محاسبه سرعت غلاف متصل به فنر روی میله زاویه دار

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- استفاده از سیستم واحدهای انگلیسی (اینچ-پوند-ثانیه)

2- ایجاد سیستم مختصات محلی

3- استفاده از نقاط فرضی (Datum point)

4- تعریف شرایط مرزی در سیستم مختصات محلی

5- نگاشت نتایج خروجی روی سیستم مختصات محلی

غلاف 3 پوندی در نقطه A از حالت سکون رها شده و در اثر نیروی جاذبه و فنر پیش فشرده با سختی 4 lb/ft، روی میله بدون اصطکاک مورب پایین می آید. اگر طول آزاد فنر 50 in باشد، سرعت غلاف در نقطه B را محاسبه کرده و با نتایج مرجع [1] مقایسه کنید.

 

شکل 1: غلاف 3 پوندی در صفحه قائم

 

مدلسازی مسئله:

ایجاد Step ها:

وارد ماژول Step شوید. در مسئله حاضر مانند درس پنجم بایستی ابتدا فشردگی اولیه فنر را مدل سازی کنیم و پس از آن جرم را رها سازیم. بدین منظور به ماژول Step رفته و با کلیک روی آیکون (Create Step) مانند شکل 2 درس پنجم، یک Step از نوع Static, General با نام Compression ایجاد کنید. اگر به یاد داشته باشید در درس پنجم و در اولین Step، گزینه Nlgeom را در حالت Off قرار داده بودیم و در هنگام حل مسئله با پیام هشدار شکل 8 درس پنجم مواجه شدیم و بیان کردیم در این گونه مسائل فعال یا غیر فعال بودن این گزینه روی نتایج بی تاثیر است اما برای حذف این پیام هشدار، در اینجا گزینه Nlgeom را در حالت On قرار می دهیم. برای مرحله رهاسازی فنر، مانند شکل 3 درس پنجم، یک Step از نوع Dynamic, Implicit با نام Release و با پارامترهای زیر ایجاد نمایید. همانطور که مشاهده می کنید بدلیل فعال بودن گزینه Nlgeom در Step قبل، این گزینه در این Step فعال است.

Time period: 2
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.02

در حالی که هنوز در ماژول Step هستید روی آیکون (Field Output Manager) کلیک کرده و مانند شکل 2 با انتخاب F-Output-1 در مرحله Release و فشردن دکمه Edit، پنجره Edit Field Output Request را باز کنید.

 

شکل 2: ویرایش خروجی های میدانی یا Field Output ها

 

همانگونه که در پنجره باز شده و شکل 3 مشاهده می شود، بصورت پیش فرض خروجی هایی از نوع جابجایی، سرعت و شتاب در تمام تکرار های حل ذخیره خواهد شد که این موضوع خواسته ما نیز هست. لذا با زدن روی دکمه OK این پنجره را ببندید. توجه داشته باشید که به خاطر استاتیکی بودن مرحله Compression، خروجی های سرعت و شتاب وجود ندارند و به همین خاطر در خروجی های مربوط به آن مشاهده نمی شوند (حتما این موضوع را با کلیک روی Step با نام Compression و مشاهده خروجی های آن بررسی کنید).

 

شکل 3: درخواست سرعت و شتاب به عنوان خروجی در Release Step

 

ایجاد فنر:

وارد ماژول Interaction شوید. با توجه به صورت مسئله، طول آزاد فنر 50 in است و در واقع با 10 in فشرده شدن به طول 40 in رسیده است. بنابراین مانند شکل 4 در ابتدا نقاط دو سر فنر (O’-A) باید فاصله ای برابر 50 in داشته باشند و در مرحله Compression با 10 in جابجایی، فنر را در ابتدای مرحله Release در حالت فشرده (O-A) قرار می دهیم. با در نظر گرفتن این موضوع و فرض قرار گیری نقطه A روی مبدا مختصات، می توان مختصات نقاط A، B و O’ را مانند شکل 4 بیان نمود.

 

شکل 4: مختصات نقاط لازم برای مدل سازی سیستم

 

با کلیک روی آیکون (Create Reference Point) 2 نقطه به ترتیب به مختصات (0,0) و (0,50) ایجاد کنید. به منظور قرارگیری کامل این نقاط در viewport، روی آیکون (Auto-Fit View) کلیک کنید. اکنون یک فنر بین این دو نقطه تعریف می کنیم. توجه کنید که در صورت سوال، سختی فنر بر حسب lb/ft داده شده است و چون ابعاد بر حسب اینچ استفاده شده است در نتیجه سختی فنر بایستی به lb/in تبدیل شود. روند تبدیل آن بصورت زیر است.

4 (lb/ft) = 4 (lb/ft × 1ft/12 in) = 4/12 (lb/in) = 0.333333 (lb/in)

لذا بین این دو نقطه فنری با سختی 0.333333 (6 رقم اعشار) ایجاد کنید.

سپس جرم غلاف را روی نقطه A تعریف کنید. بدین منظور ابتدا بایستی وزن 3 lbf را بر حسب واحد جرم lbf s2/in در برگیرنده اینچ-پوند-ثانیه محاسبه کنیم. ابتدا شتاب جاذبه را بر حسب اینچ و ثانیه محاسبه می کنیم.

g = 32.174 (ft/s2) = 32.174 (ft/s2 × 12in/ft) = 386.088 (in/s2)

می دانیم روابط زیر بین واحدهای جرم و وزن در سیستم انگلیسی وجود دارد.

W = m×g ==> 3 (lbf) = m × 386.088 (in/s2)
m = W/g => m = 3/386.088 (lbf s2/in) = 0.00777025 (lbf s2/in)

با توجه به محاسبات فوق، مقدار جرم را 0.00777025 وارد نمایید.

ایجاد سیستم مختصات محلی:

همانطور که می دانید غلاف تنها در راستای محور میله (مسیر AB) حرکت می کند که این مسیر در راستای محورهای اصلی نیست، لذا راستای این مسیر را با ایجاد سیستم مختصات محلی تعریف می کنیم. برای تعریف این سیستم مختصات، ابتدا یک Datum point ایجاد می کنیم. از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Tools > Datum

سپس گزینه های نشان داده شده در شکل 5 را انتخاب کرده و در قسمت اعلان، مختصات (36,-20) را وارد کرده و دکمه Enter را بفشارید.

 

شکل 5: گزینه های انتخاب شده برای ایجاد Datum point بر اساس مختصات آن

 

با اینکار یک نقطه با علامت دایره زرد رنگ که در شکل 6 نیز مشخص شده است به Viewport اضافه می شود.

 

شکل 6: Datum Point ایجاد شده در Viewport

 

حال همانطور که پنجره Create Datum باز است گزینه های نشان داده شده در شکل 7 را برای تعریف سیستم مختصات محلی انتخاب نمایید.

 

شکل 7: دستور ایجاد مختصات محلی با استفاده از 3 نقطه

 

سپس در پنجره باز شده، بطور پیشفرض گزینه Rectangular که مربوط به سیستم مختصات کارتزین است انتخاب شده است. روی دکمه Continue کلیک کنید.

در قسمت اعلان از شما خواسته می شود که نقطه ای را بعنوان مبدا مختصات انتخاب نمایید. بدین منظور روی نقطه RP-1 در Viewport کلیک کنید. در مرحله بعد بایستی یک نقطه را بعنوان نقطه ای روی محور X سیستم مختصات محلی تعریف کنیم که در اینجا نقطه B که بصورت Datum در مرحله قبل ایجاد شد را انتخاب می کنیم. در مرحله سوم بایستی یک نقطه روی صفحه X-Y به نرم افزار داده شود تا جهت محور Z نیز مشخص گردد. اما همانطور که در Viewport بصورت یک سیستم مختصات قرمز رنگ ملاحظه می کنید، سیستم مختصات مورد نظر ما تا این مرحله نیز ایجاد شده است. بنابراین بدون اینکه نقطه ای را در قسمت اعلان وارد کنید روی دکمه Create Datum بزنید تا کار ایجاد سیستم مختصات محلی نهایی گردد. با اینکار یک سیستم مختصات زرد رنگ روی نقطه A که جهت محور X آن همراستای میله است ظاهر خواهد شد. پس از ایجاد سیستم مختصات، پنجره Create Datum CSYS مجدداً باز می شود. این پنجره و پنجره Create Datum را ببندید.

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه های شکل 8 را انتخاب نموده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 8: گزینه های ایجاد شرط مرزی در Initial Step

 

سپس نقطه RP-1 را در Viewport انتخاب کرده و دکمه Done در نوار اعلان را بزنید. برای معرفی سیستم مختصات محلی، در پنجره باز شده روی آیکون نشان داده شده در شکل 9 کلیک نمایید.

 

شکل 9: آیکون Edit برای معرفی سیستم مختصات محلی در تعریف شرایط مرزی

 

در قسمت اعلان از شما خواسته شده است تا یک سیستم مختصات را انتخاب کنید. می توانید از Viewport سیستم مختصات ایجاد شده در مرحله قبل را انتخاب نمایید یا در سمت راست نوار اعلان روی دکمه Datum CSYS List بزنید و مانند شکل 10، از لیست سیستمهای مختصات، گزینه Datum csys-1 که همان سیستم مختصات مورد نظر است را برگزینید. در نهایت نیز روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 10: انتخاب سیستم مختصات Datum csys-1

 

اکنون گزینه های U1 و U2 را که به ترتیب مربوط به جابجایی در جهتهای X و Y سیستم مختصات محلی است فعال کرده و روی دکمه OK بزنید. به این ترتیب علامت های اعمال شرط مرزی در راستای X و Y سیستم مختصات محلی روی این نقطه نشان داده می شوند. نمایی از پنجره Edit Boundary Condition در شکل 11 نشان داده شده است.

 

شکل 11: گزینه های نهایی برای اعمال شرایط مرزی در سیستم مختصات محلی

 

حال باید فنر را فشرده کنیم. پس مانند شکل 12، با استفاده از آیکون (Create Boundary Condition)، به نقطه (RP-2) O’ در مرحله Compression جابجایی 10 in در خلاف جهت U2 اعمال کرده و جابجایی U1 آن را نیز مقید کنید. مقید کردن درجه آزادی U1 این نقطه بخاطر این است که در حین حرکت جرم، راستای فنر تغییر می کند و باعث ایجاد مولفه نیروی فنر در جهت X می شود.

 

شکل 12: گزینه های لازم برای فشردن فنر

 

با ایجاد این دو شرط مرزی، فنر به اندازه 10 in فشرده خواهد شد. اکنون نوبت مدل سازی رها کردن فنر و حرکت جرم روی میله شیبدار است. برای اینکار روی آیکون (Boundary Condition Manager) کلیک نمایید تا لیست شرایط مرزی BC-1 و BC-2 و نحوه عملکرد آنها در Step های مختلف به نمایش درآید. در شکل 5 درس پنجم آموختید می توان شرایط مرزی ای که در یک Step ایجاد شده است را در Step های بعدی غیر فعال نمود. اما در این درس برای رها سازی جرم در راستای میله، کافیست درجه آزادی U1 جرم را که مربوط به جابجایی در جهت محور X سیستم مختصات محلی است در مرحله Release آزاد نماییم. ازینرو بجای غیر فعال سازی کامل BC-1 در مرحله Release، همانطور که در شکل 13 نشان داده شده است، آن را با فشردن دکمه Edit ویرایش می نماییم.

 

شکل 13: انتخاب شرط مرزی BC-1 در مرحله Release و ویرایش آن

 

در پنجره باز شده، گزینه U1 را از حالت انتخاب خارج نمایید. بدیهی است که درجه آزادی U2 بایستی کماکان مقید باقی بماند. همچنین به گزینه Amplitude که روی instantaneous یا فوری است دقت کنید. این گزینه یعنی در مرحله Release جرم بصورت ناگهانی در راستای میله رها خواهد شد که این مسئله مطلوب ما نیز هست. روی دکمه OK کلیک کنید.

همانطور که در پنجره Boundary Condition Manager و شکل 14 ملاحظه می کنید، در خانه مربوط به شرط مرزی BC-1 در مرحله Release عبارت Modified نوشته می شود.

 

شکل 14: عبارت Modified که نشانگر تغییر در شرط مرزی مربوطه است

 

تعریف شتاب گرانش:

مانند شکل 15، با استفاده از آیکون (Create Load) در مرحله Release، شتاب جاذبه زمین را در خلاف جهت Y و به مقدار 386.088 اعمال کنید. همانطور که در ابتدای این درس بیان شد، این شتاب گرانش بر حسب in/s2 است.

 

شکل 15: وارد نمودن شتاب گرانش بر حسب in/s2

 

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. همانطور که مشاهده می کنید در برگه Warnings پیام هشدار گزینه nlgeom که در شکل 8 درس پنجم مشاهده کردید دیگر وجود ندارد.

مشاهده و بررسی نتایج:

همانطور که در صورت سوال خواسته شده است بایستی سرعت غلاف را وقتی در جهت X به میزان 36 in حرکت نموده است بدست آوریم. بدین منظور ابتدا مشخص می کنیم در چه زمانی این جرم به این موقعیت می رسد. بدین منظور روی آیکون (Create XY Data) کلیک کنید. سپس در پنجره باز شده گزینه ODB field output را انتخاب کرده و با زدن دکمه Continue پنجره XY Data from ODB Field Output باز خواهد شد. در این پنجره ابتدا از لیست بازشوی Position، گزینه Unique Nodal را انتخاب نمایید. پس از آن از لیست خروجی ها گزینه U1 که مربوط به جابجایی در جهت محور X است را انتخاب کنید. سپس به برگه Elements/Nodes بروید. سپس گره مربوط به نقطه A یا همان جرم را به پنجره XY Data from ODB Output اضافه کرده و روی دکمه Plot کلیک کنید. به این ترتیب نمودار جابجایی-زمان گره مورد نظر مانند شکل 16 رسم خواهد شد.

 

شکل 16: نمودار جابجایی-زمان جرم در راستای X

 

همانگونه که ملاحظه می کنید جواب مسئله، قبل از زمان 1.7s (1s مرحله Compression و 0.7s مرحله Release) قابل استفاده است و پس از این زمان، نتایج بلااستفاده خواهد بود. لذا می توانستیم با انتخاب 0.7s به عنوان Time Period در مرحله Release و ریز کردن Increment Size ها به جواب دقیقتری دست یابیم. بر این اساس به ماژول Step بازگردید و با ویرایش مرحله Release مقدار Time period را به 0.7 تغییر دهید. سپس به برگه Incrementation بروید و مقدار Increment size را به 0.001 تغییر داده و روی OK کلیک کنید. مجدداً به ماژول Job رفته و مسئله را تحلیل نمایید. پس از اتمام حل با زدن روی دکمه Results</