مقدار را وارد می کنیم تا مسئله در نموهای زمانی تعریف شده به جواب برسد و فرایند حل با خطا مواجه نشود.

 

تعریف خروجی های جابجایی و سرعت:

پیش از اینکه ماژول Step را ترک کنیم می توانیم خروجی های حل مساله شامل جابجایی ها و سرعتهای ذره m را از نرم افزار درخواست کنیم. بدین منظور نیازمند ایجاد Set هستیم.

 

نکته 7

Set یکی از قابلیت های نرم افزار است که می توان در آن آیتم هایی شامل نقطه، خط، لبه، سطح، حجم و… را ذخیره کرد تا در مواقع مورد نیاز، از آنها استفاده نمود. بعنوان مثال، یکی از کاربردهای Set در این مسئله، ایجاد یک Set از نقطه RP برای درخواست خروجی ها (جابجایی، سرعت و شتاب ذره) بر حسب زمان است.

 

برای ایجاد یک Set از نقطه RP، مسیر نشان داده شده در شکل 9 را از نوار منو اجرا کنید.

 

شکل 9: مسیر ایجاد Set از نوار منوها

 

نام Set را projectile وارد کرده و روی دکمه Continue را کلیک کنید. RP موجود در صفحه طراحی را انتخاب کرده و در نوار اعلان روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب Set مورد نظر ایجاد می شود.

برای درخواست خروجی های زمانی، روی آیکون نشان داده شده در شکل 10 کلیک کرده و در پنجره باز شده روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 10: آیکون مشخص شده برای درخواست خروجی های زمانی

 

سپس پنجره باز شده را مطابق شکل 11 تکمیل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 11: انتخاب جابجایی ها و سرعتها در دو راستای x و y برای Set مورد نظر

 

نکته 8

در پنجره Edit History Output Request در قسمت Domain، گزینه Set انتخاب شده است و به این معنی است که خروجی زمانی برای یک Set مد نظر می باشد. در این صورت تمام Set هایی که تعریف کرده اید قابل انتخاب می شوند. در قسمت Frequency، گزینه Every n increment یعنی به ازای هر n نمو، خروجی ذخیره شود که در اینجا خروجی ها به ازای همه نموهای زمانی (n=1) درخواست داده شده است.

گزینه U1 و U2 بترتیب معادل جابجایی در راستای x و y و V1 و V2 بترتیب معادل سرعت در راستای x و y می باشد.

 

اختصاص جرم به ذره:

چون مساله به روش finite element حل می شود در نتیجه برای حل آن نیاز به ماتریس جرم است و حتما باید برای پرتابه جرم در نظر گرفته شود. توجه داشته باشید که این جرم فقط برای تشکیل ماتریس جرمی است تا مسئله توسط روش finite element قابل حل شود و در نتایج این مسئله تاثیری ندارد.

وارد ماژول Interaction شوید. از نوار منو مسیر نشان داده شده در شکل 12 را اجرا کنید.

 

شکل 12: مسیر تعریف جرم متمرکز در نوار منو

 

در پنجره باز شده که در شکل 13 نیز نشان داده شده است روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 13: پنجره Create Inertia برای تعریف جرم نقطه ای

 

سپس در سمت راست نوار اعلان روی دکمه Sets کلیک کنید. در پنجره باز شده، Set با نام projectile را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. جرم را مطابق شکل 14 در قسمت Isotropic برابر با 1 kg وارد نموده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 14: تعریف جرم نقطه ای برای ذره m

 

به این ترتیب علامتی به رنگ سبز روی نقطه RP ظاهر می شود که نشان دهنده اختصاص جرم متمرکز به آن است.

تعریف جاذبه و سرعت اولیه:

وارد ماژول Load شوید. برای اعمال نیروی جاذبه، روی آیکون (Create Load) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 15 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. دقت کنید که بارگذاری فقط در Step-1 قابل تعریف است.

 

شکل 15: گزینه های مورد نیاز برای تعریف جاذبه زمین

 

مطابق شکل 16، مقدار جاذبه را -9.81 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. علامت منفی یعنی جاذبه در خلاف جهت محور y اعمال می شود. بردار زرد رنگی در مبدا مختصات نشان داده می شود که نشان دهنده اعمال بار جاذبه زمین به مدل است.

 

شکل 16: تعریف جاذبه در خلاف جهت محور y

 

نکته 9

در شکل 16، در قسمت Region گزینه Whole Model نوشته شده است یعنی جاذبه به تمام قطعات و اجزای مدل که دارای جرم هستند اعمال می شود.

در قسمت Amplitude گزینه Instantaneous انتخاب شده است و به این معنی است که بار جاذبه در ابتدای تحلیل و بطور ناگهانی به مدل اعمال شود. در حقیقت بار جاذبه باید از ابتدای تحلیل وجود داشته باشد.

 

برای تعریف سرعت اولیه ذره، روی آیکون (Create Predefined Field) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 17 کامل کنید. دقت کنید که سرعت اولیه را همانطور که از نام آن پیداست در Initial Step تعریف می کنیم. روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 17: پنجره مربوط به تعریف سرعت اولیه روی ذره

 

در سمت راست نوار اعلان روی دکمه Sets کلیک کنید. در پنجره باز شده، Set با نام projectile را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. سپس پنجره باز شده را مطابق شکل 18 تکمیل نموده و روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب دو بردار به رنگ صورتی در دو راستای x و y روی نقطه RP نشان داده می شود که نشان دهنده اعمال سرعت اولیه به آن است.

 

شکل 18: تعریف سرعتهای اولیه در دو راستای x و y

 

نکته 10

با توجه به سرعت اولیه پرتابه و زاویه پرتاب آن، سرعتهای V1 و V2 به صورت زیر محاسبه می شوند:

V1 = Vx = V0 cos (60) =15 m/s
V2 = Vy = V0 sin (60) =25.9808 m/s

 

انتخاب محل ذخیره فایل های تحلیل:

از نوار منو، با مسیر نشان داده شده در شکل 19 اقدام به تنظیم محل ذخیره سازی فایل های Abaqus نمایید.

 

شکل 19: انتخاب مسیر ایجاد فایل های تحلیل در Abaqus

 

پس از آن در پنجره باز شده آیکون Select را که در شکل 20 به آن اشاره شده است انتخاب کنید.

 

شکل 20: پنجره Set Work Directory برای تعریف مسیر ذخیره فایل ها

 

در این مرحله با استفاده از آیکون نشان داده شده در شکل 21 یک پوشه با نام projectile ایجاد کنید.

 

شکل 21: ایجاد پوشه ای با نام projectile برای ذخیره سازی فایل ها

 

سپس مانند شکل 22 در حالی که این پوشه انتخاب شده است روی دکمه OK کلیک کنید. (روی پوشه دابل کلیک نکنید و فقط آن را انتخاب کنید).

 

شکل 22: انتخاب پوشه projectile برای ذخیره سازی فایل ها

 

در نهایت به منظور تکمیل کار، پنجره Set Work Directory را نیز با کلیک روی دکمه OK تایید نمایید. اکنون برای ذخیره فایل مدلسازی در پوشه projectile، مسیر زیر را از نوار منو اجرا کرده و فایل را با نام دلخواه در پوشه مورد نظر ذخیره کنید.

File > Save As

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و روی آیکون (Create Job) کلیک کنید. مانند شکل 23، در پنجره باز شده نام تحلیل را projectile-job وارد کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 23: نام گذاری Job در پنجره مربوطه

 

نکته 11

برای نام گذاری Job نباید از فاصله، اسلش (/)، نقطه (.)، پرانتز و… استفاده شود زیرا با پیام خطای نشان داده شده در شکل (الف) مواجه خواهید شد.

 

شکل الف: پیغام خطای مربوط به نامگذاری اشتباه Job

 

در پنجره Edit Job با پذیرفتن تمام شرایط پیش فرض، روی دکمه OK کلیک کنید. روی آیکون (Job Manager) کلیک کرده و مانند شکل 24، در پنجره باز شده روی دکمه Submit کلیک کنید.

 

شکل 24: نحوه اجرای حل مسئله

 

اکنون حل مسئله شروع شده و در ابتدا در قسمت Status وضعیت Submitted و سپس Running و پس از اتمام تحلیل، مانند شکل 25 کلمه Completed نمایش داده می شود.

 

شکل 25: کامل شدن فرآیند تحلیل و نمایش کلمه Completed در قسمت Status

 

نکته 12

دقت کنید در این شکل ستون اول Step حل مساله را نشان می دهد که در اینجا تنها یک Step داریم. Increment شمارنده نموهای زمانی است که حل در حال پیشروی است. Step time زمان حل مساله است که تا 8 ثانیه جلو می رود و ستون time Inc نشان دهنده نمو زمانی است که در اینجا طبق تعریف برابر با مقدار 0.05 s است. روی دکمه Dismiss کلیک کنید و ازین پنجره خارج شوید.

 

شکل الف: اطلاعات موجود در پنجره Monitor

 

در پنجره Job Manager مانند شکل 25 روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید. همانطور که در شکل 26 نشان داده شده است در Legend نتایج، اندازه شتاب (A) ذره برابر با 9.81 است که همان شتاب جاذبه زمین است که در ماژول Load تعریف شد.

 

شکل 26: اندازه شتاب ذره در قسمت Legend

 

برای رسم نمودار سرعتها، روی آیکون (Create XY Data) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه ODB history output بطور پیش فرض انتخاب شده است. روی دکمه Continue کلیک کنید. مطابق شکل 27، خروجی های سرعت در دو راستا را که در ماژول Step درخواست داده بودیم انتخاب نموده و روی دکمه Plot کلیک کنید تا نمودارهای آنها رسم شود.

 

شکل 27: انتخاب سرعتهای V1 و V2 ذره برای رسم نمودار آنها

 

نمودارهای هر دو سرعت در شکل 28 نشان داده شده است. همانطور که می دانید در راستای x هیچ گونه شتابی در مدلسازی اعمال نشده است در نتیجه سرعت سرعت V1 که در راستای x است همواره ثابت می ماند.

 

شکل 28: نمودارهای سرعت V1 و V2 ذره m

 

برای مشاهده مقادیر عددی سرعت ها روی آیکون (XY Data Manager) کلیک کنید. در پنجره باز شده مطابق شکل 29، هریک از سرعت ها را انتخاب کرده و روی دکمه Edit کلیک کنید.

 

شکل 29: متغیرهای سرعت برای دستیابی به مقادیر عددی آنها

 

همانطور که در شکل 30 مشاهده می کنید جدول سمت راست، سرعت ذره در راستای y و جدول سمت چپ، سرعت ذره در راستای x را نشان می دهد. در قسمت پایین هر یک از این جدول ها دو لیت بازشو وجود دارد که جنس هر یک از ستونهای X و Y جدول را مشخص کرده است. در اینجا ستون X از جنس زمان و ستون Y از جنس سرعت می باشد.

 

شکل 30: مقادیر عددی سرعت های ذره

 

بر اساس مرجع [1]، سرعت های Vx و Vy پرتابه بصورت زیر است.

Vx = V0 × cos (60) =15 m/s
Vy = V0 × sin (60) – g×t

مقدار سرعت V1 آباکوس با سرعت Vx مرجع [1] منطبق است. مقدار دهی رابطه Vy، به رابطه خطی بر حسب زمان خواهید رسید و چنانچه به پارامتر t مقادیر ستون زمان در شکل 30 را بدهید به نتایج آباکوس خواهید رسید.

در نقطه اوج پرتابه، سرعت آن به صفر می رسد. برای بدست آوردن زمان تقریبی رسیدن پرتابه به نقطه اوج، لغزنده را مانند شکل 31 توسط موس به سمت میانه جدول حرکت دهید. سرعت ذره حوالی زمان 2.65 s پس از شروع حرکت به مقدار صفر می رسد. برای رسیدن به زمان دقیقتر باید نمو زمانی را در ماژول Step و در برگه Incrementation کوچکتر کنید. این مقدار برای ما قابل قبول است زیرا زمان رسیدن به نقطه اوج در مرجع [1] با سه رقم اعشار بصورت زیر بدست آمده است.

Vy = V0 × sin (60) – g×t → 0 = V0 × sin (60) – g×t → tpeak = V0 × sin (60) / g = 2.648 s

 

شکل 31: زمان تقریبی رسیدن پرتابه به نقطه اوج از روی جدول سرعت V2

 

برای رسم نمودار جابجایی ها روند بیان شده برای رسم سرعت ها را تکرار کنید و در پنجره History Output، متغیرهای جابجایی U1 و U2 را مانند شکل 32 انتخاب کرده و رسم نمایید.

 

شکل 32: انتخاب متغیرهای مربوط به جابجایی U1 و U2 ذره m

 

نمودارهای این دو جابجایی در شکل 33 نشان داده شده است. با توجه به نتایج سرعت ها، چون سرعت ذره در راستای x ثابت است در نتیجه جابجایی آن نسبت به زمان خطی می باشد و سرعت خطی ذره در راستای y حاکی از آن است که جابجایی آن در راستای y نسبت به زمان سهموی خواهد بود و حداکثر مقدار این جابجایی (نقطه اوج) در زمان 2.65 s اتفاق می افتد.

 

شکل 33: نمودار جابجایی ذره m در دو راستای x و y

 

رابطه جابجایی در راستای x و y طبق مرجع [1] بصورت زیر است.

Ux = Vx t
Uy = V0 × sin (60) ×t – g×t2 / 2

با مقدار گذاری پارامترها در روابط فوق، به نتایج آباکوس خواهید رسید.

برای بدست آوردن نمودار مسیر پرتابه باید نمودارهای جابجایی در دو راستای x و y با یکدیگر ترکیب شوند که این هدف با حذف متغیر زمان از هر دو نمودار برآورده می شود. بدین منظور روی آیکون (Create XY Data) کلیک کرده و در پنجره باز شده گزینه نشان داده شده در شکل 34 را انتخاب کنید. این گزینه امکان پیاده سازی توابع ریاضی روی نمودارها را به شما خواهد داد. روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 34: گزینه اعمال توابع ریاضی روی نتایج

 

در پنجره باز شده، مطابق شکل 35 در قسمت Operators روی دستور Combine کلیک کنید تا در قسمت بالایی پنجره وارد شود. سپس روی متغیر مربوط به جابجایی U1 دابل کلیک کنید تا وارد دستور Combine در بالای پنجره شود. مجدداً روی متغیر مربوط به جابجایی U2 دابل کلیک کنید. روی دکمه Plot Expression کلیک کنید تا نمودار جابجایی U2 بر حسب U1 رسم شود.

 

شکل 35: مراحل پیاده سازی دستور Combine روی متغیرهای U1 و U2

 

نمودار نشان داده شده در شکل 36 همان مسیر پرتابه در صفحه xy می باشد.

 

شکل 36: مسیر حرکت پرتابه در صفحه xy

 

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 46

دیدگاه شما چیست؟