محاسبه آهنگ تغییر فاصله r ذره متحرک روی سطح شیبدار نسبت به یک نقطه

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- نحوه اعمال شتاب به یک جسم

2- تعریف کانکتور برای اندازه گیری نرخ تغییر یک پارامتر نسبت به زمان

ذره کوچک P ابتدا در فاصله R = 0.3 m از مبدا مختصات O قرار دارد. این ذره در لحظه t = 0 از حال سکون با شتاب ثابت a = 0.8 m/s2 از نقطه A و رو به بالای سطح شیبدار 20 درجه شروع به حرکت می کند. نرخ تغییر r نسبت به زمان را رسم کرده و نتایج را با مرجع [1] مقایسه کنید.

 

شکل 1: هندسه حرکت ذره P روی سطح شیبدار

 

ماژول Step:

وارد ماژول Step شوید. یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای زیر ایجاد نمایید.

Time period: 2
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.02

مدلسازی کانکتور برای اندازه گیری جابجایی، سرعت و شتاب نسبی:

وارد ماژول Interaction شوید. چون ذره P از نقطه A شروع به حرکت می کند پس دو عدد Reference Point معادل با نقطه O و نقطه A بترتیب با مختصات (0,0,0) و (0.3,0,0) ایجاد کنید. برای اندازه گیری جابجایی نسبی و… ساده ترین کانکتور را که از نوع Axial است انتخاب می کنیم. بدین منظور توسط آیکون (Create Connector Section) مانند شکل 4 درس هفتم یک Section از نوع Axial بدون هیچ گونه خواصی ایجاد کنید. در اینجا نیازی به تعریف خاصیتی مثل Elasticity نیست زیرا کانکتور مورد نظر فقط برای اندازه گیری پارامترها استفاده می شود. پس از ایجاد Section مربوطه، روی آیکون (Connector Builder) کلیک کرده و RP-1 و RP-2 را بعنوان نقاط ابتدا و انتهای کانکتور انتخاب کرده و مانند شکل 2، Section قبل را نیز به آن اختصاص دهید.

 

شکل 2: گزینه های مشخص شده برای تعریف صحیح کانکتور

 

تعریف جرم:

با توجه به دینامیکی بودن مسئله، روی نقطه RP-2 جرمی به اندازه 1kg ایجاد کنید.

درخواست خروجی های جابجایی، سرعت و شتاب نسبی:

برای درخواست خروجی های مسئله، بار دیگر به ماژول Step بازگردید. روی آیکون (History Output Manager) کلیک کرده و در پنجره باز شده روی دکمه Edit کلیک کنید. در پنجره باز شده، ابتدا خروجی Energy را از حالت انتخاب خارج کرده و از لیست بازشوی Domain گزینه Set را انتخاب نمایید. سپس از لیست بازشوی روبروی آن Set با نام Wire-1-Set-1 را انتخاب کنید. این Set در هنگام ایجاد کانکتور، توسط نرم افزار ایجاد شده است تا در مراحل بعد بتوان از آن استفاده کرد. در ناحیه مشخص شده در شکل 3، خروجی های cu1، cv1 و ca1 را وارد کنید. برای مشخص شدن گزینه مربوط به این خروجی ها، گزینه Select from list below را که در شکل 3 مشخص شده است انتخاب کنید. بررسی کنید که گزینه ها در کدام قسمت ها قرار دارند. همانطور که مشاهده می کنید، این گزینه ها مربوط به خروجی های قسمت Connector می باشند. خروجی CU1 جابجایی، CV1 سرعت و CA1 شتاب دو سر کانکتور نسبت به هم می باشند یعنی هر سه خروجی بصورت نسبی گزارش می شوند. دقت کنید که کانکتور از نوع Axial فقط در راستای 1 (راستای محور کانکتور) خروجی دارد و خروجی سایر راستاها برای آن بی معنی و برابر صفر می باشد. پس عدد 1 در خروجی های CU1 و… مربوط به همین راستای طولی کانکتور است. خروجی ها را نیز به ازای هر نمو زمانی درخواست داده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 3: گزینه های مورد نیاز برای درخواست خروجی های نسبی در کانکتور

 

اعمال شرط مرزی و شتاب اولیه:

وارد ماژول Load شوید. جابجایی نقطه RP-1 را در Initial Step در دو راستای 1 و 2 مقید کنید.

همانطور که در شکل 1 مشاهده می کنید ذره P در راستای سطح شیبدار حرکت می کند. برای اعمال شرط مرزی به این نقطه، نیاز به تعریف سیستم مختصات محلی در راستای حرکت ذره داریم. به خاطر دارید که در درس ششم برای ایجاد سیستم مختصات محلی، ابتدا یک Datum point بر اساس مختصات ایجاد کردیم و سپس سیستم مختصات محلی را توسط این نقطه بوجود آوردیم. در این درس، سیستم مختصات محلی را مستقیماً با استفاده از مختصات ایجاد می کنیم. از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Tools > Datum

پنجره باز شده را مطابق شکل 4 کامل کنید تا پنجره Create Datum CSYS باز شود.

 

شکل 4: گزینه های ایجاد سیستم مختصات محلی با استفاده از 3 نقطه

 

پنجره Create Datum CSYS را مطابق شکل 5 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 5: انتخاب سیستم مختصات کارتزین

 

در نوار اعلان، مختصات (0,0,0) را به عنوان مبدا مختصات پذیرفته و Enter را بزنید. دقت کنید محل ایجاد مبدا مختصات اهمیتی ندارد و تنها راستای سیستم مختصات است که اهمیت دارد. اکنون باید مختصات نقطه ای را که روی محور X سیستم مختصات محلی قرار می گیرد برای نرم افزار تعریف کنیم. راستای سطح شیب دار را می توان توسط نقطه ای به مختصات (cos20,sin20) توصیف کرد.

 

نکته 1:

برای انجام عملیات ریاضی می توانید از Command window در بخش پایین نرم افزار استفاده کنید. برای این کار روی آیکون (Kernel Command Line Interface) در گوشه پایین سمت چپ نرم افزار کلیک کنید تا این پنجره در حالت فعال قرار گیرد. سپس مانند شکل (الف) محاسبات را انجام دهید. این پنجره، خط فرمان زبان برنامه نویسی پایتون است که در دوره های اسکریپت نویسی و پلاگین نویسی در آباکوس به طور فراوان از آن استفاده خواهیم کرد. توجه داشته باشید که ورودی توابع سینوس و کسینوس باید برحسب رادیان باشد.

 

شکل الف: محاسبه سینوس و کسینوس زاویه 20 درجه

 

بدین منظور در نوار اعلان مطابق شکل 6، مقدار عددی مختصات (cos20,sin20) را با کپی کردن (ctrl+c) از خط فرمان پایتون و وارد کردن در قسمت مربوطه (ctrl+v) بسازید و در انتها Enter را بزنید.

 

شکل 6: وارد کردن مختصات نقطه ای روی سطح شیب دار در نوار اعلان

 

در نهایت در نوار اعلان روی دکمه Create Datum کلیک کنید تا سیستم مختصات محلی روی RP-1 ایجاد شود. پنجره Create Datum را که مجدداً باز می شود با زدن دکمه Cancel ببندید. پنجره Create Datum را نیز ببندید.

توسط آیکون (Create Boundary Condition)، مانند شکلهای 8 تا 11 درس ششم، نقطه RP-2 را در راستای U2 سیستم مختصات محلی با نام Ramp که در مرحله قبل ایجاد کردید مقید کنید.

برای اعمال شتاب به نقطه RP-2 مجدداً روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 7 کامل کرده و دکمه Continue را بزنید.

 

شکل 7: گزینه های مورد نیاز برای اعمال شتاب

 

نقطه RP-2 را انتخاب و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. در پنجره باز شده با استفاده از آیکون (Edit) مانند شکلهای 9 و 10 درس ششم، سیستم مختصات Ramp را انتخاب کرده و پنجره Edit Boundary Condition را مطابق شکل 8 کامل نمایید. دقت کنید چون شتاب به صورت ناگهانی اعمال می شود گزینه Amplitude در حالت Instantaneous قرار می گیرد. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 8: گزینه های تعریف شتاب روی نقطه RP-2 در راستای سطح شیبدار

 

برای واضح دیده شدن شرایط مرزی اعمال شده، از نوار منو مسیر زیر را دنبال کنید.

View > Assembly Display Options

پنجره باز شده را مطابق شکل 9 کامل کرده و دکمه OK را بزنید.

 

شکل 9: گزینه های مورد نیاز برای تنظیم اندازه نمادهای شرایط مرزی

 

همانطور که در شکل 10 نشان داده شده است، اندازه نمادهای شرایط مرزی بزرگتر شده اند.

 

شکل 10: اندازه نمادهای شرایط مرزی بعد از اعمال تغییرات

 

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام حل روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. برای مشاهده کانکتورها مانند شکلهای 12 و 13 درس هفتم عمل نمایید. روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید تا کانتور اندازه شتاب را مشاهده کنید. با استفاده از آیکون (Apply Front View) نمای دید را صفحه XY قرار دهید. برای دیدن نحوه حرکت ذره می توانید روی آیکون نشان داده شده در شکل 11 کلیک کنید.

 

شکل 11: آیکون مورد نظر برای نمایش حرکت ذره P

 

برای توقف نمایش، مجددا روی همین آیکون کلیک کنید. برای استخراج خروجی ها، روی آیکون (Create XY Data) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه ODB history output را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. سپس در پنجره باز شده، مطابق شکل 12 گزینه مربوط به جابجایی ذره را انتخاب و دکمه Plot را بزنید تا نمودار جابجایی ذره بر حسب زمان رسم شود.

 

شکل 12: انتخاب خروجی جابجایی ذره P برای رسم نمودار آن

 

در شکل 13، نمودار جابجایی-زمان ذره به روش تحلیلی و نتیجه حاصل از آباکوس نشان داده شده است. این نمودار توسط برنامه MATLAB که در انتهای این درس آورده شده رسم شده است. توجه کنید که خروجی CU1 حاصل از آباکوس با پارامتر r متفاوت است زیرا بین آنها رابطه r = CU1 + 0.3 برقرار است. یعنی به خاطر بسپارید که CU1 جابجایی ذره P است و r مکان ذره P.

 

شکل 13: نمودار مکان ذره P حاصل از آباکوس و حل تحلیلی

 

خروجی سرعت ذره را نیز رسم کنید. نمودار سرعت ذره به روش تحلیلی و نتیجه آباکوس در شکل 14 رسم شده است. همانطور که مشاهده می کنید، تفاوت بسیار کوچکی بین دو نمودار وجود دارد که با کوچک کردن نمو زمانی (مثلا 0.005s)، این اختلاف از بین می رود (امتحان کنید).

 

شکل 14: نمودار سرعت ذره P حاصل از آباکوس و حل تحلیلی

 

خروجی شتاب ذره را نیز رسم کنید. نمودار شتاب ذره حاصل از تحلیل آباکوس در شکل 15 رسم شده است.

 

شکل 15: نمودار شتاب ذره P حاصل از تحلیل آباکوس

 

همانطور که می بینید یک شکستگی غیرمعمول در نمودار شتاب دیده می شود که حاکی از اشتباه بودن پاسخ در این نقطه است. این جواب اشتباه بخاطر تنظیمات solver نرم افزار در شروع انتگرال گیری است که در نمو زمانی بعدی سریعاً به جواب درست همگرا شده است. کار با این تنظیمات و اصلاح آنها برای حذف این خطاها در مباحث پیشرفته بیان می شود. برای داشتن یک نمودار هموار، باید نویزهای غیرمتعارف را از نمودار حذف کنیم. برای این کار روی آیکون (XY Data Manager) کلیک کنید. در پنجره باز شده مطابق شکل 16، پارامتر خروجی شتاب را انتخاب کرده و روی دکمه Edit کلیک کنید تا جدول داده های آن نمایش داده شود.

 

شکل 16: انتخاب پارامتر داده های شتاب و ویرایش آن

 

اکنون در جدول داده ها مطابق شکل 17، ردیف مربوط به نقطه نامتعارف را انتخاب کرده و روی آن کلیک راست کنید. سپس گزینه Delete Rows را انتخاب کنید تا این ردیف از داده ها حذف شود. سپس روی دکمه OK کلیک کنید تا پنجره آن بسته شود.

 

شکل 17: حذف ردیف مربوط به نقطه نامتعارف از داده ها

 

برای رسم داده های اصلاح شده، در پنجره XY Data Manager روی دکمه Plot کلیک کنید. نمودار شتاب اصلاح شده به همراه نمودار حاصل از حل تحلیلی در شکل 18 نشان داده شده است.

 

شکل 18: نمودار شتاب اصلاح شده در آباکوس و حل تحلیلی

 

اختلاف موجود بین نمودار حاصل از آباکوس و حل تحلیلی با تغییر نمو زمانی از 0.02s به 0.005s بسیار ناچیز خواهد شد (امتحان کنید). برنامه MATLAB برای رسم نمودارهای تحلیلی در زیر آورده شده است. متن برنامه را می توانید از لینک انتهای درس دانلود کرده و اجرا کنید.

دانلود برنامه MATLAB

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 78, problem 2/157

دیدگاه شما چیست؟