محاسبه جابجایی و سرعت ذره دارای شتاب وابسته به سرعت

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- ایجاد مدل بدون استفاده از ماژول Part

2- تعریف دمپر خطی

3- اعمال شرط مرزی صفر روی یک نقطه

ذره ای از حالت سکون در داخل مخزنی از روغن رها می شود. شتاب رو به پایین ذره توسط رابطه زیر بیان می شود. ‬‬

‬‬
a = g – k ν

در این رابطه، g شتاب جاذبه زمین، ν سرعت ذره و k ثابتی است که وابسته به ویسکوزیته روغن است. هدف، به دست آوردن جابجایی و سرعت ذره بر حسب زمان و مقایسه آنها با نتایج مرجع [1] می باشد. ‬‬‬‬‬

مدلسازی مسئله:

همانطور که میدانید هنر حل مسئله در مهندسی در درجه اول به ساده سازی صحیح آن بستگی دارد. برای مدل سازی این مسئله باید به درک صحیحی از هندسه مسئله برسیم. بدین منظور روابط زیر را به دقت دنبال کنید.

به این ترتیب مسئله تبدیل به یک سیستم جرم-دمپر می شود که به لحاظ هندسی قابل لمس است. شکل 1 نشان دهنده سیستم مورد نظر می باشد. دقت کنید که جرم ذره هیچ تاثیری در پاسخ مسئله نخواهد داشت اما چون نرم افزار آباکوس مبتنی بر روش المان محدود است در نتیجه جرم باید تعریف شود تا قادر به تشکیل ماتریس جرمی و نهایتا حل مسئله شود. با فرض جرم 1kg برای ذره، ضریب دمپر بصورت زیر محاسبه می شود.

C=m×k=1kg×1.5 1/s=1.5 kg/s

 

شکل 1: سیستم جرم-دمپر حاصل از ساده سازی مسئله

 

در این درس قصد داریم مدلسازی را بدون ایجاد Part (از نوع نقطه) انجام دهیم تا به شما نشان دهیم که گاهی اوقات برای مدلسازی نیازی به استفاده از ماژول Part نیست و می توان از ابزارهای موجود در ماژول های دیگر برای ایجاد آیتم های مدل استفاده نمود.

تعریف Step:

در این درس به عنوان اولین قدم در مدلسازی، یک Step ایجاد می کنیم. وارد ماژول Step شوید و یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای زیر ایجاد کنید.

Time period: 5
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.05

ایجاد نقاط دو سر دمپر:

وارد ماژول Interaction شوید. با کلیک روی آیکون (Create Reference Point) 2 نقطه به ترتیب به مختصات (0,0,0) و (0,-1,0) ایجاد نمایید. پس از هر بار وارد کردن مختصات در قسمت اعلان، دکمه Enter صفحه کلید را فشار دهید. به این ترتیب مانند شکل 2، دو نقطه به نام های RP-1 و RP-2 در viewport ایجاد می شود. این دو نقطه نقاط ابتدا و انتهای دمپر می باشند و با توجه به اینکه عملکرد دمپر بر اساس سرعت است در نتیجه، فاصله این دو نقطه از هم اهمیتی ندارد.

 

شکل 2: نقاط ایجاد شده در ماژول Interaction

 

ایجاد دمپر خطی:

برای تعریف دمپر خطی، از نوار منو مسیر نشان داده شده در شکل 3 را دنبال کنید.

 

شکل 3: مسیر تعریف دمپر خطی در نوار منو

 

در پنجره Create Springs/Dashpots گزینه نشان داده شده در شکل 4 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک نمایید.

 

شکل 4: پنجره Create Springs/Dashpots و گزینه ایجاد دمپر بین دو نقطه

 

در قسمت اعلان از شما خواسته شده است تا نقاط دو سمت دمپر را انتخاب نمایید. در viewport ابتدا RP-1 و سپس RP-2 را انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. در پنجره باز شده، مطابق شکل 5 گزینه Spring stiffness را از حالت انتخاب خارج کرده و گزینه Dashpot coefficient را فعال کنید. سپس ضریب دمپر را 1.5 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 5: پنجره Edit Springs/Dashpots برای تعریف ضریب دمپر

 

اختصاص جرم به ذره:

برای ایجاد جرم، از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Special > Inertia > Create

در پنجره Create Inertia گزینه نشان داده شده در شکل 6 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 6: پنجره Create Inertia برای ایجاد جرم نقطه ای

 

مانند شکل 7، در نوار اعلان نام Set را M وارد کرده و سپس نقطه RP-2 را انتخاب کنید.

 

شکل 7: تعریف Set با نام M در قسمت اعلان

 

پس از انتخاب نقطه مورد نظر، دکمه Done در نوار اعلان را کلیک کنید تا پنجره Edit Inertia باز شود. این پنجره را مطابق شکل 8 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. علامت سبز رنگی به نشانه ایجاد جرم متمرکز روی نقطه RP-2 پدیدار خواهد شد.

 

شکل 8: ایجاد جرم 1kg روی نقطه RP-2

 

درخواست خروجی های جابجایی و سرعت:

به ماژول Step بازگردید. در این قسمت می خواهیم خروجی های انرژی را که بصورت History output هستند اصلاح کرده و بجای آن ها خروجی های موردنظرمان را درخواست دهیم. روی آیکون نشان داده شده در شکل 9 کلیک کنید.

 

شکل 9: انتخاب آیکون مدیریت خروجی های زمانی

 

سپس در پنجره History Output Requests Manager، گزینه نشان داده شده در شکل 10 را انتخاب کرده و روی دکمه Edit کلیک کنید.

 

شکل 10: ویرایش خروجی های درخواستی

 

مانند شکل 11، در پنجره باز شده ابتدا گزینه Energy را غیر فعال کنید تا لیست متغیرهای خروجی پاک شود.

 

شکل 11: غیر فعال کردن خروجی های انرژی

 

سپس مانند شکل 12، گزینه Domain را روی Set تنظیم کرده و سپس از لیست باز شو Set با نام M را انتخاب کنید. همچنین جلوی Frequency تنظیمات نشان داده شده را انتخاب نمایید تا خروجی ها به ازای هر نمو زمانی در فایل خروجی تحلیل ذخیره شود. در نهایت نیز U2 و V2 که به ترتیب مربوط به جابجایی و سرعت در راستای y هستند را به عنوان خروجی انتخاب کنید. همچنین در صورت صلاحدید می توانید شتاب در راستای y را که با حرف A2 مشخص می شود بعنوان خروجی درخواست دهید تا در نتایج مورد بررسی قرار دهیم. روی دکمه OK کلیک کنید تا درخواست کامل شود.

 

شکل 12: درخواست خروجی های جابجایی و سرعت در راستای y

 

تعریف جاذبه زمین:

وارد ماژول Load شوید. مانند شکل های 15 و 16 درس اول، با استفاده از آیکون (Create Load) جاذبه را در راستای (Component 2) y به میزان -9.81 وارد کنید.

تعریف شرط مرزی:

باید نقطه بالایی دمپر را ثابت نگه داریم. روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 13 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 13: پنجره ایجاد شرط مرزی برای مقید کردن نقطه بالایی دمپر

 

دقت کنید اگرچه در Step-1 هم میتوانید این شرط مرزی را اعمال کنید اما بهتر است که به عنوان شرط مرزی اولیه که از ابتدا وجود دارد در Initial Step تعریف شود.

در نوار اعلان، گزینه مربوط به ایجاد Set را از حالت انتخاب خارج کنید تا Set های اضافه ایجاد نشود. سپس نقطه RP-1 را انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق با شکل 14 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 14: مقید کردن درجه آزادی U2 ابتدای دمپر

 

توجه داشته باشید چون دمپر مورد نظر فقط به RP ها متصل است و به جای دیگری متصل نیست در نتیجه نقاط اتصال آن فقط در راستای عملکرد دمپر دارای درجه آزادی است. لذا کافی است تکیه گاه مذکور را تنها در راستای (U2) y مقید نماییم.

جرم متمرکزی که به نقطه RP-2 اختصاص دادیم امکان جابجایی در هر سه راستا را دارد اما از آنجایی که مسئله مورد نظر دینامیکی است و در راستاهای x و z هیچ نیرویی به ذره اعمال نمی شود بنابراین تنها در راستای y جابجایی داریم و نیازی به اعمال شرط مرزی به آن نیست.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. همانطور که در شکل 15 مشاهده می کنید در برگه Warnings، هشداری مبنی بر اینکه دو ناحیه جدا از هم در مسئله وجود دارد به شما نشان داده می شود. این پیام مربوط به جدا بودن دو نقطه RP از هم می باشد که با توجه به وجود دمپر بین این دو نقطه این پیام مهم نیست و اختلالی در نتایج ایجاد نمی کند.

 

شکل 15: پیام هشدار مبنی بر وجود دو ناحیه جدا از هم در مدل

 

روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید. همانطور که در شکل 16 نشان داده شده است در قسمت Legend حرف S نشان داده شده است. حرف S اگرچه نماد تنش است اما در فنرها و دمپرهای خطی بیانگر نیروی موجود در آنها می باشد.

 

شکل 16: مقدار نیروی فنر در زمان 5 ثانیه

 

برای استخراج نمودارهای جابجایی، سرعت و شتاب روی آیکون (Create XY Data) کلیک کنید. از طریق گزینه ODB history output به خروجی های مورد نظر در شکل 17 دست پیدا کنید.

 

شکل 17: خروجی های زمانی ذره

 

نمودار جابجایی، سرعت و شتاب ذره را رسم کنید. این نمودارها به ترتیب در شکلهای 18 تا 20 نشان داده شده اند.

 

شکل 18: نمودار جابجایی-زمان ذره

 

شکل 19: نمودار سرعت-زمان ذره

 

شکل 20: نمودار شتاب-زمان ذره

 

جواب های تحلیلی جابجایی و سرعت طبق مرجع [1] بصورت زیر است.

همانطور که در شکل 18 نشان داده شده است نمودار جابجایی در ابتدا منحنی و سپس حالت خطی به خود گرفته است. با توجه به معادله جابجایی، با افزایش زمان، مقدار عبارت نمایی به سمت صفر میل خواهد کرد و آنچه باقی می ماند رابطه خطی با زمان است. مقایسه شکل 19 و معادله سرعت نیز حاکی از آن است که با افزایش زمان، سرعت به مقدار -g/k میل می کند و هنگامی که سرعت ثابت شود مقدار شتاب هم به صفر میل خواهد کرد که با بررسی نمودار شکل 20 و معادله شتاب به همین استنباط خواهید رسید.

در صورت نیاز می توانید برای مقایسه عددی روابط تحلیلی با نتایج عددی آباکوس، مقادیر عددی هر یک از خروجی ها را طبق روش بیان شده در شکل های 27 تا 36 درس اول استخراج کنید. مقادیر عددی این نمودارها در شکلهای 21 تا 23 و برای زمانهای ابتدا و انتها آورده شده است.

 

شکل 21: مقادیر عددی جابجایی ذره در زمانهای ابتدایی و انتهایی تحلیل

 

شکل 22: مقادیر عددی سرعت ذره در زمانهای ابتدایی و انتهایی تحلیل

 

شکل 23: مقادیر عددی شتاب ذره در زمانهای ابتدایی و انتهایی تحلیل

 

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 6th Edition., 2009, p 37, problem 2/45

دیدگاه شما چیست؟