محاسبه جابجایی و سرعت ذره دارای شتاب وابسته به مکان و زمان

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- تعریف فنر خطی

2- تعریف Amplitude خطی

3- تعریف نیروی متمرکز

ذره ای در مبدا مختصات از حالت سکون در راستای x شروع به حرکت می کند. شتاب ذره توسط رابطه زیر بیان می شود. ‬‬‬‬‬

‬‬
a = K t – k x

در این رابطه، K و k ثابتهای مثبت، x جابجایی ذره و t زمان است. هدف، به دست آوردن جابجایی و سرعت ذره بر حسب زمان و مقایسه آنها با نتایج مرجع [1] می باشد.

مدلسازی مسئله:

مانند آنچه که در درس سوم برای ساده سازی مسئله بیان شد در این درس نیز پیاده سازی می کنیم. بدین منظور روابط زیر را به دقت دنبال کنید.

به این ترتیب مسئله تبدیل به یک سیستم جرم-فنر می شود که به لحاظ هندسی قابل لمس است. شکل 1 نشان دهنده سیستم مورد نظر می باشد. با فرض جرم 1kg برای ذره، سختی فنر و تابع نیرو بصورت زیر محاسبه می شوند.

K1 = m×k = 1kg×100 1/s2 = 100 kg/s2 = 100 N/m
F (t) = m×K×t = 1kg×1.5 m/s3 ×t = 1.5t

 

شکل 1: سیستم جرم-فنر حاصل از ساده سازی مسئله

 

ماژول Step:

وارد ماژول Step شوید و یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای زیر ایجاد کنید.

Time period: 5
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.05

ایجاد نقاط دو سر فنر:

وارد ماژول Interaction شوید. با کلیک روی آیکون (Create Reference Point) 2 نقطه به ترتیب به مختصات (0,0,0) و (1,0,0) ایجاد نمایید. به این ترتیب مانند شکل 2، دو نقطه به نام های RP-1 و RP-2 در viewport ایجاد می شود. دقت کنید که این دو نقطه، نقاط ابتدا و انتهای فنر می باشند و با توجه به اینکه عملکرد فنر بر اساس جابجایی است در نتیجه فاصله این دو نقطه از هم اهمیتی ندارد و نیروی فنر متناسب با اختلاف جابجایی این دو نقطه محاسبه می شود.

 

شکل 2: نقاط ایجاد شده در ماژول Interaction

 

ایجاد فنر خطی:

برای تعریف فنر خطی، از نوار منو مسیر نشان داده شده در شکل 3 را دنبال کنید.

 

شکل 3: مسیر تعریف فنر خطی در نوار منو

 

در پنجره Create Springs/Dashpots گزینه نشان داده شده در شکل 4 را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک نمایید.

 

شکل 4: پنجره Create Springs/Dashpots و گزینه ایجاد فنر بین دو نقطه

 

در قسمت اعلان از شما خواسته شده است تا نقاط دو سر فنر را انتخاب نمایید. در viewport ابتدا RP-1 و سپس RP-2 را انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 5 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 5: پنجره Edit Springs/Dashpots برای تعریف سختی فنر

 

اختصاص جرم به ذره:

مانند شکل های 6 تا 8 درس سوم، به نقطه RP-2 جرمی به مقدار 1kg و یک Set با نام M اختصاص دهید.

درخواست خروجی های جابجایی و سرعت:

به ماژول Step بازگردید و مانند شکل های 9 تا 12 درس سوم، خروجی های U1، V1 و A1 که بترتیب جابجایی، سرعت و شتاب در راستای X هستند را برای Set با نام M درخواست دهید.

تعریف شرط مرزی:

وارد ماژول Load شوید و مانند شکل های 13 و 14 درس سوم، توسط آیکون (Create Boundary Condition) درجه آزادی U1 نقطه RP-1 را در Initial Step مقید کنید. توجه داشته باشید که مانند دمپر موجود در درس سوم، این فنر نیز فقط به RP ها متصل است و به جای دیگری متصل نیست در نتیجه نقاط اتصال آن فقط در راستای عملکرد فنر دارای درجه آزادی هستند. لذا کافی است تکیه گاه مذکور را تنها در راستای (U1) x مقید نماییم. البته چون به نقطه سمت راست فنر، جرم اختصاص داده شده است در نتیجه این نقطه در سه راستا درجه آزادی دارد اما ما با این نقطه کاری نداریم.

تعریف نیروی متمرکز:

در این مسئله نیروی F تابعی خطی از زمان است در نتیجه ابتدا یک Amplitude خطی ایجاد کرده و سپس آن را به یک نیروی متمرکز اختصاص می دهیم. مسیر زیر را از نوار منو دنبال کنید.

Tools > Amplitude > Create

در پنجره Create Amplitude در حالی که گزینه Tabular انتخاب شده است روی دکمه Continue کلیک کنید. سپس پنجره Edit Amplitude را مطابق شکل 6 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. این اعداد معادل تعریف خط به معادله F (t) = t است و ضریب باقیمانده نیرو (mK) را در هنگام تعریف نیرو لحاظ خواهیم کرد. عدد 5 در ستون Time/Frequency همان زمان تعریف شده در ماژول Step می باشد.

 

شکل 6: جدول پر شده در پنجره Edit Amplitude

 

برای اعمال نیروی F روی آیکون (Create Load) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 7 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 7: گزینه های تعریف نیروی متمرکز

 

سپس در سمت راست نوار اعلان روی دکمه Sets کلیک کنید. مطابق شکل 8، در پنجره باز شده Set با نام M را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 8: پنجره Region Selection برای انتخاب Set با نام M

 

پنجره باز شده را مطابق شکل 9 کامل کنید. در این پنجره، در قسمت Amplitude گزینه Amp-1 (Amplitude خطی F (t) = t که در قسمت قبل ایجاد کردیم) انتخاب شده است. در قسمت CF1 عبارت 1.5 که حاصل m×K می باشد وارد شده است. نیروی کلی از حاصلضرب مقدار CF1 در Amp-1 حاصل می شود. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 9: تعریف نیروی F (t) نهایی روی نقطه RP-2

 

برداری به رنگ زرد روی نقطه RP-2 ظاهر می شود که بیانگر اعمال نیروی متمرکز روی آن است.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. در برگه Warnings پیام هشداری مشابه پیام هشدار شکل 15 در درس سوم به شما نشان داده می شود. روی دکمه Result کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. مقدار نیروی موجود در فنر در انتهای تحلیل را در قسمت Legend مشاهده کنید. نمودارهای جابجایی، سرعت و شتاب ذره را مشابه روند بیان شده در شکل های 17 تا 23 درس سوم رسم نمایید. این نمودارها در شکلهای 10 تا 12 رسم شده است.

 

شکل 10: نمودار جابجایی-زمان ذره

 

شکل 11: نمودار سرعت-زمان ذره

 

شکل 12: نمودار شتاب-زمان ذره

 

همانطور که مشاهده می کنید نمودارهای سرعت و شتاب بصورت smooth یا هموار نیستند و دارای شکستگی می باشند. برای رسیدن به نمودار هموارتر باید به ماژول Step بازگردید و مقدار نمو زمانی را 0.01 تنظیم کرده و مسئله را مجدداً تحلیل کنید. سه نمودار فوق به همراه نمودارهای جدید در شکلهای 13 تا 15 آورده شده است.

 

شکل 13: نمودار جابجایی-زمان ذره به ازای دو نمو زمانی مختلف

 

شکل 14: نمودار سرعت-زمان ذره به ازای دو نمو زمانی مختلف

 

شکل 15: نمودار شتاب-زمان ذره به ازای دو نمو زمانی مختلف

 

در ادامه به مقایسه نتایج آباکوس با نتایج تحلیلی حاصل از مرجع [1] خواهیم پرداخت. جواب های جابجایی و سرعت در مرجع [1] بصورت زیر است.

برای رسم این روابط، نمو زمانی 0.01 در نظر گرفته شده است تا با نتایج نهایی آباکوس مقایسه شود. شکلهای 16 تا 18 این روابط را با نتایج آباکوس مقایسه کرده اند.

 

شکل 16: نمودار جابجایی-زمان ذره حاصل از آباکوس و روابط تحلیلی

 

شکل 17: نمودار سرعت-زمان ذره حاصل از آباکوس و روابط تحلیلی

 

شکل 18: نمودار شتاب-زمان ذره حاصل از آباکوس و روابط تحلیلی

 

با دیدن این نمودارها متوجه خواهید شد که دقت بسیار خوبی بین نتایج آباکوس و حل مرجع [1] وجود دارد.

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 6th Edition., 2009, p 39, problem 2/59

دیدگاه شما چیست؟