محاسبه سرعت لحظه ای جعبه لغزان روی سطح شیبدار دارای اصطکاک

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- مدلسازی اصطکاک بین دو سطح بدون ایجاد تماس بین آنها

به جسمی به جرم 50 kg در نقطه A سرعت اولیه 4 m/s در راستای سطح شیبدار داده می شود. سرعت جسم را پس از طی مسافت 10 m به سمت پایین سطح شیبدار محاسبه کرده و با نتایج مرجع [1] مقایسه کنید (ضریب اصطکاک جنبشی سطح برابر 0.3 می باشد).

 

شکل 1: جسم 50 کیلوگرمی روی سطح شیبدار

مدلسازی مسئله:

ماژول Step:

وارد ماژول Step شوید. یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای زیر ایجاد نمایید.

Time period: 4
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.01

 

نکته 1:

زمان 4 ثانیه بصورت فرضی انتخاب شده است. چنانچه پس از تحلیل مشخص شود که جعبه فاصله 10 m را طی نکرده است زمان را مجدداً افزایش می دهیم.

 

معادلسازی جعبه و سطح شیبدار:

وارد ماژول Interaction شوید. مدلسازی این مسئله توسط کانکتور انجام می شود. برای درک نحوه مدلسازی، جعبه روی سطح شیبدار را در ابتدای مسیر بصورت شکل 2 تصور کنید.

 

شکل 2: جعبه در ابتدای مسیر حرکت

 

یک سر کانکتور در نقطه A و سر دیگر آن در نقطه O قرار دارد. سیستم مختصات نشان داده شده موازی سطح شیبدار و قبل از نقطه A قرار دارد. مکان مبدا مختصات O اصلا مهم نیست و فقط کافیست قبل از نقطه A قرار داشته باشد. برای مدلسازی، فاصله نقطه O تا A را بصورت دلخواه 2m در نظر می گیریم. دو عدد Reference Point معادل با نقاط O و A بترتیب با مختصات (0,0,0) و (-2cos15, -2sin15, 0) ایجاد کنید. (یادآور می شویم که زاویه بر حسب درجه است و در هنگام استفاده از Kernel command باید به رادیان تبدیل شود).

روی آیکون (Create Connector Section) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 3 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 3: گزینه های فعالسازی کانکتور از نوع Slot و مشاهده نمای آن

 

مطابق شکل 4 در پنجره باز شده روی آیکون (Add) کلیک کرده و گزینه Friction را انتخاب کنید. در قسمت Friction Coeff ضریب اصطکاک را 0.3 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 4: تعریف ضریب اصطکاک برای کانکتور

 

اکنون با استفاده از آیکون (Connector Builder)، بین دو نقطه RP-1 و RP-2 یک کانکتور با Section قبل ایجاد کنید.

تعریف جرم و Set همراه آن:

به نقطه RP-2 که معادل جعبه است جرمی برابر 50kg و Set با نام M اختصاص دهید. شکل 5 معادل سازی مسئله را نشان می دهد.

 

شکل 5: معادل سازی صورت مسئله با کانکتور

 

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید و تمام 6 درجه آزادی نقطه RP-1 را مانند شکل 6 مقید کنید.

 

شکل 6: اعمال شرط مرزی روی نقطه RP-1 در Initial Step

 

با استفاده از آیکون (Create Load) شتاب جاذبه را در خلاف جهت Y و به مقدار -9.81 m/s2 تعریف کنید. به علامت منفی آن توجه کنید.

با استفاده از آیکون (Create Predefined Field) مانند شکل های 17 و 18 درس اول، سرعت اولیه ای در دو راستای 1 و 2 به Set با نام M اعمال کنید. همانطور که می دانید سرعت اولیه در مختصات اصلی تعریف می شود و نمی توان آن را در مختصات محلی تعریف نمود در نتیجه مجبوریم مولفه های سرعت در دو راستای اصلی را محاسبه کنیم. مولفه های سرعت بصورت زیر در Kernel command محاسبه می شوند.

V1 = -4cos (15) = -3.86370 m/s
V2 = -4sin (15) = -1.03528 m/s

درخواست خروجی های جابجایی، سرعت و شتاب نسبی کانکتور:

بار دیگر به ماژول Step بازگردید. با استفاده از آیکون (History Output Manager) مانند شکل 3 درس هشتم برای Set با نام Wire-1-Set-1 خروجی های جابجایی نسبی CU1، سرعت نسبی CV1 و شتاب نسبی CA1 را در هر نمو زمانی درخواست دهید. شتاب جزو درخواستهای صورت مسئله نیست اما برای بررسی آن درخواست می دهیم.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام حل روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. در صورت تمایل، می توانید مانند درسهای قبل نمایش کانکتور را فعال کنید. اکنون نمودار جابجایی نسبی کانکتور را استخراج کرده و زمان نزدیک به جابجایی 10 m را پیدا کنید. این زمان در جابجایی 10.0136 m برابر 2.79s است. سرعت نسبی در همین زمان را پیدا کنید. این مقدار برابر 3.16697 m/s بدست می آید.

اکنون مقادیر عددی شتاب نسبی را استخراج کرده و بررسی کنید. همانطور که می بینید شتاب به مقدار ثابت -0.303705 m/s2 رسیده است. مقادیر شتاب در شکل 7 نشان داده شده است.

 

شکل 7: مقادیر عددی شتاب که به عدد ثابتی رسیده است

 

شتاب در راستای سطح شیبدار از روابط تحلیلی بصورت زیر محاسبه می شود.

∑Fx = max → mg sinθ – μ mg cosθ = max → ax = g (sinθ- μ cosθ) → ax = 9.81× (sin (15) -0.3cos (15)) = -0.303705 m/s2

پس مقدار شتاب حاصل از نرم افزار با نتیجه حاصل از حل تحلیلی کاملا برابر است. علامت منفی شتاب نشان دهنده کاهنده بودن آن است که به دلیل وجود اصطکاک بین سطوح می باشد. جهت این شتاب به سمت بالای سطح شیبدار می باشد.

برای رسیدن به پاسخ دقیق تر سرعت جعبه، کافیست Increment Size را در ماژول Step برابر 0.001 و تعداد Increment ها را حداقل 4000 وارد کنید. سرعت جعبه با نمو زمانی 0.001 در جدول 1 با مرجع [1] مقایسه شده است.

 

جدول 1: مقایسه سرعت جعبه با مرجع [1]

 

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 161, sample problem 3/11

دیدگاه شما چیست؟