محاسبه اندازه شتاب یک نوسانگر دورانی

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- اعمال سرعت زاویه ای به یک نقطه

2- تعریف جابجایی متناوب با زمان

3- نحوه مقید سازی حرکت ذره در یک راستا

میله OA با راستای قائم زاویه ثابت β = 30° دارد و حول راستای قائم با سرعت زاویه ای ثابت 120 rev/min دوران می کند. همزمان با این دوران، ذره P در راستای میله OA با رابطه R = 200 + 50 sin (2πνt) (فاصله ذره از نقطه O) نوسان می کند. این فاصله بر حسب میلیمتر بوده و فرکانس نوسان ν نیز برابر 2 Hz است. اندازه شتاب ذره را در لحظه ای که سرعت ذره در راستای میله OA حداکثر است محاسبه و نتیجه را با مرجع [1] مقایسه کنید.

 

شکل 1: حرکت نوسانی ذره P روی میله دوار OA

مدلسازی مسئله:

ماژول Step:

وارد ماژول Step شوید. یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای زیر ایجاد نمایید.

Time period: 1
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.01

طبق داده های مسئله، مدت زمان یک نوسان کامل ذره روی میله بصورت زیر محاسبه می شود.

ν = 1/T → T = 1/ν = 0.5 s

بر این اساس، Time period را جهت اطمینان برابر 1s (معادل دو نوسان) در نظر می گیریم.

مدلسازی ذره و مسیر حرکت آن:

وارد ماژول Interaction شوید. با توجه به اینکه در هنگام نوسان ذره، فاصله میانگین آن از نقطه O برابر 200 mm است پس نقطه را در این فاصله ایجاد می کنیم. مختصات ذره در این فاصله بصورت (200 sin30, 200 cos30) است.

دو عدد Reference Point معادل با نقاط O و A بترتیب با مختصات (0,0,0) و (200 sin30, 200 cos30, 0) ایجاد کنید. برای تبدیل مختصات نقطه A به مقدار عددی، مانند نکته 1 درس هشتم عمل کنید. روی آیکون (Auto-Fit View) کلیک کنید تا هر دو نقطه را در صفحه ببینید. برای ایجاد کانکتور بین دو نقطه، ابتدا روی آیکون (Create Connector Section) کلیک کنید. پنجره باز شده را مانند شکل 2 کامل کنید. هنگامی که ذره ای مقید است روی مسیر مستقیمی حرکت کند و این مسیر نیز دارای حرکت جداگانه باشد از کانکتور Slot استفاده می کنیم. برای دیدن نمای کانکتور می توانید روی آیکون (Show diagram) کلیک کنید. روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 2: گزینه های فعالسازی کانکتور از نوع Slot و مشاهده نمای آن

 

در پنجره باز شده، روی دکمه OK کلیک کنید. در اینجا نیازی به تعریف خاصیتی مثل Elasticity و… نیست زیرا کانکتور مورد نظر فقط برای مقید کردن حرکت ذره روی یک مسیر متحرک بکار می رود.

برای ایجاد کانکتور بین دو نقطه RP-1 و RP-2، روی آیکون (Connector Builder) کلیک کنید. در جواب نوار اعلان، ابتدا نقطه RP-1 و سپس RP-2 را انتخاب کنید تا پنجره Connector Builder مانند شکل 3 باز شود.

 

شکل 3: گزینه های مورد نیاز برای تعریف کانکتور Slot بین دو نقطه

 

پیش از ادامه کار، برای درک گزینه های پایین این پنجره حتما نکته 1 را مطالعه کنید.

 

نکته 1:

با توجه به نمای کانکتور که در شکل (الف) نشان داده شده است، گره b همواره مقید است در راستایی که توسط گره a و موقعیت اولیه گره b تعریف می شود حرکت کند. یعنی راستای حرکت گره b در جهت محور e1 است.

 

شکل الف: نمایش کانکتور از نوع Slot

 

برای روشن شدن موضوع، به مثال نشان داده شده در شکل (ب) توجه کنید. نقطه RP-2 باید در راستای مشخص شده با بردار آبی رنگ حرکت کند که با خط واصل دو نقطه RP-1 و RP-2 زاویه θ می سازد.

 

شکل ب: حرکت نقطه RP-2 در راستای η سیستم مختصات ثانویه

 

برای تعریف راستای حرکت مورد نظر، گزینه های مشخص شده در شکل (پ) را انتخاب کنید. در اینجا فرض شده است که زاویه θ برابر 20 درجه است.

 

شکل پ: گزینه های انتخاب شده برای تعریف زاویه 20 درجه نسبت به خط واصل دو نقطه

 

در شکل (پ) با انتخاب گزینه Show all options، سایر گزینه های این پنجره فعال می شود. برای تعریف این کانکتور، فقط یک سیستم مختصات با نام CSYS 1 که با رنگ قرمز مشخص شده است کافیست. گزینه Create CSYS on axis between points یک سیستم مختصات بین این دو نقطه ایجاد می کند که شماره 1 در قسمت Axis یعنی اولین محور (X) این سیستم مختصات روی این راستا قرار گیرد. هنگامی که گزینه Specify additional rotation فعال شود یعنی می خواهید سیستم مختصات قبل را به اندازه مشخص حول یک محور دوران دهید. کدام محور؟ محوری که در قسمت About axis مشخص می کنید. با توجه به اینکه سیستم مختصات قبلی بر اساس راستاهای Global (مشخص شده با رنگ قرمز) تعریف شده است پس محورهای گزینه About axis هم بر اساس Global خواهند بود. یعنی محور 1 همان محور X و محور 2 همان محور Y و… خواهد بود. چون در این مثال، راستای حرکت نقطه RP-2 نسبت به راستای بین دو نقطه به اندازه 20 درجه ساعتگرد حول محور Z چرخیده است پس باید محور 3 انتخاب شود. مقدار زاویه را نیز در قسمت مربوطه باید وارد کنید که عدد منفی بیانگر چرخشی خلاف محور Z است. متذکر می شویم که گزینه های این مثال با گزینه های انتخاب شده در شکل 3 متفاوت است زیرا راستای حرکت نقطه RP-2 دقیقا در راستای بین دو نقطه است. شکل (ت) سیستم مختصات دوران یافته را نشان می دهد که راستای X این سیستم مختصات همان راستای حرکت RP-2 است.

 

شکل ت: دو سیستم مختصات اصلی و دوران یافته

 

با پذیرفتن گزینه های پیشفرض در شکل 3 روی دکمه OK کلیک کنید. پس از ایجاد کانکتور، به نام Slot که در کنار wire مربوطه نوشته شده است دقت کنید.

تعریف جرم و Set همراه آن:

مانند شکل های 3 تا 5 درس دوم، روی نقطه RP-2 جرمی به اندازه 1kg و یک Set با نام P ایجاد کنید.

درخواست خروجی های جابجایی، سرعت و شتاب نسبی:

برای درخواست خروجی های مسئله، بار دیگر به ماژول Step بازگردید. اگر به صورت سوال دقت کنید متوجه خواهید شد که خواسته سوال، اندازه شتاب ذره در لحظه ای است که سرعت ذره روی مسیر OA حداکثر باشد. سرعت ذره روی مسیر OA همان خروجی CV1 کانکتور (سرعت نسبی دو انتهای کانکتور نسبت به هم) است. اندازه شتاب ذره نیز همان قدر مطلق شتاب کل است که نسبت به سیستم مختصات اصلی اندازه گیری می شود. پس شتاب نسبی کانکتور (CA1) بدرد ما نمی خورد چون نسبی است. برای این خروجی باید مقدار شتاب کل را درخواست دهیم. برای خروجی شتاب ذره یک سعی و خطای ساده انجام می دهیم تا در ذهنتان بماند. Set با نام P را خاطرتان هست که از RP-2 ایجاد کردیم؟ ببینیم اندازه شتاب بعنوان خروجی زمانی برای آن وجود دارد یا نه!

روی آیکون (History Output Manager) کلیک کرده و در پنجره آن، روی دکمه Edit کلیک کنید. سپس پنجره باز شده را مطابق شکل 4 کامل کنید. (گزینه Energy از حالت انتخاب خارج شده است و شتاب ها با استفاده از مثلث سیاه رنگ کنار Displacement/Velocity/Acceleration مشخص شده اند).

 

شکل 4: گزینه های انتخاب شده برای بررسی خروجی شتاب ذره

 

همانطور که می بینید، فقط مولفه های شتاب وجود دارد و چیزی بعنوان اندازه شتاب تعریف نشده است. پس خروجی شتاب را رها می کنیم و سرعت نسبی کانکتور و شتاب نسبی کانکتور (فقط برای بررسی آن) را درخواست می دهیم. با تغییر Set از P به Wire-1-Set-1، خروجی CV1 و CA1 را برای این Set و به ازای هر نمو زمانی درخواست دهید. در انتها روی OK کلیک کنید. برای درخواست اندازه شتاب کل ذره، روی آیکون (Field Output Manager) کلیک کنید (دقت کنید Field نه History). سپس روی دکمه Edit کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 5 کامل کنید. تنها اصلاح این پنجره مربوط به نمو زمانی n است و سایر گزینه ها بصورت پیشفرض انتخاب شده اند. توجه کنید که در این خروجی ها (مخصوصا خروجی شتاب که با نماد A مشخص می شود) علاوه بر مولفه های آنها، بزرگی شتاب نیز بعنوان خروجی گزارش می شود. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 5: درخواست خروجی های میدانی به ازای هر نمو زمانی

 

اعمال شرایط مرزی:

وارد ماژول Load شوید. نقطه RP-1 را مانند شکل 6 در Initial Step در همه راستاها بجز UR2 مقید کنید.

 

شکل 6: مقید کردن نقطه RP-1 در راستاهای مشخص شده

 

برای اعمال سرعت زاویه ای به نقطه RP-1، ابتدا سرعت دورانی داده شده بر حسب rev/min را به rad/s تبدیل می کنیم.

120 rev/min × π/30 = 4π rad/s

روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 7 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 7: گزینه های انتخاب شده برای تعریف سرعت زاویه ای

 

مجدداً نقطه RP-1 را انتخاب و روی دکمه Done کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 8 کامل کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 8: اعمال سرعت زاویه ای 4π rad/s به نقطه RP-1

 

نکته 2:

دو شرط مرزی اعمال شده تا این مرحله را می توان در یک شرط مرزی خلاصه کرد. برای درک این موضوع روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل (الف) کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل الف: گزینه های انتخاب شده برای اعمال شرط مرزی جدید

 

نقطه RP-1 را انتخاب و روی دکمه Done کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل (ب) کامل کنید.

 

شکل ب: اعمال سرعت زاویه ای 4π rad/s به نقطه RP-1 و صفر کردن سرعتهای دیگر آن

 

صفر کردن سرعتها یعنی مقید کردن جابجایی ها و با گزینه های روش قبل فرقی ندارد. این روش هم وجود دارد و بستگی دارد کدام را بپسندید و راحتتر باشید. ما روش اول را پیش می گیریم. روی دکمه Cancel کلیک کنید.

 

با توجه به صورت سوال، فاصله ذره از نقطه O بصورت R = 200 + 50 sin (2πνt) تعریف می شود. پس جابجایی آن توسط رابطه U = 50 sin (2πνt) بیان می گردد. برای اعمال این جابجایی، از دستور Connector displacement استفاده می شود و با توجه به نوسانی بودن این حرکت، نیاز به تعریف Amplitude نیز هست. روی آیکون (Create Boundary Condition) کلیک کنید. پنجره باز شده را مطابق شکل 9 کامل کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید.

 

شکل 9: گزینه های انتخاب شده برای اعمال جابجایی کانکتور

 

در نوار اعلان پیامی مبنی بر انتخاب wire به شما داده می شود. پس در Viewport کانکتور را انتخاب کرده و روی دکمه Done کلیک کنید. در پنجره باز شده روی آیکون (Create Amplitude) کلیک کرده و گزینه Periodic را انتخاب کنید. روی دکمه Continue کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 10 کامل نمایید. برای اطلاع از گزینه های این پنجره به نکته 2 مراجعه کنید. در انتها روی دکمه OK کلیک نمایید.

 

شکل 10: ایجاد تابع متناوب سینوسی با فرکانس ω = 4π rad/s

 

نکته 3:

گزینه های پنجره Edit Amplitude که در شکل 10 نشان داد شده است برای تعریف سری زیر استفاده می شود.

پارامترهای این سری روی شکل (الف) نشان داده شده است.

 

شکل الف: پارامترهای موجود در سری موردنظر

 

بعنوان مثال فرض کنید بخواهیم تابع زیر را ایجاد کنیم.

U = 12 + 3 cos (2.1 (t – 0.3)) – 8 sin (4.2 (t – 0.3)) – cos (8.4 (t – 0.3)) +5 sin (8.4 (t – 0.3))

جدول سازنده این تابع در شکل (ب) آورده شده است.

 

شکل ب: پارامترهای ایجاد کننده سری مورد نظر

 

بخاطر عدم وجود ترمهای مربوط به n = 3، ضرایب موجود در ردیف سوم صفر می باشد.

 

سپس پنجره Edit Boundary Condition را مطابق شکل 11 کامل کنید. همانطور که می دانید، جابجایی نهایی از حاصلضرب U1 در Amp-1 حاصل می شود و چون Amp-1 همان مقدار اصلی جابجایی است در نتیجه مقدار U1 را برابر 1 در نظر گرفته ایم.

 

شکل 11: گزینه های تعریف جابجایی نوسانی روی کانکتور

 

روی دکمه OK کلیک کنید. همانطور که مشاهده می کنید، بردار دوجهته ای به رنگ نارنجی روی کانکتور ایجاد می شود که نشاندهنده اعمال جابجایی روی کانکتور است.

 

نکته 4:

برای رسم نمودار Amplitude، از نوار منو مسیر زیر را دنبال کنید.

Plug-ins > Tools > Amplitude Plotter

در پنجره باز شده روی دکمه Plot کلیک کنید تا نمودار Amplitude موردنظر نمایش داده شود. همانطور که در شکل (الف) دیده می شود نمودار در تناوب 0.5s تکرار می شود.

 

شکل الف: نمودار جابجایی اعمال شده به ذره با تناوب 0.5s

 

با کلیک روی دکمه Dismiss، همه پنجره ها بسته می شود و به صفحه اصلی باز می گردید.

 

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. پس از اتمام حل روی دکمه Results کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید.

برای نمایش کانکتور، روش گفته شده در شکلهای 12 و 13 درس 7 را اجرا کنید. برای مشاهده نحوه حرکت سیستم، از آیکون (Animate: Time History) استفاده کنید.

اکنون با استفاد از آیکون (Create XY Data) خروجی سرعت نسبی کانکتور را رسم نمایید. این نمودار در شکل 12 نشان داده شده است.

 

شکل 12: نمودار سرعت ذره روی میله OA

 

لازم به یادآوری است که سرعت نسبی ذره، مشتق رابطه R نسبت به زمان است که حداکثر مقدار آن در 0.5s اتفاق می افتد و مقدار آن برابر 50×4π = 628.319 mm/s می باشد. این مقدار با سرعت حاصل از آباکوس که در شکل 13 نشان داده شده است برابری می کند.

 

شکل 13: مقدار سرعت نسبی ذره روی میله در زمان 0.5s

 

شتاب نسبی ذره نیز فقط برای بررسی در شکل 14 نشان داده شده است. همانطور که می دانید شتاب، مشتق رابطه سرعت نسبت به زمان است و حداکثر آن طبق رابطه 50×4π×4π = 7895.684 mm/s2 محاسبه می شود. مقدار عددی حاصل از آباکوس را با این مقدار مقایسه نمایید.

 

شکل 14: نمودار شتاب نسبی ذره روی میله OA

 

اکنون شتاب کلی ذره را رسم می کنیم. روی آیکون (Create XY Data) کلیک کنید. در پنجره باز شده گزینه ODB field output را انتخاب کرده و روی دکمه Continue کلیک کنید. سپس در پنجره باز شده و در برگه Variables گزینه های مشخص شده در شکل 15 را انتخاب کنید.

 

شکل 15: گزینه های انتخاب شده در برگه Variables برای رسم شتاب کلی ذره

 

سپس روی برگه Elements/Nodes کلیک کرده و گزینه های مشخص شده در شکل 16 را انتخاب کنید. اکنون روی دکمه Plot کلیک کنید تا نمودار اندازه (Magnitude) شتاب رسم شود.

 

شکل 16: گزینه های انتخاب شده در برگه Elements/Nodes

 

نمودار شتاب کلی ذره در شکل 17 نشان داده شده است. مقادیر شتاب این نمودار همانطور که روی محور قائم مشخص شده است از مرتبه 106 می باشد.

 

شکل 17: نمودار شتاب کل ذره همراه با نویز موجود در آن

 

همانطور که می بینید نمودار شتاب دارای نویز است. برای رفع این نویزها، باید اندازه نمو زمانی را کوچکتر کنیم. برای این کار به ماژول Step بازگشته و Increment size را 0.001 وارد کرده و مسئله را مجدداً تحلیل کنید. دقت کنید که در این حالت، گزینه Maximum number of increments برابر 1000 است که با تعداد کل نموهای حاصل از این نمو 0.001 برابر خواهد شد. چنانچه تعداد این نموها از Maximum number of increments بیشتر شود حل با خطا مواجه شده و متوقف می شود (در این حالت بدون مشکل خواهد بود). نمودار شتاب کل ذره با نمو زمانی 0.001 در شکل 18 نشان داده شده است.

 

شکل 18: نمودار شتاب کل ذره با نمو زمانی 0.001

 

همانطور که می بینید نمودار هموارتر (smooth) شد. از فیزیک مسئله می دانیم که تمام خروجی های مسئله باید تناوبی باشند اما نمودار شتاب اینگونه نیست و مقدار شتاب از حداکثر مقدار 2.1Mmm/s2 به 20Mmm/s2 تغییر کرد (M به معنای مگا یا همان 106). چه اتفاقی افتاده است؟

به تغییرات شدیدی که با کوچکتر شدن نمو زمانی ایجاد می شود در اصطلاح می گوییم مسئله در این زمان دارای تکینگی (singularity) است و این جوابها در این زمانها ارزشی ندارند.

برای استخراج جوابهای درست، قسمت ابتدایی نمودار را حذف می کنیم. برای حذف بخش ناپایدار پاسخ ها پیشنهاد می شود مانند شکل 19 مقادیر پاسخ را تا 0.2s حذف کنید.

 

شکل 19: نحوه حذف داده های نمودار تا ثانیه 0.2

 

نمودار جدید پس از حذف داده های ابتدایی مجدداً رسم می شود. این نمودار در شکل 20 نشان داده شده است.

 

شکل 20: نمودار اصلاح شده شتاب کل ذره از ثانیه 0.2 به بعد

 

مقدار شتاب ذره را هنگامی که سرعت آن روی میله OA به حداکثر مقدار خود می رسد (یعنی 0.5s) استخراج کنید. این مقدار در شکل 21 نشان داده شده است.

 

شکل 21: مقدار شتاب کل (بر حسب mm/s2) در لحظه ای که سرعت نسبی ذره حداکثر است

 

نتیجه حاصل از آباکوس و مرجع [1] در جدول 1 نشان داده شده است. این شتاب بر حسب m/s2 تبدیل شده است. برای بررسی دقت جواب آباکوس، این مسئله را بصورت تحلیلی حل کنید تا به نکته ای پی ببرید.

 

جدول 1: مقایسه شتاب کل ذره با مرجع [1]

 

نکته زیبایی که باید بدانید این است که چون ذره و سیستم با سرعتهای ثابتی در حال حرکت هستند پس نیروهای وارد بر آن به تعادل رسیده اند. به این گونه مسائل در اصطلاح علمی، شبه استاتیک (Quasi-Static) می گویند. این مسائل اگر با تکنیک شبه استاتیک حل شوند جواب بدون نویزی را بدست می دهند. برای اینکار به ماژول Step بازگشته و در پنجره Edit Step مانند شکل 22 از قسمت Application گزینه Quasi-static را انتخاب کنید. در این لحظه پیغامی مانند شکل 22 مبنی بر “محاسبه شتاب اولیه در ابتدای Step، به حالت Bypass تغییر کرد” به شما داده می شود. یعنی شتاب اولیه در ابتدای تحلیل محاسبه نمی شود. برای روشن شدن موضوع، به یک مثال توجه کنید. فرض کنید در یک تحلیل دو Step متفاوت دارید که در Step اول تحلیل دینامیکی گذرا انجام شده است و در نهایت به حالت پایدار می رسد. در Step دوم تحلیل مرحله قبل در حالت پایدار ادامه پیدا می کند و فرایندی جدید انجام می شود. وقتی در Step دوم گزینه Bypass فعال باشد یعنی شتاب اولیه ای در ابتدای تحلیل محاسبه نمی شود و نرم افزار، شتاب را از انتهای Step قبل در نظر می گیرد. در این درس چون تنها یک Step وجود دارد در نتیجه انتخاب گزینه Bypass یا Allow تاثیری در نتایج نخواهد داشت. ابتدا روی دکمه Dismiss کلیک کرده و نهایتا روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 22: انتخاب Quasi-static بعنوان حالت رفتاری سیستم و پیام نرم افزار در انتخاب آن

 

مجدداً مسئله را تحلیل کرده و نمودار شتاب کل ذره را رسم کنید. این نمودار در شکل 23 نشان داده شده است.

 

شکل 23: نمودار شتاب کل ذره (اصلاح نشده) در حالتی که مسئله بصورت Quasi-static حل شده است

 

در اولین نمو این نمودار نیز یک تکینگی وجود دارد. مانند قبل، ردیف اول و دوم جدول شتاب را مانند شکل 24 حذف کرده و نمودار را مجدداً رسم نمایید.

 

شکل 24: حذف دو ردیف اول داده های نمودار

 

برای قرار گیری کامل نمودار در صفحه، روی آیکون (Auto-Fit View) کلیک کنید. نمودار اصلاح شده این شتاب در شکل 25 نشان داده شده است.

 

شکل 25: نمودار اصلاح شده شتاب کل ذره

 

همانطور که مشاهده می کنید از همان ابتدای تحلیل، روند شتاب تناوبی است. اندازه شتاب را در زمان 0.5s مجدداً استخراج کنید. همانطور که مشاهده می کنید مقدار 17.566 m/s2 گزارش شده است. این شتاب با شتاب گزارش شده از روش قبل کمی اختلاف دارد اما قابل قبول است. شکل 26 نمودار شتاب حاصل از دو روش را نشان می دهد. اختلاف دو نمودار بسیار ناچیز است. پس در این گونه مسائل بهتر است از روش Quasi-static استفاده شود.

 

شکل 26: مقایسه نمودار شتاب از دو روش مختلف

 

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 88, problem 2/178

دیدگاه شما چیست؟