محاسبه حداکثر تغییر طول فنر خطی و غیر خطی تحت شرایط یکسان

اهداف و انتظارات ما در این درس

انتظار ما از شما بعد از مطالعه این درس:

1- مدلسازی فنر خطی و غیرخطی

2- ایجاد چند مدل سازی در یک مدل و تحلیل همزمان آنها

فنر اتومبیلی توسط یک استوانه به وزن 150 lb که با سرعت اولیه 12 ft/s به آن برخورد می کند مورد آزمایش قرار می گیرد. نیروی فنر در دو حالت خطی و غیرخطی در شکل نشان داده شده است. حداکثر تغییر طول فنر را در دو حالت خطی و غیر خطی محاسبه کرده و نتایج را با مرجع [1] مقایسه کنید (از جرم ورق واقع بر روی فنر صرفنظر شود).

 

شکل 1: فنر اتومبیل با دو رفتار خطی و غیر خطی تحت آزمایش

 

مدلسازی مسئله:

در این مسئله قصد داریم حالت های مختلف مطرح شده در صورت سوال را در یک مدل ایجاد کرده و همزمان تحلیل کنیم. یعنی فنر خطی، کانکتور خطی و کانکتور غیرخطی را همزمان مدلسازی کرده و نتایج آنها را با هم مقایسه کنیم.

ماژول Step:

وارد ماژول Step شوید. با توجه به اینکه مسئله از نوع ضربه بوده و سرعت برخورد نسبتاً بالاست در نتیجه زمان درنظر گرفته شده برای برخورد نیز کوتاه است. یک Step از نوع Dynamic, Implicit با پارامترهای زیر ایجاد نمایید.

Time period: 0.1
Nlgeom: On
Incrementation Type: Fixed
Maximum number of increments: 1000
Increment size: 0.001

برای درخواست خروجی های سرعت، جابجایی و نیرو در هر Increment روی آیکون (Field Output Manager) کلیک کرده و در پنجره باز شده دکمه Edit را بزنید. برای درخواست خروجی های مشخص، اگر حرف مربوط به آن خروجی را بلد باشید بهتر است حرف آن را در قسمت خروجی ها بنویسید. پس ابتدا لیست تمام خروجی ها را پاک کرده و سپس مانند شکل 2، حروف u، v و rf که بترتیب مربوط به جابجایی، سرعت و نیروی عکس العمل تکیه گاهی است را در قسمت مشخص شده بنویسید.

 

شکل 2: وارد کردن نماد خروجی ها از طریق صفحه کلید در ناحیه مربوطه

 

سپس گزینه Select from list below را که در شکل 3 مشخص شده است انتخاب کنید تا گزینه های این خروجی ها فعال شود. خروجی ها را نیز به ازای هر نمو زمانی درخواست داده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 3: انتخاب گزینه Select from list below و تغییر خودکار حروف کوچک به بزرگ

 

ایجاد نقاط ابتدا و انتهای فنرها:

وارد ماژول Interaction شوید. تعداد 6 عدد Reference Point با مختصات داده شده در جدول 1 ایجاد کنید. همانطور که می دانید طول اولیه فنرها در نتایج بی تاثیر است در نتیجه، مختصات این نقاط بصورت دلخواه انتخاب شده است اما نباید به گونه ای باشد که طول فنر در اثر فشرده شدن به صفر برسد.

 

جدول 1: مختصات RP های دو سر فنرها

 

روی آیکون (Auto-Fit View) کلیک کنید تا 6 نقطه بطور کامل در viewport نمایش داده شوند.

ایجاد فنرها:

همانطور که در صورت سوال بیان شد، رابطه نیرو-جابجایی فنر خطی بصورت f=400x داده شده است که سختی آن 400 lb/in می باشد. اکنون مانند درسهای قبل، بین دو نقطه RP-1 و RP-4 یک فنر خطی با سختی 400 lb/in ایجاد کنید.

 

نکته 1

همانطور که تا کنون آموخته اید، فنرهای خطی بین دو نقطه را به راحتی می توان از مسیر زیر در نوار منو ایجاد کرد.

Special > Springs/Dashpots > Create

ایجاد فنرها به این روش توسط دستور Spring یا Spring1 یا Spring2 در هسته نرم افزار انجام می شود. از این دستورها می توان برای ایجاد فنرهای غیرخطی هم استفاده کرد اما نه در محیط گرافیکی آباکوس. ایجاد آن تحت برنامه نویسی keyword ها در قالب فایل inp انجام می شود که در بحث دینامیک پیشرفته عنوان می کنیم.

روش دیگری در ایجاد فنرهای خطی و غیر خطی وجود دارد که از طریق المانهای کانکتور مدلسازی می شود. این ابزار از طریق محیط گرافیکی نرم افزار هم قابل دسترس است. المانهای کانکتور، المانهای بدون مش هستند که برای ایجاد اتصال مکانیکی بین دو نقطه مورد استفاده قرار می گیرند. بعنوان مثال، فنرهای غیر خطی، اجزای مختلف کمربند ایمنی، تسمه نقاله، لولای درب، کابل و… با استفاده از کانکتورها مدلسازی می شوند. هر کانکتور متشکل از یک wire می باشد که وابسته به تراز Assembly است و نوع آن با wire موجود در ماژول Part متفاوت است زیرا wire موجود در ماژول Part قابل مش بندی است اما این نوع wire قابلیت مش بندی را ندارد. مانند wire موجود در ماژول Part، باید به این wire نیز یک Section اختصاص داد که در این Section، نوع کانکتور و محورهای مختصات محلی آن و در صورت نیاز، خواص آن باید تعریف شود.

 

برای مدلسازی فنر خطی و غیرخطی، از کانکتوری از نوع Axial استفاده می کنیم. برای مدلسازی بدین صورت عمل می نماییم. روی آیکون (Create Connector Section) کلیک کرده و پنجره باز شده را مطابق شکل 4 تکمیل کنید.

 

شکل 4: تعریف کانکتور از نوع Axial

 

نکته 2

در پنجره شکل (الف)، در قسمت Available CORM عبارت U1 نوشته شده است یعنی فقط درجه آزادی نسبی U1 در آن عمل می کند. در قسمت Constrained CORM عبارت None نوشته شده است یعنی سایر درجات آزادی نسبی، آزاد می باشند. ‬‬

 

شکل الف: گزینه های موجود در Connector از نوع Axial

 

برای مشاهده شکل کانکتور، روی آیکون (Show diagram) کلیک کنید. شکل (ب)، نمایانگر شکل کانکتور از نوع Axial می باشد. همانطور که مشاهده می کنید جهت u1 در راستای دور شدن دو گره از هم مثبت در نظر گرفته شده است.

 

شکل ب: نمای کانکتور از نوع Axial

 

روی دکمه Continue کلیک کنید. در پنجره باز شده روی آیکون (Add) کلیک کرده و گزینه Elasticity را انتخاب کنید. گزینه های مشخص شده در شکل 5 را انتخاب نموده و در قسمت D11 عدد 400 را وارد کنید. این عدد سختی فنر است و واحد آن نیرو بر واحد طول (در اینجا lb/in) می باشد. توجه داشته باشید که رابطه نیرو-جابجایی فنر بصورت خطی (Linear) در نظر گرفته شده است. ‬‬‬‬ روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 5: گزینه های انتخاب شده برای تعریف سختی فنر خطی

 

هدف از ایجاد فنر خطی به این روش اینست که نتایج کانکتور خطی را با نتایج فنر خطی مقایسه کنیم.

برای ایجاد فنر غیرخطی، مجدداً با استفاده از آیکون (Create Connector Section) یک Section از نوع Axial با نام Nonlinear ایجاد کنید. سپس روی دکمه Continue کلیک کنید تا پنجره Edit Connector Section باز شود. در پنجره باز شده روی آیکون (Add) کلیک کرده و گزینه Elasticity را انتخاب کنید. سپس گزینه های مشخص شده در شکل 6 را انتخاب کنید.

 

شکل 6: گزینه های انتخاب شده برای تعریف رابطه جابجایی-نیروی فنر غیرخطی

 

یک بار دیگر به نمودار داده شده در شکل 1 توجه کنید. همانطور که مشاهده می کنید، جهت جابجایی x در جهت کاهش طول فنر در نظر گرفته شده است و نیروی فنر با رابطه f=400x+20x2 نیز بر اساس همین پارامتر x (همواره مثبت) داده شده است. برای اعمال این رفتار در آباکوس باید داده ها را اصلاح کرد زیرا همانطور که در شکل (ب) نکته 2 مشاهده می کنید، مقدار u1 هنگامی مثبت است که گره های دو سر کانکتور از هم دور شوند. پس در این مسئله چون دو گره به هم نزدیک می شوند باید منفی مقادیر x و منفی مقادیر f در نظر گرفته شود. این گفته به زبان ریاضی چنین بیان می شود.

U = -x, F = – f

نمودار صحیح ورودی به آباکوس بر اساس پارامترهای U و F در شکل 7 نشان داده شده است.

 

شکل 7: نمودار صحیح نیروی فنر که مورد نیاز آباکوس است

 

بدین منظور لازم است مقادیر صحیح U و F را ایجاد کنیم. بهترین روش برای این کار، استفاده از نرم افزار Excel است. پس نرم افزار Excel را باز کنید. مانند نکته 2 و شکلهای 12 و 13 درس دوم عمل کرده و ستون A را از مقدار جابجایی 0 شروع کرده و با نمو 0.025 in تا مقدار نهایی 10 in ایجاد کنید. سپس در سلول اول ستون B، فرمول معادل با رابطه فنر غیرخطی که بصورت =400*A1+20*A1^2 است را وارد کرده و به سایر سلولهای ستون B نیز اختصاص دهید.

 

نکته 3

هنگامیکه رفتار کانکتورها بصورت غیرخطی در نظر گرفته می شود باید محدوده جابجایی (U) منفی و مثبت آن تعریف شود و در صورت عدم تعریف جابجایی های مثبت یا منفی، مقدار نیرو در آن محدوده توسط نرم افزار صفر در نظر گرفته می شود. با توجه به اینکه رفتار فنر مورد بررسی در این مسئله فقط تحت فشار داده شده است در نتیجه، تحلیل مسئله محدود به بازه منفی جابجایی ها می شود و در هنگام بازگشت فنر و عبور از حالت طول آزاد، نیروی آن توسط نرم افزار صفر در نظر گرفته می شود. صحت این گفته در تحلیل نتایج آشکار خواهد شد.

 

با دقت در شکل 6 متوجه خواهید شد که آباکوس ابتدا ستون نیرو (F or M) و بعد ستون جابجایی (U or UR) را آورده است. پس مانند شکل 8، در ستون C و D بترتیب مقادیر منفی ستون B و مقادیر منفی ستون A را وارد کنید.

 

شکل 8: تولید داده های صحیح جابجایی-نیروی فنر در نرم افزار Excel

 

اکنون ستونهای C و D را که بترتیب معادل نیروی F و جابجایی U می باشند کپی کرده و در ستون اول و دوم پنجره Edit Connector Section وارد کنید. شکل 9، داده های وارد شده در این پنجره را نشان می دهد. روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 9: داده های وارد شده در پنجره Edit Connector Section

 

بر اساس آنچه که در نکته 1 بیان شد، برای ایجاد کانکتور نیاز به ایجاد wire بین دو نقطه داریم. روی آیکون نشان داده شده در شکل 10 کلیک کنید.

 

شکل 10: آیکون مشخص شده برای ایجاد Connector

 

در نوار اعلان پیامی مبنی بر انتخاب اولین نقطه کانکتور به شما داده می شود. نقطه RP-2 را انتخاب کنید. پس از انتخاب اولین نقطه، در نوار اعلان پیام انتخاب دومین نقطه نیز داده می شود. نقطه RP-5 را انتخاب کنید. به این ترتیب، پنجره Connector Builder باز می شود. در این پنجره در قسمت Section گزینه Linear (رفتار خطی فنر) را مانند شکل 11 انتخاب کرده و روی دکمه OK/Repeat کلیک کنید تا دستور ایجاد Connector Builder مجدداً اجرا شود.

 

شکل 11: انتخاب Section با نام Linear در پنجره Connector Builder

 

برای ایجاد کانکتور غیرخطی، ابتدا نقطه RP-3 و سپس RP-6 را انتخاب کرده و Section با نام Nonlinear را برای آن انتخاب کنید. سپس روی دکمه OK کلیک کنید تا دستور ایجاد کانکتور متوقف شود.

تعریف جرم:

با توجه به اینکه تحلیل مسئله را از لحظه تماس جرم با فنر مورد بررسی قرار می دهیم در نتیجه می توان فرض کرد که جرم به سر بالایی فنر متصل است و با سرعت اولیه شروع به حرکت به سمت پایین می کند. پس کافیست این جرم را به نقطه بالایی فنر اختصاص دهیم. پیش از اختصاص جرم به این نقطه، باید جرم را به واحد صحیح آن تبدیل کنیم. بر اساس آنچه در درس ششم بیان شد، جرم را بصورت زیر به واحد صحیح آن تبدیل می کنیم.

m = W/g = 150/386.088 = 0.388512 (lbf s2/in)

از نوار منو مسیر زیر را اجرا کنید.

Special > Inertia > Create

در پنجره باز شده روی دکمه Continue کلیک کنید. ابتدا گزینه مربوط به ایجاد Set در نوار اعلان را از حالت انتخاب خارج کنید تا از ایجاد Set های اضافی جلوگیری شود. سپس RP های بالایی (شامل RP-4، RP-5 و RP-6) را با درگ موس انتخاب کرده و روی دکمه Done در نوار اعلان کلیک کنید. در پنجره Edit Inertia مقدار جرم را 0.388512 وارد کرده و روی دکمه OK کلیک کنید. به این ترتیب هر یک از این نقاط دارای جرم 0.388512 خواهند بود.

اعمال شرایط مرزی و اولیه:

وارد ماژول Load شوید. با استفاده از آیکون (Create Boundary Condition)، نقاط RP-1، RP-2 و RP-3 را در Initial Step در راستای Y مقید کنید.

سپس با استفاده از آیکون (Create Predefined Field) به نقاط RP-4، RP-5 و RP-6 سرعت اولیه ای به اندازه 144 in/s در جهت خلاف محور Y اعمال کنید.

تحلیل مسئله:

وارد ماژول Job شوید و یک Job ایجاد کرده و مسئله را تحلیل کنید. به هشدارهای داده شده در برگه Warnings توجه کنید. این پیام هشدار، پیامی آشناست و نباید به آن اعتنا کرد.

مشاهده و بررسی نتایج:

روی دکمه Result کلیک کنید تا وارد ماژول Visualization شوید. همانگونه که ملاحظه می کنید کانکتورها در viewport نشان داده نمی شوند. برای حل این مشکل، گزینه نشان داده شده در شکل 12 را از نوار منو انتخاب نمایید.

 

شکل 12: گزینه ODB Display Options برای نمایش کانکتورها

 

سپس در برگه Entity Display گزینه های مشخص شده در شکل 13 را انتخاب کرده و روی دکمه OK کلیک کنید.

 

شکل 13: فعال سازی نمایش کانکتورها، جرم ها و فنرها

 

روی آیکون (Plot Contours on Deformed Shape) کلیک کنید تا کانتور اندازه نیروهای تکیه گاهی را مشاهده کنید. به منظور نمایش کامل هر سه سیستم، ابتدا در صفحه XY قرار بگیرید. بدین منظور از جعبه ابزار Views روی آیکون (Apply Front View) کلیک کنید. لازم به ذکر است که در صورت عدم نمایش این جعبه ابزار و دیگر ابزارها می توانید از مسیر زیر، پنجره Customize را باز کنید.

Tools > Customize

سپس مانند شکل 14 گزینه Views را فعال نمایید.

 

شکل 14: فعال سازی نوار ابزار Views

 

همانطور که می دانید، حداکثر تغییر طول فنر در لحظه ای است که سرعت جرم صفر شود. برای استخراج لحظه مورد نظر، روی آیکون (Create XY Data) کلیک کرده و در پنجره باز شده گزینه ODB field output را انتخاب کنید. سپس روی دکمه Continue را کلیک کنید. سپس گزینه های مورد نیاز برای درخواست سرعت در راستای Y را انتخاب کنید. این خروجی (V2) را برای دو گره بالایی فنر و کانکتور خطی (RP-4, RP-5) بطور همزمان رسم نمایید. همانطور که در شکل 15 می بینید دو نمودار سرعت دقیقا بر هم منطبق هستند و این بدین معنی است که عملکرد فنر خطی و کانکتور خطی با سختی یکسان کاملا منطبق بر هم است.

 

شکل 15: سرعت جرم ها در فنر و کانکتور خطی

 

با استفاده از آیکون (XY Data Manager) لحظه صفر شدن سرعت را استخراج کنید. همانطور که در شکل 16 نشان داده شده است سرعت در حدود 0.049s نزدیک به صفر است.

 

شکل 16: لحظه صفر شدن سرعت جرم روی فنر خطی

 

اکنون مقادیر جابجایی ذره را در همین زمان استخراج کنید. مقدار جابجایی در لحظه صفر شدن سرعت در شکل 17 نشان داده شده است. این مقدار برابر 4.48775 in و به سمت پایین می باشد.

 

شکل 17: حداکثر تغییر طول فنر خطی

 

پس از اثبات منطبق بودن نتایج فنر خطی و کانکتور خطی، به سراغ مقایسه نتایج کانکتور خطی و غیر خطی می رویم. سرعت جرم ها ی کانکتور خطی و غیر خطی را در یک نمودار مانند شکل 18 رسم نمایید. در این نمودار نکته ای پنهان است که در ادامه به آن اشاره خواهیم کرد.

 

شکل 18: نمودار سرعت کانکتور خطی و غیر خطی

 

همانطور که مشاهده می کنید کانکتور غیرخطی، سرعت جرم را در زمان کمتری به صفر رسانده است و عملا کمی سریعتر جرم را متوقف کرده است. لحظه صفر شدن سرعت در کانکتور غیر خطی در شکل 19 نشان داده شده است. این زمان برابر 0.045s است که کمتر از کانکتور خطی می باشد.

 

شکل 19: لحظه توقف جرم در کانکتور غیرخطی

 

چون هیچگونه اتلافی در مدل وجود ندارد در نتیجه انتظار داریم در هر دو کانکتور خطی و غیرخطی، سرعت جرم در برگشت به حداکثر مقدار 144 in/s برسد. صحت این گفته را بررسی کنید. حداکثر تغییر طول فنر غیرخطی در لحظه صفر شدن سرعت در شکل 20 نشان داده شده است. مقدار آن برابر 4.20284 in است که نسبت به فنر خطی کمتر می باشد.

 

شکل 20: حداکثر تغییر طول فنر غیرخطی

 

برای رسم نیروی تکیه گاهی کانکتور خطی و غیرخطی، خروجی RF2 را انتخاب کرده و این خروجی را برای دو گره پایینی این دو کانکتور بطور همزمان رسم نمایید. این دو نموار در شکل 21 نشان داده شده است.

 

شکل 21: نمودار نیروی عکس العمل دو فنر خطی و غیرخطی

 

همانطور که مشاهده می کنید نیروی فنر غیرخطی بزرگتر از فنر خطی است که همین عامل باعث توقف سریعتر جرم شده است. نکته ای که در مورد شکل 18 مورد نظر ما بود در اینجا به وضوح مشخص است. همانطور که در شکل هم علامت زده شده است، نیروی فنر غیر خطی از لحظه ای به بعد صفر شده است و چون جرمها در این مسئله به فنرها متصل شده است در نتیجه در فنر غیرخطی، از این لحظه به بعد نیروی بازدارنده ای به جرم اعمال نمی شود و همین عامل باعث می شود که جرم متصل به فنر غیرخطی از این لحظه به بعد با سرعت ثابت 144 in/s به حرکت در راستای Y ادامه دهد حال آن که در کانکتور خطی، این نیروی بازدارنده وجود دارد و جرم بصورت نوسانی حرکت می کند. علت این اتفاق در کانکتور غیرخطی چیست؟

مجدداً به نکته 3 مراجعه کنید تا دلیل این رفتار را متوجه شوید. همانطور که گفتیم، در این مسئله رفتار فنر غیرخطی در جابجایی های مثبت که از حالت طول آزاد فنر اتفاق می افتد داده نشده است و عدم تعریف این رفتار در نرم افزار به منزله نیروی صفر در کانکتور است.

حل تحلیلی:

در اینجا به علت عدم دقت نتایج مرجع [1]، می خواهیم نگاهی هم به حل تحلیلی مساله بیاندازیم. طبق قانون پایستگی انرژی برای حالت های ابتدا و انتهای حرکت جرم می توانیم روابط زیر را بنویسیم.

K1 + U1 = K2 + U2, K = Kinetic Energy, U = Potential Energy

در ابتدای حرکت U1=0 و در انتهای حرکت K2=0 و همچنین با توجه به اینکه انرژی پتانسیل کشسانی فنر برابر با سطح زیر نمودار نیرو-جابجایی آن می باشد در نتیجه برای فنر خطی و غیرخطی روابط زیر را بدست خواهیم آورد که در آنها، δ حداکثر تغییر طول فنر می باشد.

با حل هر یک از این معادلات، حداکثر جابجایی هر فنر بدست خواهد آمد. نتایج تحلیل فنر خطی و غیرخطی حاصل از آباکوس و مرجع [1] و حل تحلیلی در جدول 2 آورده شده است. همانطور که مشاهده می کنید (با صرفنظر از نتایج اشتباه مرجع) دقت نتایج فوق العاده ست.

 

جدول 2: حداکثر تغییر طول فنر خطی و غیرخطی در آباکوس و حل تحلیلی و مرجع [1]

 

با تغییر نمو زمانی از 0.001s به 0.0005s و همچنین کوچکتر کردن نمو جابجایی در تقریب نیروی فنر غیرخطی، جواب آباکوس به جواب تحلیلی نزدیک خواهد شد. امتحان کنید.

مرجع:

[1] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., “Engineering mechanics: Dynamics,” Wiley., 8th Edition., 2015, p 169, problem 3/1

دیدگاه شما چیست؟